全等三角形壓軸題

1、1判斷與說(shuō)理(1) 如圖 11- 1 , ADE 中，AE=AD 且/ AED= / ADE , / EAD=90 , EC、DB 分別平分 / AED、/ ADE , 交AD、AE于點(diǎn)C、B,連接BC .請(qǐng)你判斷AB、AC是否相等，并說(shuō)明理由；(2) ADE的位置保持不變，將 ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖11- 2的位置，AD、BE相交于0,請(qǐng)你判斷線段BE與CD的關(guān)系，并說(shuō)明理由.2某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下兩個(gè)命題： 如圖12-1，在正三角形 ABC中，M、N分別是AC、AB 上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn) 0,若/ B0N = 60°，貝U BM = CN . 如圖1

2、2-2，在正方形 ABCD中，M、N分別是CD、AD上 的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn) O,若/ B0N = 90°，貝U BM = CN .學(xué)習(xí)小組成員根據(jù)上述兩個(gè)命題運(yùn)用類比.的思想又提出了如 下的命題： 如圖12-3,在正五邊形 ABCDE中，M、N分別是 CD、DE 上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn) O,若/ BON = 108°，貝U BM = CN .(友情提示：正多邊形的各邊相等且各內(nèi)角也相等)(1) 請(qǐng)你從、三個(gè)命題中選擇一個(gè)說(shuō)明理由；(2) 請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：C圖 12 2 如圖12-4，在正n邊形(n6中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相 交于點(diǎn)O,

3、問(wèn)當(dāng)/ BON等于多少度時(shí)，結(jié)論 BM = CN成立？(不要求證明) 如圖12-5，在正五邊形 ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點(diǎn)，BM與CN相 交于點(diǎn)O,當(dāng)/ BON = 108°時(shí)，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論 BM = CN是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)我選 (僅填寫、中的一個(gè))aJ圖 12 5理由如下：(2)3.如圖9所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90°, AD是 BC邊上的中線，過(guò) C作AD的垂線，交AB 于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F。請(qǐng)你猜想/ ADC和/ BDE關(guān)系，并證明你的猜想。DE4.如下幾個(gè)圖形是五角星和它的變形.圖 中是一

4、個(gè)五角星形狀，求/ 圖中的點(diǎn) A向下移到BE上時(shí)(1)(2) 說(shuō)明你的結(jié)論的正確性；(3) 把圖中的點(diǎn) C向上移動(dòng)到BD 無(wú)變化？說(shuō)明你的結(jié)論的正確性.(4) 如圖，在心ABC中，CD BE分別是AB AC邊上的中線，延長(zhǎng) CD到 F,使FD=CD延長(zhǎng)BE到G 使EG=BE那么AF與AG是否相等？ F、AA+ / B+ / C+ / D+ / E=_(如圖)五個(gè)角的和(即/?CAD+ / B+ / C+ / D+ / E）有無(wú)變化?上時(shí)(如圖)，五個(gè)角的和(即/ CAD+ / B+ / ACE+ / D+ / E)有G三點(diǎn)是否在一條直線上？說(shuō)說(shuō)你的理由5、操作實(shí)驗(yàn):如圖，把等腰三角形沿頂角平分

5、線對(duì)折并展開(kāi)，發(fā)現(xiàn)被折痕分成的兩個(gè)三角形成軸對(duì)稱. 所以 ABD ACD，所以/ B= / C .歸納結(jié)論：如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對(duì)的角也相等. 根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：思考驗(yàn)證：如圖(4),在厶ABC中，AB=AC .試說(shuō)明/ B= / C的理由.探究應(yīng)用： 如圖(5) , CB丄AB，垂足為 A , DA丄AB，垂足為 B. E為AB的中點(diǎn)，AB=BC , CE丄BD .(1) BE與AD是否相等？為什么？(2) 小明認(rèn)為 AC是線段DE的垂直平分線，你認(rèn)為對(duì)嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。圖(5)(3) / DBC與/ DCB相等嗎？試說(shuō)明理由.6.如圖13-1,在邊長(zhǎng)為5的正

6、方形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、DC邊上的點(diǎn)，且AE _ EF , BE =2.(1)求EC : CF的值;（2）延長(zhǎng)EF交正方形外角平分線 CP于點(diǎn)P （如圖13-2），試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由;（3）在圖13-2的AB邊上是否存在一點(diǎn) M，使得四邊形 DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖 13-1B E C圖 13-27.團(tuán)體購(gòu)買某 素質(zhì)拓展訓(xùn)練營(yíng)”的門票，票價(jià)如表（a為正整數(shù)）團(tuán)體購(gòu)票人數(shù)15051 100100以上每人門票價(jià)a元(a-3 )元(a_6)元某中學(xué)高一（1）、高一（2）班同學(xué)準(zhǔn)備參加 素質(zhì)拓展訓(xùn)練營(yíng)”活動(dòng)，其中高一（1）班人

7、數(shù)不超過(guò)50,高一（2）的人數(shù)超過(guò)50但不超過(guò)80。當(dāng)a=48時(shí)，若兩班分別購(gòu)票，兩班總計(jì)應(yīng)付門票費(fèi)4914元；若合在一起作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，總計(jì)支付門票費(fèi)4452元。問(wèn)這兩個(gè)班級(jí)各有多少人？某校學(xué)生會(huì)現(xiàn)有資金 4429元用于購(gòu)票，打算組織本校初三年級(jí)團(tuán)員參加該項(xiàng)活動(dòng)。 為了讓更多的人 能參加活動(dòng)，學(xué)生會(huì)統(tǒng)一組織購(gòu)票，購(gòu)票資金恰好全部用完，且參加人數(shù)超過(guò)了100人，問(wèn)共有多少人參加了這一活動(dòng)？并求出此時(shí) a的值。8.如下圖，在為.ABC 中，AD 平分/ BAC，AB+BD=AC，則/ B :/ C 的值uC9.如左下圖，AB / CD，AD / BC，OE=OF，則圖中全等三角形的組數(shù)是A.

8、3B. 4C. 5D. 610. 兩個(gè)全等的含30°, 60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E,A,C三點(diǎn)在一條直線上， 連結(jié)ABD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC .試判斷 EMC的形狀，并說(shuō)明 理由.F面是小明的畫法，你認(rèn)為他的畫法對(duì)嗎?11、(1)不用量角器，只利用刻度尺就能畫出一個(gè)角的平分線,請(qǐng)你按照小明的畫法，畫出圖形，說(shuō)明理由。利用刻度尺在/ AOB勺兩邊上分別取 OOOD連結(jié)CD利用刻度尺畫出 CD的中點(diǎn)E畫射線OE射線OE即為/ AOB勺角平分線。(2)請(qǐng)你探索只利用你的三角尺(可以量長(zhǎng)度、.畫直角)畫出一個(gè)角的平分線的畫法。(要求：畫出圖形；

9、簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法；說(shuō)明理由。)12. ( 1)如圖(1),正方形 ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，連結(jié) AE，過(guò)點(diǎn)A 作AF丄AE交CB的延長(zhǎng) 線于F，猜想AE與AF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2) 如圖(2),在(1)的條件下，連結(jié) AC ,過(guò)點(diǎn)A作AM丄AC交CB的延長(zhǎng)線于 M，觀察并猜想 CE 與MF的數(shù)量關(guān)系(不必說(shuō)明理由)；(3) 解決問(wèn)題： 王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中Z A= Z C=90° , AB=AD .王師傅想切一刀后把它拼成正方形請(qǐng)你幫王師傅在圖(3 )中畫出剪拼的示意圖； 王師傅現(xiàn)有兩塊同樣大小的該余料，能否在每塊上各切一刀，然后拼成一個(gè)大的正方形呢？若能，

10、請(qǐng)你畫出剪拼的示意圖；若不能，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.AD圖1E13. 下圖是按一定規(guī)律排列的方程組集合和它解的集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖, 次記作方程組1、方程組2、方程組3、方程組n.若方程組集合中的方程組自左至右依將方程組1的解填入圖中;(2)請(qǐng)依據(jù)方程組和它的解變化的規(guī)律，將方程組n和它的解直接填入集合圖中;(3)若方程組的解是g my =16X = 10，求 m、y = -9n的值，并判斷該方程組是否符合中的規(guī)律?14某工廠用如圖甲所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種無(wú)蓋 的長(zhǎng)方體紙盒.（長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等 ）（1）現(xiàn)有正方形紙板50張，長(zhǎng)方形紙板I 00張，若要做豎式紙盒

11、根據(jù)題意，完成以下表格：x個(gè)，橫式紙盒y 個(gè).紙盒豎云紙食（個(gè)）橫式紙盒1個(gè)）y正方形紙板£張）按方形紙梅（張）3工圖甲豎式紙盒橫式紙盒圖乙若紙板全部用完，求 x、y的值；（2）若有正方形紙板80張，長(zhǎng)方形紙板a張，做成上述兩種紙盒, 162<n<172，求 n 的值.紙板恰好全部用完.已知15. （1）如圖1,圖2,圖3,在厶ABC中，分別以AB, AC為邊，向 ABC外作正三角形，正四邊形,正五邊形，BE, CD相交于點(diǎn)O .（說(shuō)明：每條邊都相等，每個(gè)角都相等的多邊形叫做正多邊形）如圖1，求證： ABE ADC ;探究：如圖 1, BOC 二* ;如圖 2, BOC

12、二* ;如圖 3, . BOC 二.（2）如圖4,已知：AB, AD是以AB為邊向 ABC外所作正n邊形的一組鄰邊； AC, AE是以AC 為邊向 ABC外所作正n邊形的一組鄰邊.BE, CD的延長(zhǎng)相交于點(diǎn)O.猜想：如圖4, . BOC（用含n的式子表示）;根據(jù)圖4證明你的猜想.16.按照指定要求畫圖 如下圖1所示，黑粗線把一個(gè)由18個(gè)小正方形組成的圖形分割成兩個(gè)全等圖形， 請(qǐng)?jiān)趫D2中，仿圖1沿著虛線用四種不同的畫法，把每圖形分割成兩個(gè)全等圖形.（2）請(qǐng)將下面由16個(gè)小正方形組成的圖形，用兩種不同的畫法沿正方形的網(wǎng)格線用粗線把它分割成兩個(gè)全等圖形17用兩個(gè)全等的等邊三角形 ABC和厶ACD拼成

13、四邊形 ABCD，把一個(gè)含60。角的三角尺與這個(gè)四邊形 疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與 AB、AC重合，將三角尺繞點(diǎn) A按逆時(shí)針?lè)较蛐?轉(zhuǎn)。（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖a）,通過(guò)觀察或測(cè)量 BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E、F時(shí)（如圖b），你在（1 ）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。（本題12分）18.如圖，在下列網(wǎng)格中，" ABC().A.1 個(gè)和"DEF全等，且DE與AB是對(duì)應(yīng)線段，則符合條件的 F點(diǎn)的個(gè)數(shù)為B

14、.2個(gè)C. 3個(gè)D.4個(gè)（本題滿分$分）如圖，已知梯形兄ECQ中，ABCD=1C MX，5C=S厘米，ZS=ZC. 憩E為AE的申點(diǎn)、點(diǎn)F在拔段上由0點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)，點(diǎn)總在gfcaCD上由C點(diǎn)向 E點(diǎn)運(yùn)動(dòng). 若點(diǎn)P與Q都以2厘米/秒的相同速度運(yùn)動(dòng)*經(jīng)過(guò)1. 5涉后，刖呃與C7QP是否全等7請(qǐng) 說(shuō)明理由】 若點(diǎn)戶的速度為3屋米f秒*當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)*能夠使AEPE與全等？B p C19、已知：如圖所示，在 ABC 和 ADE 中，AB = AC， AD = AE，/ BAC= / DAE= a，且點(diǎn) B，A, D在一條直線上，連接 BE, CD, M，N分別為BE, CD的中點(diǎn).（1）

15、求證：BE 二 CD ；（2） 在圖的基礎(chǔ)上，將厶ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180，其他條件不變，得到圖所示的圖形.請(qǐng) 直接寫出（1 ）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立;（3）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若直線 BE與CD相交于點(diǎn)P,試探究/ APB與/ MAN的關(guān)系，并說(shuō)明理由。（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）DA第27題圖27. （本題淆分10幷）在中，AB=ACt ABCACB.點(diǎn)Q是EK BC ±一點(diǎn)不與 B. C1：合）*以AD為一邊在*0的右側(cè)作XDE*便AEAD. ZDAEZBAC連ft C£.設(shè)ZBAC= a , ZBCE= Bffl iffi2冬用圖參用腔（l）如圖.當(dāng)點(diǎn)

16、3;>在BC上時(shí), 如JRZ出C=90,JflijZJC£= | toza<c=»oo則ZBCE恐 如果 Z54C=50a ,則ZBCE= i你認(rèn)Ao . B之間有怎樣的數(shù)關(guān)系¥請(qǐng)說(shuō)明理由廠（2當(dāng)點(diǎn)D在直綫啟7上移動(dòng)時(shí).則心、B之鳳有怎樣的霰董黃柬？謂在冬用圖上88出圖形井直接寫出你的結(jié)論.21. 如右圖所示，方格紙中有A、B、C、D、E五個(gè)格點(diǎn)（圖中的每一個(gè)方格均表示邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形），以其中的任意 3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫出所有的三角形，數(shù)一下，共 構(gòu)成個(gè)三角形，其中有 對(duì)全等三角形，它們分別請(qǐng)選取一對(duì)非直角全 等三角形，說(shuō)明全等的理由.I I I

17、I I V A -i t a |1i i 匚 E_ i_'D :22. 已知/ AOB=90,在/ AOB的平分線0M上有一點(diǎn)C,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與 C重合，它的兩條直角 邊分別與OA OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D、E.當(dāng)三角板繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到CD與 OA垂直時(shí)（如圖1），易證：CD=CE當(dāng)三角板繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到CD與 OA不垂直時(shí)，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立, 請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.B . 2個(gè) C. 1個(gè) D . 0個(gè)23. 如圖， DAC和厶EBC均是等邊三角形， AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，有如下結(jié)論:

18、ACE DCB ; CM = CN : EM = BN .其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）24. 銳角為45°的直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)也相等，這樣的三角形稱為等腰直角三角形我們常用的三角 板中有一塊就是這樣的三角形，也可稱它為等腰直角三角板.把兩塊全等的等腰直角三角板按如圖1放置，其中邊 BC、FP均在直線I上，邊EF與邊AC重合.將 EFP沿直線I向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q ,連結(jié)AP, BQ .猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想;將 EFP沿直線I向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交 AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q,連結(jié)AP, BQ.你 認(rèn)為（1）中所

19、猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.25.如圖， ABC和厶ADC都是每邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，點(diǎn)E、F同時(shí)分別從點(diǎn)B、A出發(fā)，各自沿 BA、AD方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A、D停止，運(yùn) 動(dòng)的速度相同，連接 EC、FC.（1）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中/ ECF的大小是否隨之變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn) A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形的面積變 化了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由連接EF,在圖中找出和/ ACE相等的所有角，并說(shuō)明理由.若點(diǎn)E、F在射線BA、射線AD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去，（1）小題中的結(jié)論還成立 嗎？（直接寫出結(jié)論，不必說(shuō)明理由 ）26.如圖，方格紙中 ABC的3個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn) （格點(diǎn)）上，這樣 的三角形叫格點(diǎn)三角形，圖中與厶 ABC全等的格點(diǎn)三角形共有 個(gè)（不含 ABC）.27、我校心動(dòng)數(shù)學(xué)”社團(tuán)活動(dòng)小組，在網(wǎng)格紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹(shù)方案如下：第k棵樹(shù)種植在點(diǎn)第Xk行yk列處