2009-2016年北京高考數學理科圓錐曲線試題匯編

1、13（2016北京理）雙曲線（a0，b0）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點若正方形OABC的邊長為2，則a=【分析】根據雙曲線漸近線在正方形的兩個邊，得到雙曲線的漸近線互相垂直，即雙曲線是等軸雙曲線，結合等軸雙曲線的性質進行求解即可【解答】解：雙曲線的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，漸近線互相垂直，則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y=±x，即a=b，正方形OABC的邊長為2，OB=2，即c=2，則a2+b2=c2=8，即2a2=8，則a2=4，a=2，故答案為：2【點評】本題主要考查雙曲線的性質的應用，根據雙曲線漸近線垂直關系

2、得到雙曲線是等軸雙曲線是解決本題的關鍵19（2016北京理）已知橢圓C：（a0，b0）的離心率為，A（a，0），B（0，b），O（0，0），OAB的面積為1（）求橢圓C的方程；（）設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N求證：|AN|BM|為定值【分析】（）運用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結合a，b，c的關系，解方程可得a=2，b=1，進而得到橢圓方程；（）方法一、設橢圓上點P（x0，y0），可得x02+4y02=4，求出直線PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化簡整理，即可得到|AN|BM|為定值4方法二、

3、設P（2cos，sin），（02），求出直線PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，運用同角的平方關系，化簡整理，即可得到|AN|BM|為定值4【解答】解：（）由題意可得e=，又OAB的面積為1，可得ab=1，且a2b2=c2，解得a=2，b=1，c=，可得橢圓C的方程為+y2=1；（）證法一：設橢圓上點P（x0，y0），可得x02+4y02=4，直線PA：y=（x2），令x=0，可得y=，則|BM|=|1+|；直線PB：y=x+1，令y=0，可得x=，則|AN|=|2+|可得|AN|BM|=|2+|1+|=|=|=|=4，即有|AN|BM|為定

4、值4證法二：設P（2cos，sin），（02），直線PA：y=（x2），令x=0，可得y=，則|BM|=|；直線PB：y=x+1，令y=0，可得x=，則|AN|=|即有|AN|BM|=|=2|=2|=4則|AN|BM|為定值4【點評】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率和基本量的關系，考查線段積的定值的求法，注意運用直線方程和點滿足橢圓方程，考查化解在合理的運算能力，屬于中檔題10（2015北京理）已知雙曲線的一條漸近線為，則_【解析】令，所以19（2015北京理）已知橢圓：（）的離心率為，點，和點都在橢圓上，直線交軸于點M （）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表示）；（）設為原點，

5、點與點關于軸對稱，直線交軸于點問：軸上是否存在點Q，使得若存在，求點的坐標；若不不存在，說明理由解：（）由題意知，又，解得，所以的方程為的斜率，所以方程，令，解得，所以（），同（I）可得，因為所以，設則即，又在橢圓上，所以，即，所以，故存在使得11（2014北京理）設雙曲線經過點，且與具有相同漸近線，則的方程為_；漸近線方程為_。解答：，；19（2014北京理）已知橢圓，求橢圓的離心率；設為原點，若點在橢圓上，點在直線上，且，求直線與圓的位置關系，并證明你的結論。解答：由題意，橢圓：，所以，從而。因此，。故橢圓的離心率；直線與圓相切。證明如下：設點，其中。因，故，即，解得。當時，代入橢圓的方程

6、，得。故直線：，圓心到直線的距離。此時直線與圓相切；當時，直線：，即，圓心到的距離。又，故 ，此時與圓相切。綜上得證。6（2013北京理）若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 （ ）A B C D 答案：B7（2013北京理）直線過拋物線：的焦點且與軸垂直，則與所圍成的圖形的面積等于 （ ）A B2 C D解答：（7）C19（2013北京理）(本小題共14分)已知、是橢圓W：上的三個點，是坐標原點（1）當點是的右頂點，且四邊形為菱形時，求此菱形的面積（2）當點不是的頂點時，判斷四邊形是否可能為菱形，并說明理由解：（）橢圓的右頂點B的坐標為（2，0）因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂

7、直平分所以可設A（1，m），代入橢圓方程得，即所以菱形OABC的面積是（）假設四邊形OABC為菱形因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設AC的方程為由消去y并整理得設，則所以AC的中點為因為M為AC和OB的交點，所以直線OB的斜率為因為，所以AC與OB不垂直所以OABC不是菱形，與假設矛盾所以當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC不可能是菱形12（2012北京理）在直角坐標系中，直線過拋物線的焦點，且與該拋物線相交于、兩點，其中，點在軸上方若直線的傾斜角為，則的面積為【解析】由可求得焦點坐標F(1,0)，因為傾斜角為，所以直線的斜率為，利用點斜式，直線方程為，將直線和曲線聯(lián)立，因

8、此【答案】19（2012北京理）（本小題共14分）已知曲線：（1）若曲線是焦點在軸點上的橢圓，求的取值范圍；（2）設，曲線與軸的交點為、（點位于點的上方），直線與曲線交于不同的兩點、，直線與直線交于點求證：三點共線解：（1）原曲線方程可化簡得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，解得：由韋達定理得：，設，方程為：，則，欲證三點共線，只需證，共線即成立，化簡得：將代入易知等式成立，則三點共線得證。（lby lfx）19（2011北京理）（本小題共14分）已知橢圓，過點作圓的切線交橢圓于兩點，（1）求橢圓的焦點坐標及離心率；（2）將表示為的函數，并求的最大值；解：（I）由題意

9、得a=2，b=1，所以c=橢圓G的焦點坐標 離心率e=（II）由題意知：|m|1，當m=1時，切線l的方程為x=1，點A（1，） 點B（1，） 此時|AB|=；當m=1時，同理可得|AB|=；當m±1時，設切線l的方程為：y=k（xm），由（1+4k2）x28k2mx+4k2m24=0，設A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=又由l與圓圓x2+y2=1相切圓心到直線l的距離等于圓的半徑即=1m=，所以|AB|=，由于當m=±1時，|AB|=，當m±1時，|AB|=，此時m（，11，+） 又|AB|=2（當且僅當m=±時，|AB|=2），所以，|

10、AB|的最大值為2故|AB|的最大值為213（2010北京理）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為；漸近線方程為，19（2010北京理）（本小題共14分）在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，是動點，且直線與的斜率之積等于.(1)求動點的軌跡方程；(2)設直線與分別與直線交于點、，問：是否存在點使得與的面積相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.19，解：（1）因點B與（-1,1）關于原點對稱，得B點坐標為（1，-1）。設P點坐標為，則，由題意得，化簡得：。即P點軌跡為：（2）因，可得，又，若，則有，即設P點坐標為，則有：解得：，又因，解得。故存在點P使得與的面積相等，此時P點坐標為或13（2009北京理）橢圓的焦點為，點在橢圓