2009年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)答案與解析

1、2009年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1（5分）（2009天津）i是虛數(shù)單位，=（）A1+2iB12iC12iD1+2i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)【分析】復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡即可【解答】解：，故選D【點評】本小題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，基礎(chǔ)題2（5分）（2009天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件：，則目標函數(shù)z=2x+3y的最小值為（）A6B7C8D23【考點】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用【專題】不等式的解法及應(yīng)用【分析】本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束

2、條件的可行域，再用角點法，求出目標函數(shù)的最小值【解答】解：畫出不等式表示的可行域，如圖，讓目標函數(shù)表示直線在可行域上平移，知在點B自目標函數(shù)取到最小值，解方程組得（2，1），所以zmin=4+3=7，故選B【點評】用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數(shù)然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解3（5分）（2009天津）設(shè)xR，則“x=1”是“x3=x”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【考點

3、】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【專題】簡易邏輯【分析】先判斷pq與qp的真假，再根據(jù)充要條件的定義給出結(jié)論；也可判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系【解答】解：因為x3=x，解得x=0，1，1，顯然條件的集合小，結(jié)論表示的集合大，由集合的包含關(guān)系，我們不難得到“x=1”是“x3=x”的充分不必要條件故選A【點評】判斷充要條件的方法是：若pq為真命題且qp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；若pq為假命題且qp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；若pq為真命題且qp為真命題，則命題p是命題q的充要條件；若pq為假命

4、題且qp為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系4（5分）（2009天津）設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）ABy=±2xCD【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】由題意知，因為雙曲線的焦點在x軸上，由此可知漸近線方程為【解答】解：由已知得到，因為雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為；故選C【點評】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和運用考查了同學(xué)們的運算能力和推理能力5（5分）（2009天津）設(shè)a=log2，b=log3，c=（）0.

5、3，則（）AabcBacbCbcaDbac【考點】對數(shù)值大小的比較；分數(shù)指數(shù)冪【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】依據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)的性質(zhì)，分別確定a、b、c數(shù)值的大小，然后判定選項【解答】解：，并且，所以cab故選D【點評】本題考查對數(shù)值大小的比較，分數(shù)指數(shù)冪的運算，是基礎(chǔ)題6（5分）（2009天津）閱讀如圖的程序框圖，則輸出的S的值為（）A9B36C100D225【考點】程序框圖【專題】算法和程序框圖【分析】經(jīng)過分析，本題為直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照程序順序進行執(zhí)行，得到輸出結(jié)果即可【解答】解：按照程序框圖進行執(zhí)行如下：s=0 i=1s=0+1=1 i=2s=1+23=9 i=3s=9+33=36

6、 i=4s=36+43=100 i=5此時滿足跳出循環(huán)的條件，輸出s=100故選C【點評】本題考查直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，經(jīng)過運算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題7（5分）（2009天津）已知函數(shù)的最小正周期為，將y=f（x）的圖象向左平移|個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則的一個值是（）ABCD【考點】函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換；三角函數(shù)的周期性及其求法【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】先根據(jù)函數(shù)的最小正周期為求出的值，再由平移后得到y(tǒng)=為偶函數(shù)可知，即可確定答案【解答】解：由已知，周期為，則結(jié)合平移公式和誘導(dǎo)公式可知平移后是偶函數(shù)，故選D【點評】本試題考查了三角函數(shù)的周期性和三角函數(shù)的平移公式運用

7、以及誘導(dǎo)公式的運用8（5分）（2009天津）設(shè)函數(shù)則不等式f（x）f（1）的解集是（）A（3，1）（3，+）B（3，1）（2，+）C（1，1）（3，+）D（，3）（1，3）【考點】一元二次不等式的解法【專題】不等式的解法及應(yīng)用【分析】先求f（1），依據(jù)x的范圍分類討論，求出不等式的解集【解答】解：f（1）=3，當不等式f（x）f（1）即：f（x）3如果x0 則 x+63可得 x3，可得3x0如果 x0 有x24x+63可得x3或 0x1綜上不等式的解集：（3，1）（3，+）故選A【點評】本題考查一元二次不等式的解法，考查分類討論的思想，是中檔題9（5分）（2009天津）設(shè)x，yR，a1，b1，

8、若ax=by=3，a+b=2的最大值為（）A2BC1D【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【專題】不等式的解法及應(yīng)用【分析】將x，y用a，b表示，用基本不等式求最值【解答】解：ax=by=3，x=loga3=，y=logb3=，當且僅當a=b時取等號故選項為C【點評】本試題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運用，考查了變通能力10（5分）（2009天津）設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f（x），且2f（x）+xf（x）x2，下面的不等式在R內(nèi)恒成立的是（）Af（x）0Bf（x）0Cf（x）xDf（x）x【考點】導(dǎo)數(shù)的運算【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】對于這類參數(shù)取值問題，針對這些

9、沒有固定套路解決的選擇題，最好的辦法就是排除法【解答】解：2f（x）+xf（x）x2，令x=0，則f（x）0，故可排除B，D如果 f（x）=x2+0.1，時 已知條件 2f（x）+xf（x）x2 成立，但f（x）x 未必成立，所以C也是錯的，故選 A故選A【點評】本題考查了運用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)單調(diào)性的問題通過分析解析式的特點，考查了分析問題和解決問題的能力二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11（4分）（2009天津）如圖，AA1與BB1相交于點O，ABA1B1且AB=A1B1若AOB的外接圓的直徑為1，則A1OB1的外接圓的直徑為2【考點】正弦定理的應(yīng)用【專題】直線與圓【分析】先在A

10、OB中，利用正弦定理求得sinAOB=AB，進而在A1OB1中，由正弦定理利用2R=求得外接圓的直徑【解答】解：在AOB中，由正弦定理得=1，sinAOB=AB，在A1OB1中，由正弦定理得2R=2故答案為2【點評】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用考查了學(xué)生對正弦定理公式和變形公式的靈活運用12（4分）（2009天津）如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則a=【考點】由三視圖求面積、體積【專題】立體幾何【分析】該幾何體是放倒的三棱柱，依據(jù)所給數(shù)據(jù)求解即可【解答】解：由已知可知此幾何體是三棱柱，其高為3，底面是底邊長為2，底邊上的高為a的等腰三角形，所以有故答案為：【點評】本小題考查三視圖、三棱

11、柱的體積，基礎(chǔ)題本試題考查了簡單幾何體的三視圖的運用培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象能力和基本的運算能力13（4分）（2009天津）設(shè)全集U=AB=xN*|lgx1，若AUB=m|m=2n+1，n=0，1，2，3，4，則集合B=2，4，6，8【考點】交、并、補集的混合運算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【專題】集合【分析】解對數(shù)不等式得全集，結(jié)合AUB得集合UB，從而求得B【解答】解：U=AB=xN*|lgx1=xN*|x10=1，2，3，4，5，6，7，8，9，又AUB=m|m=2n+1，n=0，1，2，3，4=1，3，5，7，9，UB=1，3，5，7，9，B=2，4，6，8，故填：2，4，6，8【點評】題屬

12、于以不等式為依托，考查集合的交集、補集的基礎(chǔ)題，也是高考常會考的題型14（4分）（2009天津）若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay6=0（a0）的公共弦的長為，則a=1【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定；圓方程的綜合應(yīng)用【專題】直線與圓【分析】畫出草圖，不難得到半徑、半弦長的關(guān)系，求解即可【解答】解：由已知x2+y2+2ay6=0的半徑為，圓心（0，a），公共弦所在的直線方程為，ay=1大圓的弦心距為：|a+|由圖可知，解之得a=1故答案為：1【點評】本小題考查圓與圓的位置關(guān)系，基礎(chǔ)題15（4分）（2009天津）若等邊ABC的邊長為，平面內(nèi)一點M滿足=+，則=2【考點】相等向量與相反向量【

13、專題】平面向量及應(yīng)用【分析】先合理建立直角坐標系，因為三角形是正三角形，故設(shè)，這樣利用向量關(guān)系式，求得M，然后求得，運用數(shù)量積公式解得為2【解答】解：以C點為原點，以AC所在直線為x軸建立直角坐標系，可得，=+=，M，=（，）（，）=2故答案為：2【點評】本試題考查了向量的坐標運算也體現(xiàn)了向量的代數(shù)化手段的重要性考查了基本知識的綜合運用能力16（4分）（2009天津）若關(guān)于x的不等式（2x1）2ax2的解集中整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)a的取值范圍是【考點】一元二次不等式的應(yīng)用【專題】不等式的解法及應(yīng)用【分析】由關(guān)于x的不等式（2x1）2ax2的解集中整數(shù)恰好有3個，故不等式一定為二次不等式，且對應(yīng)

14、的函數(shù)圖象開口方向朝上，且與X軸一定有兩個交點，且夾在兩個交點間的整數(shù)點恰好有3個，由此構(gòu)造出關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到結(jié)論【解答】解：不等式等價于（a+4）x24x+10，當a4時，顯然不滿足要求，故4a0且=4a0，故0a4，不等式的解集為，則一定有1，2，3為所求的整數(shù)解集所以，解得a的范圍為故答案：【點評】本試題考查含有參數(shù)的一元二次不等式的解集問題的運用考查了分類討論思想以及逆向思維的能力其中根據(jù)已知條件，判斷4a0且=4a0，是解答本題的關(guān)鍵三、解答題（共6小題，滿分76分）17（12分）（2009天津）已知：ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA（1）求AB的值（

15、2）求的值【考點】正弦定理的應(yīng)用【專題】解三角形【分析】（1）根據(jù)正弦定理將題中正弦值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，即可得到答案（2）根據(jù)三邊長可直接驗證滿足勾股定理進而得到ABC是Rt且ABC=90°，從而可得到角A的正弦值和余弦值，再由兩角和與差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案【解答】解：（1）在ABC中，sinC=2sinA由正弦定理得AB=2BC又BC=1AB=2（2）在ABC中，AB=2，BC=1，AB2+BC2=AC2ABC是Rt且ABC=90°，=【點評】本題主要考查正弦定理和和兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用屬基礎(chǔ)題18（12分）（2009天津）為了了解某工廠開展群眾體

16、育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從A，B，C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調(diào)查，已知A，B，C區(qū)中分別有18，27，18個工廠，（）求從A，B，C區(qū)中分別抽取的工廠個數(shù)；（）若從抽取的7個工廠中隨機抽取2個進行調(diào)查結(jié)果的對比，用列舉法計算這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率【考點】分層抽樣方法；古典概型及其概率計算公式【專題】概率與統(tǒng)計【分析】（1）先計算A，B，C區(qū)中工廠數(shù)的比例，再根據(jù)比例計算各區(qū)應(yīng)抽取的工廠數(shù)（2）本題為古典概型，先將各區(qū)所抽取的工廠用字母表達，分別計算從抽取的7個工廠中隨機抽取2個的個數(shù)和至少有1個來自A區(qū)的個數(shù)，再求比值即可【解答】（1）解：工廠總數(shù)為18+27+18=6

17、3，樣本容量與總體中的個體數(shù)比為，所以從A，B，C三個區(qū)中應(yīng)分別抽取的工廠個數(shù)為2，3，2、（2）設(shè)A1，A2為在A區(qū)中抽得的2個工廠，B1，B2，B3為在B區(qū)中抽得的3個工廠，C1，C2為在C區(qū)中抽得的2個工廠，這7個工廠中隨機的抽取2個，全部的可能結(jié)果有：C72種，隨機抽取2個工廠至少有一個來自A區(qū)的結(jié)果有（A1，A2），（A1，B2）（A1，B1）（A1，B3）（A1，C2）（A1，C1），同理A2還能組合5種，一共有11種所以所求的概率為【點評】本小題主要考查分層抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎(chǔ)知識，考查運用統(tǒng)計、概率知識解決實際問題的能力19（12分）

18、（2009天津）如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，且DB平分ADC，E為PC的中點，AD=CD=1，（）證明PA平面BDE；（）證明AC平面PBD；（）求直線BC與平面PBD所成的角的正切值【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；直線與平面所成的角【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角；立體幾何【分析】（1）欲證PA平面BDE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與平面BDE內(nèi)一直線平行，設(shè)ACBD=H，連接EH，根據(jù)中位線定理可知EHPA，而又HE平面BDE，PA平面BDE，滿足定理所需條件；（2）欲證AC平面PBD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與平面P

19、BD內(nèi)兩相交直線垂直，而PDAC，BDAC，PDBD=D，滿足定理所需條件；（3）由AC平面PBD可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，則CBH為直線與平面PBD所成的角，在RtBHC中，求出此角即可【解答】解：（1）證明：設(shè)ACBD=H，連接EH，在ADC中，因為AD=CD，且DB平分ADC，所以H為AC的中點，又有題設(shè)，E為PC的中點，故EHPA，又HE平面BDE，PA平面BDE，所以PA平面BDE（2）證明：因為PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC由（1）知，BDAC，PDBD=D，故AC平面PBD（3）由AC平面PBD可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以CBH為直線與

20、平面PBD所成的角由ADCD，AD=CD=1，DB=2，可得DH=CH=在RtBHC中，tanCBH=，所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為【點評】本小題主要考查直線與平面平行直線和平面垂直直線和平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理能力20（12分）（2009天津）如圖，在ABC中，D、E、P、Q、M、N分別是各邊的三等分點，現(xiàn)做投針試驗，則射中陰影部分的概率是【考點】等可能事件的概率【專題】概率與統(tǒng)計【分析】本題先根據(jù)三角形性質(zhì)得出每個小三角形都全等，然后求出陰影部分所占的面積比例，根據(jù)此比值即可解答【解答】解：在ABC中，D、E、P、Q、M、N分別是各邊的三等分點

21、，由觀察圖形可知：其中的每個小三角形都全等，所以陰影部分的概率是即做投針試驗時射中陰影部分的概率是故填：【點評】本題將概率的求解設(shè)置于三角形中，考查學(xué)生對簡單幾何概型的掌握情況，既避免了單純依靠公式機械計算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活、甚至娛樂中的運用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比21（14分）（2009天津）設(shè)函數(shù)f（x）=x（xR），其中m0（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線的斜率；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（3）已知函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點0，x1，x2，且x1x2，若對任意的xx1，x2，f（x

22、）f（1）恒成立，求m的取值范圍【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】（1），易得函數(shù)在所求點的斜率（2）當f（x）0，函數(shù)單增，f（x）0時單減，令f（x）=0的點為極值點（3）由題意屬于區(qū)間x1，x2的點的函數(shù)值均大于f（1），由此計算m的范圍【解答】解：（1）當，故f'（1）=1+2=1，所以曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線的斜率為1（2分）（2）f'（x）=x2+2x+m21，令f'（x）=0，解得x=1m或x=1+mm0，所以1+m1m，當x變化時，f

23、9;（x），f（x）的變化情況如下表： x （，1m）1m （1m，1+m） 1+m （1+m，+） f（x）0 + 0 f（x） 單調(diào)遞減極小值 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減f（x）在（，1m），（1+m，+）內(nèi)是減函數(shù)，在（1m，1+m）內(nèi)是增函數(shù)函數(shù)f（x）在x=1m處取得極小值f（1m），且f（1m）=，函數(shù)f（x）在x=1+m處取得極大值f（1+m），且f（1+m）=（6分）（3）由題設(shè)，方程有兩個相異的實根x1，x2，故，m0解得m，（8分）x1x2，所以2x2x1+x2=3，故x2（10分）當x11x2時，f（1）=（1x1）（1x2）0，而f（x1）=0，不符合題意，當1x1x2

24、時，對任意的xx1，x2，都有x0，xx10，xx20，則，又f（x1）=0，所以f（x）在x1，x2上的最小值為0，于是對任意的xx1，x2，f（x）f（1）恒成立的充要條件是f（1）=m20，解得，由上m，綜上，m的取值范圍是（，）（14分）【點評】本題較為復(fù)雜，主要考查了直線的點斜式，函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的極值問題，注意掌握知識點間的關(guān)系22（14分）（2009天津）以知橢圓的兩個焦點分別為F1（c，0）和F2（c，0）（c0），過點的直線與橢圓相交于A，B兩點，且F1AF2B，|F1A|=2|F2B|（1）求橢圓的離心率；（2）求直線AB的斜率；（3）設(shè)點C與點A關(guān)于坐標原點對稱，直線F2B上有一點H（m，n）（m0）在AF1C的外接圓上，求的值【考點】橢圓的應(yīng)用；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（1）由F1AF2B