高等數(shù)學(xué)備課資料：第九章 多元函數(shù)微分學(xué) 05 第五節(jié) 隱函數(shù)微分法

1、第五節(jié) 隱函數(shù)微分法分布圖示 一個(gè)方程的情形（1） 例1 例2 一個(gè)方程的情形（2） 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 方程組的情形 例10 例11 例12 例13 例14 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題95 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、一個(gè)方程的情形定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且則方程 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 它滿足 并有 (5.2)定理2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且 則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足條件,并有 (5.4) 二、方程組的情形定理3 設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

2、，又 且函數(shù)、雅可比行列式在點(diǎn)不等于零，則方程組在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)它們滿足條件 其偏導(dǎo)數(shù)公式由(5.9)和(5.10)給出. ， . (5.9) ， . (5.10)例題選講 一個(gè)方程的情形例1（E01） 驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0, 1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)時(shí)的隱函數(shù),求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在的值.證 令則依定理知方程在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),當(dāng)時(shí)的隱函數(shù)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為例2 求由方程 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 此題在第二章第六節(jié)采用兩邊求導(dǎo)的方法做過,這里我們直接用公式求之.令則由原方程知時(shí)，所以例3 求由方程 是常數(shù)）所

3、確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和解 令則顯然都是連續(xù).所以，當(dāng)時(shí)，由隱函數(shù)存在定理得例4（E02）設(shè) 求 解 令則注：在實(shí)際應(yīng)用中，求方程所確定的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，不一定非得套公式，尤其在方程中含有抽象函數(shù)時(shí)，利用求偏導(dǎo)或求微分的過程則更為清楚.例5（E03）設(shè) 求解 看成的函數(shù)對求偏導(dǎo)數(shù)得 把看成的函數(shù)對求偏導(dǎo)數(shù)得 把看成的函數(shù)對求偏導(dǎo)數(shù)得 例6（E04）設(shè)其中F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且求證證 由題意知方程確定函數(shù)在題設(shè)方程兩邊取微分,得即有 合并得 解得 從而 于是 例7 設(shè)方程 確定了隱函數(shù)，求 解 方程兩邊分別對求偏導(dǎo)和對求偏導(dǎo),得所以同理 例8 設(shè)而是由方程所確定的的函數(shù)，求解 將看作的函數(shù),所給

4、的方程兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)得即 于是 例9 設(shè) 由方程 確定，其中具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 求 解 因由確定,故(其中于是例10（E05）設(shè) 求解 由題意知,方程組確定隱函數(shù)組在題設(shè)方程組兩邊對求偏導(dǎo),得利用克萊姆法則, 解得例11（E06）設(shè)求,解一 由題意知, 方程組確定隱函數(shù)在題設(shè)方程組兩邊取微分,有把看成未知的,解得即有 同理, 我們還可以求出從而得到注: 此題也可用公式法求解.解二 用公式推導(dǎo)的方法, 將所給方程的兩邊對求導(dǎo)并移項(xiàng)得在的條件下,有 將所給方程的兩邊對求導(dǎo), 用同樣方法得例12 設(shè)其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且 求解 由題意知,題設(shè)方程組隱含函數(shù)組在方程兩端對 求導(dǎo),得 (1)又由方程知 (2)再在方程兩邊對求導(dǎo),得解得 (3)把(2)、(3)代入(1),即得注: 此題也可以利用多元函數(shù)的一階微分形式不變性及微分的四則運(yùn)算方便地計(jì)算出, 請讀者試之.例13（E07）在坐標(biāo)變換中我們常常要研究一種坐標(biāo)與另一種坐標(biāo)之間的關(guān)系. 設(shè)方程組 (5.14)可確定隱函數(shù)組 稱其為方程組(5.14)的反函數(shù)組. 設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，試證明 證 將代入(1),有在方程組兩端分別對和求偏導(dǎo),得和即 由 證畢.注: 此結(jié)果類似于一元函數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推廣到三維情形:若確定反函數(shù)組則在一定條件下,有例14（E08）設(shè)方程組確定反函數(shù)組 求解 由在題設(shè)方程組兩邊對求偏導(dǎo),得解得