數(shù)學建模土地平整

1、摘要隨著社會的發(fā)展，山區(qū)城市向山要地成了一種必然的趨勢。為了更好的確定平整地的起始點，做到節(jié)約成本的目的，我們根據(jù)幾個決定性因素利用網(wǎng)格優(yōu)化建立了相關的數(shù)學模型。對于問題一，我們利用已知的數(shù)據(jù)運用MATLAB（7.0.1）軟件的三維繪圖功能就能直接繪出這片土地的三維圖形和等高線圖。對于問題二，我們首先用MATLAB（7.0.1）軟件對原始的數(shù)據(jù)進行了處理，運用基于網(wǎng)格節(jié)點的二維樣條插值方法給出方向每隔海拔高度，這樣利用模型所得到的結果就會更加接近實際情況。然后，根據(jù)插值后的數(shù)據(jù)計算海拔高度計平均值作為平整土地的海拔。最后，運用了循環(huán)嵌套和枚舉法算法，求出了每個可能取到的面積對應的挖土量及填土量

2、，運用MATLAB（7.0.1）軟件對于上述過程行了嚴謹?shù)臄?shù)學分析數(shù)據(jù)計算，求出了具體平整土地位置坐標，即在構成的區(qū)域為底面在海拔為處平整一塊的連片土地其總的土石方量。模型檢驗是從中隨機抽取二十組數(shù)據(jù)，讓隨機取出的總土石方量分別與模型求出的最小土石方量進行比較驗證了模型是可行的，求出的結果是正確的。對于問題三，我們是在問題二選擇的平整區(qū)域的基礎上平整出一塊二層臺階狀土地，首先計算兩分層面海拔高度標準差之和，運用了循環(huán)嵌套和枚舉法算法計算了平整土地底面投影相互重合的邊分別平行于，軸兩種情況，根據(jù)標準差之和所在位置計算出分層界限兩點坐標。那么以此為界限進行分層。然后在分層界限確定的基礎上，分別計算

3、，對應的平均海拔高度和，將和作為第一層臺階和第二層臺階的平整高度，計算最小土石方量。最后，根據(jù)建立的模型，求得兩點坐標分,。，最小土石方方量。關鍵詞：二維樣條插值 枚舉算法 最小土石方量- 17 -一、問題重述1.1背景在中國有很多山區(qū)城市，合理的進行土地平整，有助于城市的發(fā)展。十堰市是一個山區(qū)城市，為了更好的發(fā)展，向山要地是必然途徑，在山地平整時研究如何做到使總的土石方量最小，從而使平整土地時的成本降低，是十分有必要的。土石方量是挖土和填土的總和。某工廠為了在一片長度為1500米，寬度為1000米的山地之中，開挖出一個800米×600米平坦連續(xù)的長方形地塊作為工廠的廠房地基，前期已

4、經(jīng)在本塊土地上測量出長、寬每隔30米的網(wǎng)格的對應網(wǎng)格點的海拔高度（詳細數(shù)據(jù)見附件（1）。1.2問題的提出1.用附件（1）中的數(shù)據(jù)畫出工廠的這片土地的三維圖形與等高線圖；2.要求在長度1500米，寬度1000米的山地平整一塊800米×600米的連片土地，能使總的土石方量最小，確定連片土地的具體位置和開挖時的海拔高度。3.如果允許平整出來的土地為二層的臺階狀地塊，要求各地塊的長、寬不少于60米，確定平整土地的具體位置、挖時的海拔高度，使總的土石方量最小。二、問題分析2.1問題一的分析問題一我們可以利用MATLAB（7.0.1）軟件直接調(diào)用surf函數(shù)和contour函數(shù)分別畫出這片土地的

5、三維圖形和等高線圖。2.2問題二的分析考慮要平整一塊800米×600米的連片土地，且要使土石方量最小，我們需要確定這塊800米×600米的連片土地的底面投影區(qū)域，以及海拔高度，使得其土石方量最小。連片土地底面投影區(qū)域的確定：對于指定底面是800米×600米大小區(qū)域內(nèi)，取海拔的高度做方差，如果方差最小，說明海拔都比較接近平均值，就是說明這片區(qū)域比較平坦，挖土或填土的土石方量近似最小。我們可以通過這個思路解決問題，即為求出滿足海拔方差值最小的底面位置的問題，讓底面投影區(qū)域在長度為1500米，寬度為900米內(nèi)枚舉，此時計算出對應的土石方量最小的是，在這些所有的最小值中取

6、得最小值的那塊投影區(qū)域即為所求，我們采用此種方法求解。連片土地海拔高度的確定：在平整土地的過程中，凸出的地方是要挖土的，凹下的地方是可以填土的，這樣挖下來的土可以填充到凹下去的部分。通過計算體積的方式計算挖土和填土大小，求出最小值對應的海拔高度，即可確定平整連片土地的具體高度。問題二分析的流程圖：2.3問題三的分析為了簡化問題三復雜性，我們是在問題二選擇的平整區(qū)域的基礎上平整出一塊二層臺階狀土地，考慮到標準差越小代表了所需的土方量最小，首先計算兩分層面海拔高度標準差之和，運用了循環(huán)嵌套和枚舉法算法計算平整土地底面投影，確定了標準差之和最小的所在位置計算出分層界限兩點坐標。那么以此為界限進行分層

7、。然后在分層界限確定的基礎上，分別計算，對應的平均海拔高度和，將和作為第一層臺階和第二層臺階的平整高度。最后綜合，求平整土地的具體位置和海拔高度和最小土石方量。三、模型假設（1）在對山地原始數(shù)據(jù)插值后，方向每隔取一個單位矩形，在表面積的單位矩形區(qū)域上海拔高度不變。(2) 平整區(qū)域的邊界平行于山地的邊界軸以及軸。(3) 假設臺階狀土地的底面投影只有一條邊重合，并且該邊平行于山地的邊界軸以及軸四、符號說明符號意義土地的長寬高土石方量平均海拔高度平整土地的地面投影土地的高度方差五、模型的建立與求解5.1問題一的求解1要畫出這片山地上的三維圖形與等高線圖，定義方向為軸，方向為軸方向每隔給出的海拔高度相

8、當于各個節(jié)點對應的縱坐標。利用MATLAB（7.0.1）軟件的三維繪圖功能（源程序見附錄1），畫出工廠這片土地的三維圖形如下：圖5.1 山地的三維圖形2.這片土地的等高線圖：圖5.2 山地的等高線圖形5.2問題二的模型建立與求解5.2.1模型的建立1平整區(qū)域海拔高度的計算：考慮到問題給出的測量點較少，所以運用基于網(wǎng)格節(jié)點的二維樣條插值方法給出方向每隔海拔高度，根據(jù)上方給出的假設：在的區(qū)域上海拔高度不變，相當于一點。那么需要在這片區(qū)域上每隔都需要布置測量點，總共布置的測點數(shù)為19481個，根據(jù)這些測量點的海拔高度計算其平均值（具體MATLAB程序源見附錄2） （1）并將作為建立場地的海拔。2平整

9、區(qū)域總土方量計算：將各個實測點海拔與平均海拔相比，大于平均海拔的為挖方，小于平均海拔的為填方，等于平均海拔的表示不挖不填。由此計算出平整區(qū)域的總挖方： （2）平整區(qū)域的總填方量： （3）（3）當時表示挖出量大于填土量，這樣挖出來的土足以填補凹下去的地方總的土石方量為： （4）當時表示挖出量小于填土量，這樣挖出來的土不足以填補凹下去的山地，需要從其他地方挖土來填充，這樣一來，總的土石方量為： (5)因此 (6)如果讓平整區(qū)域的地面投影遍及整個山地，再運用上述思想求出對應的挖填總土石方量，然后篩選出總土石方量的最小值，最后確定所在的投影區(qū)域，那么該區(qū)域就是要選定的平整區(qū)域的投影。3.平整區(qū)域的底面

10、投影確定： 平整區(qū)域的底面投影顯然是一塊的矩形，假設矩形的四個頂點分別為。根據(jù)假設二，由于只考慮平整區(qū)域的邊界平行于軸以及軸，所以讓平整區(qū)域的地面投影遍及整個山地的時候，只需讓矩形沿著軸或軸方向每隔取一個投影區(qū)域即可。第一種情況：當矩形的邊平行于軸時（見示意圖5.3），此時點的坐標，讓矩形先沿著平行于軸方向每隔取一個投影區(qū)域，然后根據(jù)公式（4）計算出該區(qū)域的總土石方量。當矩形的邊與山地邊緣重合時停止移動，然后讓矩形沿著軸方向移動再接著沿軸方向移動，直至取便整個山地區(qū)域，上述矩形的移動過程可以采用循環(huán)嵌套方式實現(xiàn)。（具體MATLAB程序見附錄3）圖5.3 邊平行于軸時矩形移動的示意圖第二種情況：

11、當矩形的邊垂直于軸時（見示意圖5.2.2），此時點的坐標仍為，仍舊按照方案一的方式將矩形進行移動，直至取遍整個山地區(qū)域，并根據(jù)公式(6)采用循環(huán)嵌套的方式分別計算各區(qū)域的總土石方量。（具體MATLAB程序源見附錄4）圖5.4 邊垂直于軸時矩形的移動時的示意圖用枚舉法篩選出總土石方量的最小值，并返回所在的投影區(qū)域，然后計算出該投影區(qū)域即矩形四點的坐標，最后根據(jù)公式（1）計算出該平整區(qū)域的平均海拔高度。（具體的MATLAB程序源見附錄4） （7） 5.2.2模型的求解根據(jù)以上建立的數(shù)學模型利用MATLAB(7.1.0)軟件計算的四點坐標分別為： (如圖5.5），（源程序見附錄5）。即在這樣的構成的

12、區(qū)域為低面在海拔為處平整一塊的連片土地總的土石方量最小，最小值為。計算出的平整土地的位置示意圖如下圖5.5。圖5.5選取的平整土地位置示意圖5.2.3模型檢驗模型檢驗的方式：從中隨機抽取二十組數(shù)據(jù)，然后讓隨機取出的總土石方量分別與模型求出的最小土石方量進行比較，如果均小于，說明模型結果很合理。下面給出了與的對比表，如圖5.6。圖5.6 平整區(qū)域的與的對比圖由上圖可知，均小于，所以模型的結果很合理，關于以及的具體數(shù)據(jù)見附錄6。5.3問題三的模型建立與求解5.3.1模型的建立根據(jù)模型假設：要求在問題二選擇的平整區(qū)域的基礎上平整出一塊二層臺階狀土地，并且總面積仍為。因此在問題二確定的投影區(qū)域上以邊為

13、軸以邊為軸重新建立平面直角坐標系，如圖5.7。在上各測點對應的海拔高度為。圖5.7投影區(qū)域的示意圖 1.兩分層面海拔高度標準差之和的計算假設臺階狀土地的底面投影只有一條邊重合，并且該邊平行于軸或者軸，那么兩層臺階狀土地的底面投影仍為的矩形區(qū)域。其中一層區(qū)域的底面投影記作，另一層區(qū)域的地面投影記作?？紤]到兩分層區(qū)域內(nèi)測點的海拔高度標準差之和也能代表該區(qū)域挖填總土方量大小，所以這里用代替。用代表區(qū)域內(nèi)各參考點的海拔高度那么區(qū)域內(nèi)的海拔高度標準差為： （8）用代表區(qū)域內(nèi)各參考點的海拔高度，那么區(qū)域內(nèi)的海拔高度標準差為： （9）標準差之和為： （10）第一種情況：當兩階層底面投影相互重合的邊平行于軸時

14、，如圖5.8，此時兩分層區(qū)域的長均為，由于寬不得少于，因此，最初的長度為，接著根據(jù)公式（10）計算出區(qū)域內(nèi)海拔高度的標準差之和。然后讓邊向右移動，再次計算。當時停止移動（對應圖中位置）。這樣就實現(xiàn)了所有的分層情況，并且依次計算出了所有的。上述移動過程可由循環(huán)嵌套方式實現(xiàn)，并且將依次記錄下來。（具體MATLAB程序源見附錄7）圖5.8 移動的示意圖 第二種情況:當兩階層底面投影相互重合的邊平行于軸時，如圖5.9，此時兩分層區(qū)域的長均為，同樣由于寬不得少于，因此，最初的長度為。按照第一種情況敘述的方式進行移動，當時停止移動。(如圖中5.9)位置)并依次記錄下所有的。具體MATLAB程序源見附錄8）

15、圖5.9 移動的示意圖根據(jù)情況一、二的敘述可知已經(jīng)得到了所有的。如果能從中挑選出的最小值并確定所在的位置，然后根據(jù)所在位置計算出分層界限兩點坐標。那么以此為界限進行分層，對應的挖填總土方量應該最小。（具體MATLAB程序源見附錄9） （11）2.平均高度及總土方量的計算在分層界限確定的基礎上，分別計算，對應的平均海拔高度和: (12) （13）將和作為第一層臺階和第二層臺階的平整高度,并根據(jù)公式（6）分別計算出各層臺階的總挖填土石方量和,那么總土石方量應為二者之和（具體MATLAB程序源見附錄10）即： (13)5.3.2模型的求解根據(jù)以上建立的模型，求得兩點坐標分別為,。，。即在問題二的基礎

16、上以為界限平整成兩層臺階狀土地，如圖5.10。高度分別為和，挖填的總土石方量為264000立方米。圖5.10 兩層臺階狀的平整土地5.3模型的檢驗通過以上模型給出的結果顯示：，。說明平整成兩層臺階狀土地的總挖填量小于平整成連片土地的總挖填量，并且兩層臺階的高度差，因此該模型效果很好。六、模型的評價與改進6.2模型二的評價6.2.1模型的優(yōu)點（1）模型簡潔，思路清晰，沒有運用高深的數(shù)學知識，但是很好的抓住了問題的關鍵所在，把復雜的問題給定合理的假設簡化。（2）模型運用了枚舉法，求出了沿軸，軸方每個可能取到的面積對應的挖土量及填土量，使得結果可信度高，說服力強。（3）模型的適應性強，分別采用了沿軸

17、，軸方向進行枚舉。最后對兩種方法的的結果進行行了比較取最優(yōu)值。6.2.2模型的缺點（1）模型是在假設二下建立求解的，并沒有考慮到平整土地的邊界與山地的邊界成一定的角度時的情況。（2）由于計算機硬件的速度原因，我們必須減小循環(huán)迭代步長，沒有能更精確地算法來求出平底的具體位置。6.2.3模型的改進針對模型的缺點(1)，我們進行了模型的改進，EF為平整土地AB邊CD邊中點的連線，E、F兩點的坐標分別為E（，）、F（，），為了考慮平整土地的邊界與山地的邊界成一定的角度時的情況，可以轉化為讓EF在平面內(nèi)取遍所有可能的值，再根據(jù)上述的已有模型的思想求解可以確定平整塊的底面投影區(qū)域的位置，解海拔高度。為了讓

18、EF能取遍所有可能值，先在山地海底平面上任意取一點作為E點，再根據(jù)E點確定F點的位置。這樣只需考慮E點取遍所有值的可能情況，根據(jù)EF的長度，確定F點可能的有效位置。平面區(qū)域內(nèi)任意取一點E， ，以E為圓心，為半徑作圓，顯然F可能取得圓周上的所有點。OxyEFnF1F3F2圖6.7 E為原點F移動時的EF示意圖為了避免重復，令 ，且當時, ,這樣F的取值為上圖6.7所示的圓弧上。這樣線段EF就可以確定下來，隨之，平整土地的區(qū)域位置，海拔高度，最小土方量都能求出確定值。6.2模型三的評價6.3.1模型的優(yōu)點(1)求解思路清晰，目的明確，在問題二選擇的平整區(qū)域的基礎上平整出一塊二層臺階狀土地簡化的模型復雜性。（2）模型的推廣性強，依然采用了沿軸，軸方向進行枚舉。最后對兩種方法的的結果進行行了比較取最優(yōu)值。(3)模型的算法簡單易懂