同濟大學朱慈勉結構力學結構動習題答案

1、同濟大學朱慈勉 結構力學 第10章 結構動習題答案10-1試說明動力荷載與移動荷載的區(qū)別。移動荷載是否可能產(chǎn)生動力效應？10-2試說明沖擊荷載與突加荷載之間的區(qū)別。為何在作廠房動力分析時，吊車水平制動力可視作突 加荷載？10-3什么是體系的動力自由度？它與幾何構造分析中體系的自由度之間有何區(qū)別？如何確定體系的動力自由度?10-4將無限自由度的振動問題轉(zhuǎn)化為有限自由度有哪些方法？它們分別采用何種坐標?10-5試確定圖示各體系的動力自由度，忽略彈性桿自身的質(zhì)量。(a)mim2_ 八一(b)分布質(zhì)量的剛度為無窮大，由廣義坐標法可知，體系僅有兩個振動自由度(c)(d)在集中質(zhì)量處施加剛性鏈桿以限制質(zhì)量

2、運動體系。有四個自由度。10-6建立單自由度體系的運動方程有哪些主要方法？它們的基本原理是什么？10-7單自由度體系當動力荷載不作用在質(zhì)量上時，應如何建立運動方程？10-8圖示結構橫梁具有無限剛性和均布質(zhì)量m，B處有一彈性支座（剛度系數(shù)為k），C處有一阻尼器（阻尼系數(shù)為c），梁上受三角形分布動力荷載作用，試用不同的方法建立體系的運動方程。10- 71q(t)CEl= 3 m21 3解：1)剛度法該體系僅有一個自由度。可設A截面轉(zhuǎn)角a為坐標順時針為正，此時作用于分布質(zhì)量m上的慣性力呈三角形分布。其端部集度為ml a取A點隔離體，A結點力矩為:Mi=-m a I 2l23=mal由動力荷載引起的力

3、矩為：-q | ?| =-q |22%)33*)由彈性恢復力所引起的彎矩為：頁 cal2根據(jù)A結點力矩平衡條件 M M p M $ =0可得:3map 哼 Fs1斗整理得:. ka 3ca ma 3I I2)力法:。根據(jù)幾何關系，虛功方程解：取AC桿轉(zhuǎn)角為坐標，設在平衡位置附近發(fā)生虛位移為:-q. fa -lotk -Ig-Io( Vote-3 t 33則同樣有:ka 3ca maI3I I10-9圖示結構AD和DF桿具有無限剛性和均布質(zhì)量 m，A處轉(zhuǎn)動彈簧鉸的剛度系數(shù)為 ke，C、E處彈簧的剛度系數(shù)為k，B處阻尼器的阻尼系數(shù)為 c,試建立體系自由振動時的運動方程。10- 72解:取DF隔離體

4、，a M F =0 :2a 2 32R 2a mx - dx ka -d03二 R =2ma ka:4取AE隔離體：v MA =0k/ 亠mx2 ： dx ca2 二打4ka2鳥：3Ra =0將R代入，整理得:3 .252R =15ma ka “k-; =010-10試建立圖示各體系的運動方程。(a)M(t)El解：（1）以支座B處轉(zhuǎn)角作為坐標，繪出梁的位移和受力圖如下所示。圖中慣性力為三角形分布，方 向與運動方向相反。（2）畫出Mp和M1圖（在B點處作用一附加約束）10- 73(3)列出剛度法方程kii3EIRipI -M24 一代入Rip、kii的值，整理得:Mi圖M 2圖試用柔度法解題此

5、體系自由度為1。設質(zhì)量集中處的豎向位移 y為坐標。y是由動力荷載Fp口慣性力矩Mi共同引起的y = tim 1 -'i2F p（t）由圖乘法:Ti丄I22EI3EI'i2_ I /2_6EI2 2348EI慣性力矩為 -m y II3. 5I3y_3EI _myI48EI Fpt經(jīng)整理得，體系運動方程為：my.3EII3pt。io-ii試求圖示各結構的自振頻率，忽略桿件自身的質(zhì)量。io- 74(a)|0?El=常數(shù)Ar2a a - a - 解：5a3M i圖11a2a2圖乘得：f112 a2 2a a a _El J223236EI6EI5ma3(b)eii=3廠l- 2 “解

6、：此體系為靜定結構，內(nèi)力容易求得。在集中質(zhì)量處施加垂直力 P,使質(zhì)量發(fā)生豎向單位位移，可得彈簧處位移為由此根據(jù)彎矩平衡可求得P = 4 k。923(c)ElEAi= 3応 2EI解：可以將兩個簡支梁視為兩個并聯(lián)的彈簧。上簡支梁柔度系數(shù)為；E：l36EI下簡支梁柔度系數(shù)為丨396EI于是兩者并聯(lián)的柔度系數(shù)為并l36EI 96EI102EIl310- 75解：在原結構上質(zhì)量運動方向加上一根水平支桿后，施加單位水平位移后畫得彎矩圖如下。水平支桿中力為30EI，即6 =啤3l313l330EI_' 13ml3(e)忽略水平位移10- 76解:(f)mI - 4aH-4a212M i圖f1 3a

7、 二ii27a2EA解:M 2圖13,23 ,16213,0.014974 l3lll21933219364丿El丄 2i 1i 2 Ai AiEI 3223 3232=8.172, m;10-12為什么說自振周期是結構的固有性質(zhì)？它與結構哪些固有量有關？關系如何？10-13試說明有阻尼自由振動位移時程曲線的主要特點。此時質(zhì)量往復一周所用的時間與無阻尼時相 比如何？10-14什么是阻尼系數(shù)、臨界阻尼系數(shù)、阻尼比和振幅的對數(shù)遞減率？為什么阻尼對體系在沖擊荷載作用下的動力響應影響很小?10-15設已測得某單自由度結構在振動 比E。10周后振幅由1.188mm減小至0.060mm，試求該結構的阻尼解

8、： 丄 |l n11188=0.04752n二 yk n 20二 0.0610-16設有阻尼比E = 0.2的單自由度結構受簡諧荷載Fp(t)= Fsindt作用，且有v-0.75，。若阻尼比降低至E = 0.02，試問要使動位移幅值不變，簡諧荷載的幅值應調(diào)整到多大？解:已知 從 0.2 降低至 0.02. V - 0.75 ，F(xiàn)1F sint，A 不變。F1F2F0.827F1* 4 0.02p.9'1610- 77F簡諧荷載的幅值應調(diào)整到0.827F。10-17試說明動力系數(shù)的含義及其影響因素。單自由度體系質(zhì)量動位移的動力系數(shù)與桿件內(nèi)力的動力 系數(shù)是否相同？10-18什么是共振現(xiàn)象

9、，如何防止結構發(fā)生共振？10-19試求圖示梁在簡諧荷載作用下作無阻尼強迫振動時質(zhì)量處以及動力荷載作用點的動位移幅值，(a)El并繪制最大動力彎矩圖。設Fsin FB點引起I3位移。3EI解：由力法可知，單位荷載作用在1 二刖曲碁引心即幅值為FI33EI當幅值最大時，彎矩也最大。(b)解:FlMmax 圖Fsin Fl l一22BM 1圖(1)求結構運動方程如所示彎矩圖，圖乘后,11l324EIf22_ 3EI , f12- f215l348EI=f11FIf12F sin A = fu-myf12Fsin 戈ytC24EI5F .-y rysi nml2m10- 7824EImr穩(wěn)態(tài)解:5Fl

10、3=2_24EIsin vt1 ，1 2 osin vt145FI336eisin我所示結構的運動方程為C點最大動位移幅值為5Fl3 a yt C = si nt 36EI5Fl336EI(2)求B點的動位移反應ytBf22Psin 我二 f21-myt bf22Psin 我ytBP2 m- sin vt1 2oytBP2 m-sin vt 孑'2GO-f、 1*日2 1+ Pf22y(B 二f21P 1，：I02 )iny( C = 36EI5Fs in-5I3548EI 21l3 +P sinOt3EIPl3253EI32蘭，2sinOtf12322Q21 一二 .國丿121 4s

11、in我128 3l3 沖 in我 288EI7 -2Pl33EIPl33EI -121P1sin Tt10- 79121PI3B點的動位移幅值為288EI(3)繪制最大動力彎矩圖Mi圖M 2圖121PI3 3EI 5PI3 12EIM A max2288EI I 36EI I竺Pl96M最大動力彎矩圖設桿件為無限剛性，彈10-20試求圖示集中質(zhì)量體系在均布簡諧荷載作用下彈簧支座的最大動反力。 簧的剛度系數(shù)為k。解:m2iHiiiiiiHiminlEl= al9ql。8B點處順時針方向轉(zhuǎn)角二為坐標。若qt為靜力荷載，彈簧中反力為已知圖示體系為靜定結構，具有一個自由度。設為 建立動力方程：31 .

12、 I 3I m321,mI k：I ：I q xdx2 22 3 20.22 29 2 9-m - I2 k： 2I2 - ： q 丨2= m： k q8 8護10- 8019則彈簧支座的最大動反力為2 I。1日2 81 2O10-21設圖a所示排架在橫梁處受圖b所示水平脈沖荷載作用，試求各柱所受的最大動剪力。已知El=6X 106N m2，t1 = 0.1s, FP0= 8 X 104n。(a)解：求排架自振頻率，橫梁無限剛性，則各排架水平側移相同。 可將排架柱視為三個并聯(lián)的彈簧。邊柱剛度柔數(shù) 心=k3二洱 中柱k2 = 卑hh, 12EIk并h_ k _12 6 106N m2m . 63

13、 m3 8000 102 N= 0.645rad /s2兀T9.73sco數(shù)值很小右 _ o.1 _ 1T - 9.73 一 97.3所以認為當Fpt作用結束時，結構位移很小，彈性力忽略不計，于是根據(jù)動量守恒原理可得：1 514m vt1FX= 8 10 vt18 100.12 2=vt1 =5 10 m / s再根據(jù)勢能守恒得：122 15_3 2 1 16 2-mV =kymax=匯8匯10 江(5漢10 ) =-X-X10 X yst2222 3= yst = 0.0077m1 6Fq中=yst k中=0.0077 10 -1283N61Fq 邊=Fq 中=642N(b)10- 8110

14、-22設圖a所示排架橫梁為無限剛性，并有圖 b所示水平短時動力荷載作用，試求橫梁的動位移(a)解：在三角形沖擊荷載作用下單自由度體系的質(zhì)點位移反應可分兩個階段考慮。第一階段(0 _t )：iyt百 _ Fpo m'-toFpoz Sin，t -Z dZ t zsin t -Z dZotiysjmtic.1 'si門銚 =ys +ji JZT 'tit1|si n2 兀I-2兀荷丿IT 丿 tiTsi n2兀ft、12titii0- 82求T的過程。因為不受外力作用，所以橫梁以 ti時刻的位移和速度為初始值做自由振動。(b)10-23設題10-22圖a所示剛架 m= 40

15、00kg, h = 4m,剛架作水平自由振動時因阻尼引起振幅的對數(shù)遞減率 y0.10。若要求振幅在10秒內(nèi)衰減到最大振幅的 5%，試求剛架柱子的彎曲剛度EI至少為何值。解：(1)求周期數(shù)。0.05y。=y°e、n = n 二005 =300.1(2)求 k: tn= 1421.223 103N/m(2 漢 3.14159 漢 30丫4.0 漢 103102兩柱并聯(lián)2EI12h362EI =3.79 10 N m試問簡諧荷載頻率二分10-24設某單自由度體系在簡諧荷載Fp(t)= F sin氓作用下作有阻尼強迫振動,別為何值時，體系的位移響應、速度響應和加速度響應達到最大?10- 83

16、yt 二 Asin 說解：在簡諧荷載Fp(t)= FsinF作用下，穩(wěn)態(tài)位移響應可表示為其中:A 二2m©_1a =ta n12“1 - 2© J4-：(1)使動位移最大，即使最大，從而得出e2 1一二 .° J4 2葦最小。-J2 CO2_4 2蘭-，2 -，2(2) yt - vAcos(才-：)設g 丁 =2 12CO(日2 I蘆2 “J 1 -飛 +4- r GO J©如果使速度響應最大，則g r最大，設g r二r1顯然要求g1 最小。使：g =2(3) yt - -，Asin(rt -：)02、2閃2 J42-1JU二2顯然要求hi -I最小。

17、10- 84則01二丄-上=0解的：二二 - 10-2510-26結構自振頻率的個數(shù)取決于何種因素？求解結構自振頻率的問題在數(shù)學上屬于何類問題? 試用柔度法求下列集中質(zhì)量體系的自振頻率和主振型。(a)解:(1)2Mi圖_lI311 -121.121 丄 2 丄232222324EIElf 22 =2 1 I231 2 I IIr 5I3丨二 f22 :2 322212EI(2)振型方程A 0 A2 = 01 m 4EI5|31令二123EI2，頻率方程為:ml國10- =010- 85 -3 10 =01 =10,2 =3= 1.095=212EI'10ml312EI23ml3(3)振

18、型圖如下體系具有兩個自由度。先求柔度系數(shù)，做出單位彎矩圖，由圖乘法可得:11EI12 1 21 31 2l2l3_2.1. 2 l33 3EI10- 86“"Et11'21 21 2l3I =2 6EIEI 121 r 2I 2 1212 3 26EI得振型方程:1.2 I33EI令12COmm1 A 魯 m0、.2I36EIml32.414 -0.7070.7070.707-X2.414-2.773,' '2 -3EI3mI 2.6675=1.060 m;(c)A110.707EIm1= mm2= mEI解:AI2A-1 -圖IVI1(1)fiil33EI&

19、#163;13l322 _ 12EI，12 = f21(2 )振型方程2.41420.3580.7075l312EI10- 87A =0>3EImA, +2 om【2m 一l3m -A =012EI令曠p，頻率方程為:ml 4- - 513-0,15.227ml3 = 0.888Y 1.773ml3 = 2.602(3 )當=15.227 時，設 A, = 1 =/. 1 - 8A21 二0.722710-17，52 -25 =0 = 15.227, 2 =1.77312EI12EI當，- 2 =1.773時，設 A|2 =1= A22 = 2* - -0.622710繪出振型圖如下:0

20、.6227第二振型(d)EI12EIaaEI 1= 3k2= 3a解:110- 88Mi圖1/k1 /k22248 El二-2148 Ell/匕/k2/2a= 1 a'、2 2 .丿'226 El1 +221 / k11 / k2 二2311 a48 El頻率方程為:12 m2f2imf22m2 -21 3取 m! =ma,m2ma 代入整理得:344248EIa40a =0其中嚴丐332a m =11.045a,、2 =3.625a二 Z481 - =2.085 P 11.045a4m4_a m；48Elf El'243.639 _4-_*3.625a4m a4m振型

21、方程為：IY11maA +&2m2 A =0將們=們,Ai =1 (i =1,2 )代入(a)式中的第一個方程中，得:1 .2 、11m 1、12叫4 ma12 - 11m12詁 12 mm繪出振型圖如下:4 ma0.23010.2292ElEl 0.135a 13ma48El 343.625T1 ma48 El-22.1251 一 3ma48El 310- 890.13522.125第二振型廠El=常數(shù)解:11(1)I3(2 )振型方程10- 90I36EI了 I3m - fEI <l31mTEI丿0 A +o a2a1，26EI13A(2EII3I - m6EIm A +0

22、A =0J1 'm -2 A2 +0 A =0a J、12 CO令，空L32m I頻率方程為:=0=3=23EI ml 33EI2ml3'" =31、彳、0?=1a, -1a#0T丿振型圖如下:(f)1I*I1第二振型第一振型第三振型10- 914mm解:aM1圖(1)益13-11 =3ETa, 22(2)振型方程為:83EIEI=常數(shù)a3,、332aM 2圖a3,、21 h：125 a3,、：23 =326EIIV 3.1 a1m -2El£丿1.5a3邑mpEI/4a3m A徑El丿',z5a3+1m Al6EI丿8a315irm什4a3'

23、;+ m13EI丿4a3+ 4m A =03EI哎3EI 9a3.A>4m -2EI4m A3 =0A =0令莘ml - 頻率方程為:10- 923216- 11228216- A=1 =231.8, 2 =1.936, 3 =0.2317= Oi=0.161j_EIQ2=1.760maE,越=5.08ma曰 ma1 、1 、-o:3.469a2 = 1.390a； = -0.687©640 0.219005210-27試用剛度法求下列集中質(zhì)量體系的自振頻率和主振型。3aM 3圖磐 a3,、？ =、133 EI4 3 a 3EI(a)mi= mEll= 3Elm2= 2mElE

24、lEl 1 = 3El解:6EI6EI24ElM 2圖k12k11, 48EIk22l2-24y - 24-2448 -2y=022m - lEl1-0.707y =7.029, y2 =40.971亍;二1 二2.651.3 ,二；2 二6.401 ml3A； JM 0.707振型圖如下：(b)，裁；0.707第一振型J 0.7070.707a 77"0.70第二振型10- 93解:kii = k22振型方程:Fi圖EA EA 22l 22l2 2EAEA2l4l'4+V24l2EA co m A +2EA4lA2 =04lA 42 EA 2m4l=0F2圖=- i叫=.3

25、06JAf)',AO=f j(c)10- 94耳一一 1 m k mM i圖作岀附加連桿移動單位位移的彎矩圖k114EIk12EI3il1 2列岀頻率方程:k224EI6 mcok12一叫解得:3EI3ml5EI3ml結構自振頻率分別為：卜嚅=1求第一振型：令 A11 =1得A21 求第二振型：令 A12 =1得A,2 結構的振型向量形式為：10- 95(d)解:llEIlEI1=3i21譏1M1圖k12 - k21 =0，k1115i2l8i列振型方程：（*15一y）A 一0' 氣 16_y 介=0其中第二振型2ml3列頻率方程并求解:66y-51 O1=1D討i 二 15,

26、 y 16囲Y739齊傀二求振型將y =15, A1 =1代入方程組（*）中得：A?! =0 ,將y2 =16,2 =1代入方程組（*）中得：宀2 =0 ,振型圖如下：10- 96第一振型第二振型10-28試說明在應用多自由度體系強迫振動的振幅方程（10-66 ）和（10-71 ）時，對動力荷載的性質(zhì)、特點和作用位置分別有何要求？10-29試說明為什么可以將慣性力幅值與簡諧荷載幅值同時作用在體系上，按靜力學方法計算體系的 動內(nèi)力幅值。10-30試求圖示結構B點的最大豎向動位移 yB（max），并繪制最大動力彎矩圖。設均布簡諧荷載頻率B點處彈性支座的剛度系數(shù) k二耳，忽略阻尼的影響aCMIV,D

27、4M1圖Mp圖畫M,M p圖f 121aa-a !5aEl 22 3222 k 12EIa1 -“a、” J12 丄 1“12 ）丄 1、”a“ 、”2、”12】丄1-1“1 qa4-1 p 2 a ' qaqaa qaqa -El2 V 34 丿 2234 一 24 k 4EI列岀方程得：12EI3aEI4.生-=04EI10- 97解得：I1 Jqa7/3“31a13qaqa -4El28EI根據(jù)公式M mMiI, Mp畫出最大動力彎矩圖10-31圖示結構在B點處有水平簡諧荷載 Fp(t)=1kN sinrt作用，試求集中質(zhì)量處的最大水平位移和豎向位移，并繪制最大動力彎矩圖。設r

28、- -El3，忽略阻尼的影響。 ml3112132-11222 2 2 2EI23EI3EI114'21二-1222 2 二EI2EI1128：22222 -EI233EI114F'1p2F 22 =EI2EI10- 98'-'2p1EI8F3EI代入慣性力幅值方程:323EIml3Ii +亠2EI4FEImEI8F03EI解得：I-KN,I25 KN1717IiI2A = =-0.941mm, A =-0.261mm mFmJ將以上求得最大慣性力Ii、I2和動力荷載，同時作用于結構，可得最大動力彎矩圖:17m= 100t, l = 5m,10-32圖示剛架各橫

29、梁為無限剛性，試求橫梁處的位移幅值和柱端彎矩幅值。已知每分鐘振動240次；忽略阻尼的影響El=5 X 105kN m2；簡諧荷載幅值 F = 30 kN解:m 3=ml10- 9924EI層間剛度設為k, k=24-l3kn = k?2 =2k,ki2 =k2i =k23 =k32 =-k, k33 = k2jin 2兀 X2400 =8 兀60 60動位移幅值方程為：F=30KN l=5m24EA2 =0l324EI 丄'48EI3 A|3 I 124EI , '24EI 衛(wèi) fA 門-|3 A +( |3 _惟 JA3 =0l3-1.5m日2底柱柱端彎矩幅值：512EI l

30、3 125X105MA30.1353 1 03316.236KN ml32532中柱柱端彎矩幅值：,12EI 13 6乂105M2=(AA* 3 匯 =(0.13530.0926產(chǎn)103漢=5.124KN ml25頂柱柱端彎矩幅值：12EI l3 6M05M3 二Ab30.2710 10332.52KN ml325將具體數(shù)值代入，解得:A = -0.1 353mm,宀=-0.0926mm, A3 - -0.27 10mm10-33試求圖示結構兩質(zhì)量處的最大豎向動位移，并繪制最大動力彎矩圖。設m1 = m2= m, 范 -EI3V ml3m1EI=常數(shù)k= E3m2FFsin Tt解：該結構有兩

31、個自由度，使用剛度法。10- 100Elk 103 El k k k El k k11薩，ki2 = k2i = -k3 , k227 l3l3kn的求解過程:i 11615256323 7l3lll 2 l llEl 112 163 161183 8 丿 96 El96El7l3l37l3k22的求解過程:12左構件古2l 2l 13音6Ell3El 7Elr =l3 l3二一 2八7lEl將上述剛度系數(shù)，質(zhì)量值及荷載幅值代入位移幅值方程，并計了 103EI 4EI L El理-但Al3 l3 A210- 101解得：A=0.032Fl3,A=0.344Fl3ElEI求解過程：對于AB桿件，

32、相當于在中點作用一集中力最大動力彎矩圖i96Fab =A k1 =0.032疋F =0.439F7對于CD桿件，相當于在中點作用一集中力Fcd 二 a k2 =0.344 6F =2.064 F10-34試說明用振型分解法求解多自由度體系動力響應的基本思想，這一方法是利用了振動體系的何 種特性？10-35試用振型分解法計算題10-32解:其中十由剛度矩陣和質(zhì)量矩陣可得:=96 106 Nm = m=1 105Kg2k - k 0 1"2 m00 1-k 2k - k質(zhì)量矩陣M =01.5m00 -k k00m剛度矩陣k =-0.3115 0.57740.2639A= -0.52780

33、-0.6230-0.6230-0.57740.5278_L_L-1 =12.11s , 2 =30.98 s3 =45.75sm1= A（）MA（）="-0.3115 T 12m -0.5278 | 0-0.6230001.500-0.3115 10 | -0.5278 =m =1=<105kg1-0.6230m2= A2TMA2 二m =1 105kgm3 =A? tMaC )= =V:105kg10- 102F p"-0.3115 -0.5278'-0.6230olF sin 6t = V5.83sin 日t KN"0.5774 f0-0.577

34、4則yi t應滿足方程丄 2yi i yimi其穩(wěn)態(tài)響應為:3-15.83 105 22_1 105 12.112 - 8-：sin 我=0.3264sin 我 mm同理：y21 =0y3318.69X101漢105 (45.752 (8兀)sin A = -0.1279sinh mmy1()y1fJ "0.31150.057740.26390.3264y2()-0.5278穌匚°6230.05774-0.6230.5278 -0.1279"-0.1354-0.0926sin vt mm-0.2708 _? J顯然最大位移ymax 二"0.1354mmy

35、2max =_0.°926mmy3max 二-0.2708mm與10-32題的答案基本一致。10-36試用振型分解法計算題10-31結構作有阻尼強迫振動時，質(zhì)量處的最大位移響應。已知阻尼比E 1 =E 2 = 0.10。解：32剛度矩陣k =EI=EI80.2143-0.32140.3214 0.8571質(zhì)量矩陣M = m01)-0.4142110- 103mi =A1TMA1 =1.1716m帚2 二A2TMA2 =1.1716mFpf、=A（） FPf.= I11 QI0.41421F sin vt =0.4142F sin nt-pt匚0.4142$ 介）.F P21 二 AI ! Fp tF sin rt 二 F sin 我1 1 正則坐標y11應滿足方程:其穩(wěn)態(tài)響應為：%（嚴 sin（etp ）2 F P1 ty1 2 1 ；：；1 y1 : ；：；1 y1 ：m1310.4142 101.1716m 1= 0.8133mm=ta n，2廠=ta n 丄（7.4587 嚴-0.4301J同理可得：y2t ；fsin-： 234=1.1716：咄