2010年高考數(shù)學(xué)理科試題含答案全國卷2

1、2010年普通高等學(xué)校招生全國（全國卷II）（數(shù)學(xué)理）【教師簡評】按照“保持整體穩(wěn)定，推動改革創(chuàng)新，立足基礎(chǔ)考查，突出能力立意”命題指導(dǎo)思想，本套試卷的總體印象是:題目以常規(guī)題為主，難度較前兩年困難，得高分需要扎扎實實的數(shù)學(xué)功底.1.縱觀試題，小題起步較低，難度緩緩上升，除了選擇題11、12、16題有一定的難度之外，其他題目難度都比較平和.2.解答題中三角函數(shù)題較去年容易，立體幾何難度和去年持平，數(shù)列題的難度較去年有所提升，由去年常見的遞推數(shù)列題型轉(zhuǎn)變?yōu)榻衲甑臄?shù)列求極限、數(shù)列不等式的證明，不易拿滿分，概率題由去年背景是“人員調(diào)配”問題，轉(zhuǎn)變?yōu)榻衲甑呐c物理相關(guān)的電路問題，更體現(xiàn)了學(xué)科之間的聯(lián)系.

2、兩道壓軸題以解析幾何和導(dǎo)數(shù)知識命制，和去年比較更有利于分步得分.3.要求考生有比較強的計算能力，例如立體幾何問題，題目不難，但需要一定的計算技巧和能力.不管題目難度如何變化，“夯實雙基(基礎(chǔ)知識、基本方法)”，對大多數(shù)考生來說，是以不變應(yīng)萬變的硬道理.（1）復(fù)數(shù)（A） （B） （C） （D）【答案】A 【命題意圖】本試題主要考查復(fù)數(shù)的運算.【解析】.（2）.函數(shù)的反函數(shù)是（A） （B）（C） （D）【答案】D【命題意圖】本試題主要考察反函數(shù)的求法及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的互化?！窘馕觥坑稍瘮?shù)解得，即，又；在反函數(shù)中，故選D.（3）.若變量滿足約束條件則的最大值為（A）1 （B）2 （C）3 （D

3、）4【答案】C【命題意圖】本試題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題.【解析】可行域是由構(gòu)成的三角形，可知目標(biāo)函數(shù)過C時最大，最大值為3，故選C.（4）.如果等差數(shù)列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).【解析】（5）不等式的解集為（A） （B）（C） （D）【答案】C【命題意圖】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.【解析】利用數(shù)軸穿根法解得-2x1或x3，故選C（6）將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種 （B）1

4、8種 （C）36種 （D）54種【答案】B【命題意圖】本試題主要考察排列組合知識，考察考生分析問題的能力.【解析】標(biāo)號1,2的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有種方法，共有種，故選B.（7）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（A）向左平移個長度單位 （B）向右平移個長度單位（C）向左平移個長度單位 （D）向右平移個長度單位【答案】B 【命題意圖】本試題主要考查三角函數(shù)圖像的平移.【解析】=，=，所以將的圖像向右平移個長度單位得到的圖像，故選B. （8）中，點在上，平方若，則（A） （B） （C） （D）【答案】B 【命題意圖】本試題主要考查向量的基本運算，考查角

5、平分線定理.【解析】因為平分，由角平分線定理得，所以D為AB的三等分點，且，所以，故選B.（9）已知正四棱錐中，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為（A）1 （B） （C）2 （D）3【答案】C【命題意圖】本試題主要考察椎體的體積，考察告辭函數(shù)的最值問題.【解析】設(shè)底面邊長為a，則高所以體積，設(shè)，則，當(dāng)y取最值時，解得a=0或a=4時，體積最大，此時，故選C.（10）若曲線在點處的切線與兩個坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則（A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命題意圖】本試題主要考查求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計算能力.【解析】，切線方

6、程是，令，令，三角形的面積是，解得.故選A.（11）與正方體的三條棱、所在直線的距離相等的點（A）有且只有1個 （B）有且只有2個（C）有且只有3個 （D）有無數(shù)個【答案】D【解析】直線上取一點，分別作垂直于于則分別作，垂足分別為M，N，Q，連PM，PN，PQ，由三垂線定理可得，PNPM；PQAB，由于正方體中各個表面、對等角全等，所以，PM=PN=PQ，即P到三條棱AB、CC1、A1D1.所在直線的距離相等所以有無窮多點滿足條件，故選D.（12）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點若，則（A）1 （B） （C） （D）2【答案】B【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質(zhì)與第二定

7、義.【解析】設(shè)直線l為橢圓的有準(zhǔn)線，e為離心率，過A，B分別作AA1，BB1垂直于l，A1，B為垂足，過B作BE垂直于AA1與E，由第二定義得，由，得，即k=，故選B.第卷注意事項：1用0.5毫米的黑色字跡簽字筆在答題卡上作答。2本卷共10小題，共90分。二填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分（13）已知是第二象限的角，則【答案】【命題意圖】本試題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的計算能力.【解析】由得，又，解得，又是第二象限的角，所以.（14）若的展開式中的系數(shù)是，則 【答案】1 【命題意圖】本試題主要考查二項展開式的通項公式和求指定項系數(shù)的方法.【解析

8、】展開式中的系數(shù)是.（15）已知拋物線的準(zhǔn)線為，過且斜率為的直線與相交于點，與的一個交點為若，則 【答案】2 【命題意圖】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì).【解析】過B作BE垂直于準(zhǔn)線于E，M為中點，又斜率為，M為拋物線的焦點，2.（16）已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個小圓，為圓與圓的公共弦，若，則兩圓圓心的距離【答案】3 【命題意圖】本試題主要考查球的截面圓的性質(zhì)，解三角形問題.【解析】設(shè)E為AB的中點，則O，E，M，N四點共面，如圖，所以，由球的截面性質(zhì)，有，所以與全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面積相等，可得，三解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明

9、過程或演算步驟（17）（本小題滿分10分）中，為邊上的一點，求【命題意圖】本試題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查考生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況.【參考答案】由cosADC=0，知B.由已知得cosB=，sinADC=.從而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得 ，所以=.【點評】三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點，在高考試題中頻繁出現(xiàn).這類題型難度比較低，一般出現(xiàn)在17或18題，屬于送分題，估計以后這類題型仍會保留，不會有太大改變.解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運用正弦定理

10、或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?（18）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和（）求；（）證明：【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式的運用，數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明，考查考生運用所學(xué)知識解決問題的能力.【參考答案】【點評】2010年高考數(shù)學(xué)全國I、這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.估計以后的高考，對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).（

11、19）如圖，直三棱柱中，為的中點，為上的一點，（）證明：為異面直線與的公垂線；（）設(shè)異面直線與的夾角為45°，求二面角的大小【命題意圖】本試題主要考查空間的線面關(guān)系與空間角的求解，考查考生的空間想象與推理計算的能力.【參考答案】(19)解法一：（I）連接A1B，記A1B與AB1的交點為F.因為面AA1BB1為正方形，故A1BAB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D為BB1的中點，故DEBF，DEAB1. 3分作CGAB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點.又由底面ABC面AA1B1B.連接DG，則DGAB1，故DEDG，由三垂線定理，得DECD.所以DE為

12、異面直線AB1與CD的公垂線.（II）因為DGAB1，故CDG為異面直線AB1與CD的夾角，CDG=45°設(shè)AB=2，則AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1HA1C1，H為垂足，因為底面A1B1C1面AA1CC1，故B1H面AA1C1C.又作HKAC1，K為垂足，連接B1K，由三垂線定理，得B1KAC1，因此B1KH為二面角A1-AC1-B1的平面角.【點評】三垂線定理是立體幾何的最重要定理之一，是高考的的熱點，它是處理線線垂直問題的有效方法，同時它也是確定二面角的平面角的主要手段.通過引入空間向量，用向量代數(shù)形式來處理立體幾何問題，淡化了傳統(tǒng)幾何中的“形”到“形”的推理方法，從

13、而降低了思維難度，使解題變得程序化，這是用向量解立體幾何問題的獨到之處.（20）（本小題滿分12分） 如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9電流能否通過各元件相互獨立已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999（）求p； （）求電流能在M與N之間通過的概率； （）表示T1，T2，T3，T4中能通過電流的元件個數(shù)，求的期望【命題意圖】本試題主要考查獨立事件的概率、對立事件的概率、互斥事件的概率及數(shù)學(xué)期望，考查分類討論的思想方法及考生分析問題、解決問題的能力.【參考答案】【點評】概率與統(tǒng)

14、計也是每年的必考題，但對考試難度有逐年加強的趨勢，已經(jīng)由原來解答題的前3題的位置逐漸后移到第20題的位置，對考生分析問題的能力要求有所加強，這應(yīng)引起高度重視.（21）（本小題滿分12分） 己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為 （）求C的離心率； （）設(shè)C的右頂點為A，右焦點為F，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì)，考查直線與圓的關(guān)系，既考查考生的基礎(chǔ)知識掌握情況，又可以考查綜合推理的能力.【參考答案】【點評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強的題目，命題者將好多考點以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等，試題的難度相對比較穩(wěn)定.（22）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)（）證明：當(dāng)時，；（）設(shè)當(dāng)時，求a的取值