微積分課件：2-2函數(shù)極限

1、.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀(guān)察函數(shù)觀(guān)察函數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2.2 函數(shù)極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過(guò)過(guò)程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的過(guò)程的過(guò)程表示表示 xXx. 0sin)(,無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過(guò)觀(guān)察通過(guò)觀(guān)察:問(wèn)題問(wèn)題: 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”.定義定義 1 1 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在

2、著正數(shù)X, ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿(mǎn)足不等式都滿(mǎn)足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或定定義義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim1、定義：、定義：:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng):.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: Axfx)

3、(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線(xiàn)為中心線(xiàn)直線(xiàn)直線(xiàn)圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx證明證明證證xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取時(shí)恒有時(shí)恒有則當(dāng)則當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線(xiàn)的圖形的水平漸近線(xiàn)是函數(shù)是函數(shù)則直線(xiàn)則直線(xiàn)如果如果定義定義xfycycxfx 二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函

4、函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過(guò)過(guò)程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .000的過(guò)程的過(guò)程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點(diǎn)點(diǎn) x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多么小么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都都滿(mǎn)足不等式滿(mǎn)足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(

5、xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或定義定義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)1、定義：、定義：2、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線(xiàn)為中心線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 例例2)

6、.( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 證證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例3. 211lim21 xxx證明證明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx例例4.lim00 xxxx 證證

7、0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取負(fù)負(fù)值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無(wú)限趨近從左側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記作記作,0 xx從右側(cè)無(wú)限趨近從右側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使

8、當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例5證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn

9、;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后時(shí)刻時(shí)刻(見(jiàn)下表見(jiàn)下表)過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )(xf Axf)(思考題思考題試試問(wèn)問(wèn)函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)