大學(xué)物理課后習(xí)題答案第二章

1、文檔可能無法思考全面，請(qǐng)瀏覽后下載! 第二章 運(yùn)動(dòng)定律與力學(xué)中的守恒定律(一) 牛頓運(yùn)動(dòng)定律21 一個(gè)重量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運(yùn)動(dòng)，的方向與斜面底邊的水平約AB平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道解答質(zhì)點(diǎn)在斜上運(yùn)動(dòng)的加速度為a = gsin，方向與初速度方向垂直其運(yùn)動(dòng)方程為ABv0P圖2.1x = v0t，將t = x/v0，代入后一方程得質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為，這是拋物線方程22 桌上有一質(zhì)量M = 1kg的平板，板上放一質(zhì)量m = 2kg的另一物體，設(shè)物體與板、板與桌面之間的滑動(dòng)摩擦因素均為k = 0.25，靜摩擦因素為s = 0.30求：（1）今以水平力拉板，使兩者一

2、起以a = 1m·s-2的加速度運(yùn)動(dòng)，試計(jì)算物體與板、與桌面間的相NmfmNMfMa互作用力；（2）要將板從物體下面抽出，至少需要多大的力？解答（1）物體與板之間有正壓力和摩擦力的作用板對(duì)物體的支持大小等于物體的重力：Nm = mg = 19.6(N)，這也是板受物體的壓力的大小，但壓力方向相反物體受板摩擦力做加速運(yùn)動(dòng)，摩擦力的大小為：fm = ma = 2(N)，這也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反板受桌子的支持力大小等于其重力：NM = (m + M)g = 29.4(N)，這也是桌子受板的壓力的大小，但方向相反板在桌子上滑動(dòng)，所受摩擦力的大小為：fM = kNM = 7

3、.35(N)這也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反（2）設(shè)物體在最大靜摩擦力作用下和板一起做加速度為a的運(yùn)動(dòng)，物體的運(yùn)動(dòng)方程為NmfNMf fFa f =smg = ma，可得 a =sg板的運(yùn)動(dòng)方程為 F f k(m + M)g = Ma，即 F = f + Ma + k(m + M)g = (s + k)(m + M)g，算得 F = 16.17(N)因此要將板從物體下面抽出，至少需要16.17N的力23 如圖所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，兩物體與水平面的的摩擦因素勻?yàn)?.2求質(zhì)量為m2的物體的加速度及繩子對(duì)它的拉力（繩子和滑輪質(zhì)量均不計(jì)）解答利用幾

4、何關(guān)系得兩物體的加速度之間的關(guān)系為a2 = 2a1，而力的關(guān)系為T1 = 2T2m2FT1a1m1T2a2f1f2圖2.3對(duì)兩物體列運(yùn)動(dòng)方程得T2 - m2g = m2a2，F(xiàn) T1 m1g = m1a1可以解得m2的加速度為= 4.78(m·s-2)，19 / 22繩對(duì)它的拉力為= 1.35(N)24 兩根彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)分別為k1和k2求證：（1）它們串聯(lián)起來時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)k與k1和k2滿足關(guān)系關(guān)系式；k1k2F(a)k1k2F圖2.4(b)（2）它們并聯(lián)起來時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)k = k1 + k2解答當(dāng)力F將彈簧共拉長(zhǎng)x時(shí)，有F = kx，其中k為總倔強(qiáng)系數(shù)兩個(gè)彈簧分別拉長(zhǎng)x1和x2

5、，產(chǎn)生的彈力分別為F1 = k1x1，F(xiàn)2 = k2x2（1）由于彈簧串聯(lián)，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2，因此 ，即：（2）由于彈簧并聯(lián)，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2， 即：k = k1 + k225 如圖所示，質(zhì)量為m的擺懸于架上，架固定于小車上，在下述各種情況中，求擺線的方向（即圖2.5擺線與豎直線的夾角）及線中的張力T（1）小車沿水平線作勻速運(yùn)動(dòng)；（2）小車以加速度沿水平方向運(yùn)動(dòng)；（3）小車自由地從傾斜平面上滑下，斜面與水平面成角；（4）用與斜面平行的加速度把小車沿斜面往上推（設(shè)b1 = b）；（5）以同

6、樣大小的加速度（b2 = b），將小車從斜面上推下來解答（1）小車沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺在水平方向沒有受到力Tmgma（2）的作用，擺線偏角為零，線中張力為T = mg（2）小車在水平方向做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和拉力的合力就是合外力由于tan = ma/mg， 所以 = arctan(a/g)；繩子張力等于擺所受的拉力 ：Tmgma（3）（3）小車沿斜面自由滑下時(shí)，擺仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以 = ；T = mgcos（4）根據(jù)題意作力的矢量圖，將豎直虛線延長(zhǎng)，與水平輔助線相交，可得一直角三角形，角的對(duì)邊是mbcos，鄰邊是mg + mbsin，由此可得：Tmgmb（4），T

7、mgmb（5）因此角度為；而張力為（5）與上一問相比，加速度的方向反向，只要將上一結(jié)果中的b改為-b就行了lmBCO圖2.626 如圖所示：質(zhì)量為m =0.10kg的小球，拴在長(zhǎng)度l =0.5m的輕繩子的一端，構(gòu)成一個(gè)擺擺動(dòng)時(shí)，與豎直線的最大夾角為60°求：（1）小球通過豎直位置時(shí)的速度為多少？此時(shí)繩的張力多大？（2）在 < 60°的任一位置時(shí)，求小球速度v與的關(guān)系式這時(shí)小球的加速度為多大？繩中的張力多大？（3）在 = 60°時(shí)，小球的加速度多大？繩的張力有多大？解答（1）小球在運(yùn)動(dòng)中受到重力和繩子的拉力，由于小球沿圓弧運(yùn)動(dòng)，所以合力方向沿著圓弧的切線方向，

8、即F = -mgsin，負(fù)號(hào)表示角度增加的方向?yàn)檎较騦mBCOmgT小球的運(yùn)動(dòng)方程為，其中s表示弧長(zhǎng)由于s = R = l，所以速度為，因此，即 vdv = -glsind， （1）取積分 ，得 ，解得：= 2.21(m·s-1)由于：，所以TB = 2mg = 1.96(N)（2）由（1）式積分得，當(dāng) = 60º時(shí)，vC = 0，所以C = -lg/2，因此速度為切向加速度為at = gsin；法向加速度為由于TC mgcos = man，所以張力為TC = mgcos + man = mg(3cos 1)（3）當(dāng) = 60º時(shí)，切向加速度為= 8.49(m&

9、#183;s-2)，法向加速度為 an = 0，繩子的拉力T = mg/2 = 0.49(N)注意在學(xué)過機(jī)械能守恒定律之后，求解速率更方便27 小石塊沿一彎曲光滑軌道上由靜止滑下h高度時(shí)，它的速率多大？（要求用牛頓第二定律積分求解）解答小石塊在運(yùn)動(dòng)中受到重力和軌道的支持力，合力方向沿著曲線方向設(shè)切線與豎直方向的夾角為，則hmNmg圖2.7F = mgcos小球的運(yùn)動(dòng)方程為，s表示弧長(zhǎng)由于，所以，因此 vdv = gcosds = gdh，h表示石下落的高度積分得 ，當(dāng)h = 0時(shí)，v = 0，所以C = 0，因此速率為 28 質(zhì)量為m的物體，最初靜止于x0，在力(k為常數(shù))作用下沿直線運(yùn)動(dòng)證明

10、物體在x處的速度大小v = 2k(1/x 1/x0)/m1/2證明當(dāng)物體在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得方程利用v = dx/dt，可得，因此方程變?yōu)?，積分得 利用初始條件，當(dāng)x = x0時(shí)，v = 0，所以C = -k/x0，因此，即 證畢討論此題中，力是位置的函數(shù)：f = f(x)，利用變換可得方程：mvdv = f(x)dx，積分即可求解如果f(x) = -k/xn，則得（1）當(dāng)n = 1時(shí)，可得利用初始條件x = x0時(shí)，v = 0，所以C = lnx0，因此 ，即 （2）如果n1，可得利用初始條件x = x0時(shí)，v = 0，所以，因此 ，即 當(dāng)n = 2時(shí)，即證明了本題的結(jié)果29

11、一質(zhì)量為m的小球以速率v0從地面開始豎直向上運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中，小球所受空氣阻力大小與速率成正比，比例系數(shù)為k求：（1）小球速率隨時(shí)間的變化關(guān)系v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的時(shí)間T解答（1）小球豎直上升時(shí)受到重力和空氣阻力，兩者方向向下，取向上的方向?yàn)橄?，根?jù)牛頓第二定律得方程，分離變量得，積分得當(dāng)t = 0時(shí)，v = v0，所以，因此，小球速率隨時(shí)間的變化關(guān)系為（2）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)v = 0，所需要的時(shí)間為討論（1）如果還要求位置與時(shí)間的關(guān)系，可用如下步驟：由于v = dx/dt，所以，即，積分得，當(dāng)t = 0時(shí)，x = 0，所以，因此（2）如果小球以v0的初速度向下做直線運(yùn)動(dòng)

12、，取向下的方向?yàn)檎?，則微分方程變?yōu)?，用同樣的步驟可以解得小球速率隨時(shí)間的變化關(guān)系為這個(gè)公式可將上面公式中的g改為-g得出由此可見：不論小球初速度如何，其最終速率趨于常數(shù)vm = mg/k210 如圖所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圓環(huán)帶，半徑為R一物體帖著環(huán)帶內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，物體與環(huán)帶間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為k設(shè)物體在某時(shí)刻經(jīng)A點(diǎn)時(shí)速率為v0，求此后時(shí)刻t物體的速率以及ARv0圖2.10從A點(diǎn)開始所經(jīng)過的路程解答物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由圓環(huán)帶對(duì)物體的壓力，即N = mv2/R物體所受的摩擦力為f = -kN，負(fù)號(hào)表示力的方向與速度的方向相反根據(jù)牛頓第二定律得， 即 ： 積分得：當(dāng)t = 0時(shí)，v =

13、v0，所以，因此 解得 由于，積分得，當(dāng)t = 0時(shí)，x = x0，所以C = 0，因此211 如圖所示，一半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)在環(huán)上套有一珠子今逐漸增大圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，試求在不同轉(zhuǎn)動(dòng)速度下珠子能靜止在環(huán)上的位置以珠子所停處的半徑與豎直mRrmg圖2.11直徑的夾角表示解答珠子受到重力和環(huán)的壓力，其合力指向豎直直徑，作為珠子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，其大小為：F = mgtg珠子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r = Rsin根據(jù)向心力公式得F = mgtg = m2Rsin，可得，解得 (二)力學(xué)中的守恒定律212 如圖所示，一小球在彈簧的彈力作用下振動(dòng)彈力F = -kx，而位移x = A

14、cost，其中k，A和都是常數(shù)求在t = 0到t = /2的時(shí)間間隔內(nèi)彈力予小球的沖量解答方法一：利用沖量公式根據(jù)沖量的定義得OxFxm圖2.12dI = Fdt = -kAcostdt，積分得沖量為，方法二：利用動(dòng)量定理小球的速度為v = dx/dt = -Asint，設(shè)小球的質(zhì)量為m，其初動(dòng)量為p1 = mv1 = 0，末動(dòng)量為p2 = mv2 = -mA，小球獲得的沖量為I = p2 p1 = -mA，可以證明k =m2，因此I = -kA/213一個(gè)質(zhì)量m = 50g，以速率的v = 20m·s-1作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的小球，在1/4周期內(nèi)向心力給予小mRp1p2pp1球的沖量等于

15、多少？解答小球動(dòng)量的大小為p = mv，但是末動(dòng)量與初動(dòng)量互相垂直，根據(jù)動(dòng)量的增量的定義 得：，由此可作矢量三角形，可得：因此向心力給予小球的的沖量大小為= 1.41(N·s)注意質(zhì)點(diǎn)向心力大小為F = mv2/R，方向是指向圓心的，其方向在不斷地發(fā)生改變，所以不能直接用下式計(jì)算沖量假設(shè)小球被輕繩拉著以角速度 = v/R運(yùn)動(dòng)，拉力的大小就是向心力F = mv2/R = mv，mRFxyFFyxO其分量大小分別為Fx = Fcos = Fcost，F(xiàn)y = Fsin = Fsint，給小球的沖量大小為dIx = Fxdt = Fcostdt，dIy = Fydt = Fsintdt，積

16、分得，合沖量為，與前面計(jì)算結(jié)果相同，但過程要復(fù)雜一些214 用棒打擊質(zhì)量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飛來的球，球飛到豎直上方10m的高度求棒給予球的沖量多大？設(shè)球與棒的接觸時(shí)間為0.02s，求球受到的平均沖力？vxvvy解答球上升初速度為= 14(m·s-1)，其速度的增量為= 24.4(m·s-1)棒給球沖量為I = mv = 7.3(N·s)，對(duì)球的作用力為（不計(jì)重力）：F = I/t = 366.2(N)215 如圖所示，三個(gè)物體A、B、C，每個(gè)質(zhì)量都為M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，兩者連有一段長(zhǎng)度為0.4m的細(xì)繩，首先放松B

17、的另一側(cè)則連有另一細(xì)繩跨過桌邊的定滑輪而與A相連已知滑輪軸上的摩擦也可忽略，繩子長(zhǎng)度一定問A和B起動(dòng)后，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間C也開始運(yùn)動(dòng)？C開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度是多少？（取g = 10m·s-2）CBA圖2.15解答物體A受到重力和細(xì)繩的拉力，可列方程Mg T = Ma，物體B在沒有拉物體C之前在拉力T作用下做加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，可列方程：T = Ma，聯(lián)立方程可得：a = g/2 = 5(m·s-2)根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：s = v0t + at2/2，可得B拉C之前的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；= 0.4(s)此時(shí)B的速度大小為：v = at = 2(m·s-1)物體A跨過動(dòng)滑輪向下運(yùn)動(dòng)，如

18、同以相同的加速度和速度向右運(yùn)動(dòng)A和B拉動(dòng)C運(yùn)動(dòng)是一個(gè)碰撞過程，它們的動(dòng)量守恒，可得：2Mv = 3Mv，因此C開始運(yùn)動(dòng)的速度為：v = 2v/3 = 1.33(m·s-1)216 一炮彈以速率v0沿仰角的方向發(fā)射出去后，在軌道的最高點(diǎn)爆炸為質(zhì)量相等的兩塊，一塊沿此45°仰角上飛，一塊沿45°俯角下沖，求剛爆炸的這兩塊碎片的速率各為多少？v0vvv45°解答 炮彈在最高點(diǎn)的速度大小為v = v0cos，方向沿水平方向根據(jù)動(dòng)量守恒定律，可知碎片的總動(dòng)量等于炮彈爆炸前的總動(dòng)量，可作矢量三角形，列方程得，所以 v = v/cos45° = 217 如圖

19、所示，一匹馬拉著雪撬沿著冰雪覆蓋的弧形路面極緩慢地勻速移動(dòng)，這圓弧路面的半徑為R設(shè)馬對(duì)雪橇的拉力總是平行于路面雪橇的質(zhì)量為m，它與路面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為k當(dāng)把雪橇由底端拉上45°圓弧時(shí)，馬對(duì)雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？R45°mgNFfds圖2.17解答取弧長(zhǎng)增加的方向?yàn)檎较?，弧位移的大小為ds = Rd重力的大小為：G = mg，方向豎直向下，與位移元的夾角為 + ，所做的功元為，積分得重力所做的功為摩擦力的大小為：f = kN = kmgcos，方向與弧位移的方向相反，所做的功元為，積分得摩擦力所做的功為要使雪橇緩慢地勻速移動(dòng)，雪橇受的重力、摩擦力和馬的拉

20、力就是平衡力，即 ，或者 拉力的功元為：， 拉力所做的功為由此可見，重力和摩擦力都做負(fù)功，拉力做正功218 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)拴在細(xì)繩的一端，繩的另一端固定，此質(zhì)點(diǎn)在粗糙水平面上作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)最初的速率是v0，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)1周時(shí)，其速率變?yōu)関0/2，求：（1）摩擦力所做的功；（2）滑動(dòng)摩擦因數(shù)；（3）在靜止以前質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了多少圈？解答 （1）質(zhì)點(diǎn)的初動(dòng)能為：E1 = mv02/2，末動(dòng)能為：E2 = mv2/2 = mv02/8，動(dòng)能的增量為：Ek = E2 E1 = -3mv02/8，這就是摩擦力所做的功W（2）由于dW = -fds = -kNds = -kmgrd，積分得：由于W =

21、 E，可得滑動(dòng)摩擦因數(shù)為（3）在自然坐標(biāo)中，質(zhì)點(diǎn)的切向加速度為：at = f/m = -kg，根據(jù)公式vt2 vo2 = 2ats，可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為，圈數(shù)為 n = s/2r = 4/3注意根據(jù)用動(dòng)能定理，摩擦力所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量：-fs = E k， = 45°ABs = 3m圖2.19可得 s = -E k/f，由此也能計(jì)算弧長(zhǎng)和圈數(shù)。219 如圖所示，物體A的質(zhì)量m = 0.5kg，靜止于光滑斜面上它與固定在斜面底B端的彈簧M相距s = 3m彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k = 400N·m-1斜面傾角為45°求當(dāng)物體A由靜止下滑時(shí)，能使彈簧長(zhǎng)度產(chǎn)生的最大壓縮量

22、是多大？解答取彈簧自然伸長(zhǎng)處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，由于物體A和彈簧組成的系統(tǒng)只有保守力做功，所以機(jī)械能守恒，當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí)，可得方程，整理和一元二次方程，解得= 0.24(m)（取正根）220 一個(gè)小球與另一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生彈性碰撞如果碰撞不是對(duì)心的，試證明：碰撞后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向彼此垂直證明設(shè)一個(gè)小球碰撞前后的速度大小分別為v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小為v2，根據(jù)機(jī)械能守恒得p1p2p0，即 ；根據(jù)動(dòng)量守恒得：，其中各動(dòng)量的大小為：p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2，對(duì)矢量式兩邊同時(shí)平方并利用得：，即：化簡(jiǎn)得：，結(jié)合機(jī)械能守恒公式得：2v1v2

23、cos = 0，由于v1和v2不為零，所以： = /2，即碰撞后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向彼此垂直221如圖所示，質(zhì)量為1.0kg的鋼球m1系在長(zhǎng)為0.8m的繩的一端，繩的另一端O固定把繩拉到水平位置后，再把它由靜止釋放，球在最低點(diǎn)處與質(zhì)量為5.0kg的鋼塊m2作完全彈性碰撞，求碰撞后鋼球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最大高度解答鋼球下落后、碰撞前的速率為：鋼球與鋼塊碰撞之后的速率分別為v1和v1，根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒得方程l = 0.8mm2m1O圖2.21，整理得將上式除以下式得：v1 + v1 = v2，代入整理的下式得，解得 碰撞后鋼球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最大高度為= 0.36(m)討論如果兩個(gè)物體的初速率都

24、不為零，發(fā)生對(duì)心彈性碰撞時(shí)，同樣可列出機(jī)械能和動(dòng)量守恒方程，同理可得從而解得，或者；將下標(biāo)1和2對(duì)調(diào)得，或者后一公式很好記憶，其中代表質(zhì)心速度222一質(zhì)量為m的物體，從質(zhì)量為M的圓弧形槽頂端由靜止滑下，設(shè)圓弧形槽的半徑為R，張角為/2，如圖所示，所有摩擦都忽略，求：mMABRvV圖2.22（1）物體剛離開槽底端時(shí)，物體和槽的速度各是多少？（2）在物體從A滑到B的過程中，物體對(duì)槽所做的功W；（3）物體到達(dá)B時(shí)對(duì)槽的壓力解答（1）物體運(yùn)動(dòng)到槽底時(shí)，根據(jù)機(jī)械能定律守恒得，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得： 0 = mv + MV因此，解得， 從而解得：（2）物體對(duì)槽所做的功等于槽的動(dòng)能的增量（3）物體在槽底相對(duì)于

25、槽的速度為，物體受槽的支持力為N，則，因此物體對(duì)槽的壓力為223 在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)觀察到相距很遠(yuǎn)的一個(gè)質(zhì)子（質(zhì)量為mp）和一個(gè)氦核（質(zhì)量為4mp）沿一直線相向運(yùn)動(dòng)；速率都是v0，求兩者能達(dá)到的最近距離解答 當(dāng)兩個(gè)粒子相距最近時(shí)，速度相等，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v，因此v = 3v0/5質(zhì)子和氦核都帶正電，帶電量分別為e和2e，它們之間的庫(kù)侖力是保守力根據(jù)能量守恒定律得，lm圖2.24因此，所以最近距離為：224 如圖所示，有一個(gè)在豎直平面上擺動(dòng)的單擺問：（1）擺球?qū)覓禳c(diǎn)的角動(dòng)量守恒嗎？（2）求出t時(shí)刻小球?qū)覓禳c(diǎn)的角動(dòng)量的方向，對(duì)于不同的時(shí)刻，角動(dòng)量的

26、方向會(huì)改變嗎？（3）計(jì)算擺球在角時(shí)對(duì)懸掛點(diǎn)角動(dòng)量的變化率lmgN解答（1）由于單擺速度的大小在不斷發(fā)生改變，而方向與弧相切，因此動(dòng)量矩l不變；由于角動(dòng)量L = mvl，所以角動(dòng)量不守恒（2）當(dāng)單擺逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量的方向垂直紙面向外；當(dāng)單擺順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量的方向垂直紙面向里，因此，在不同的時(shí)刻，角動(dòng)量的方向會(huì)改變（3）質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受合外力對(duì)同一點(diǎn)的力矩，因此角動(dòng)量的變化率為225證明行星在軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為式中M和m分別為太陽(yáng)和行星的質(zhì)量，r1和r2分別為太陽(yáng)和行星軌道的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的距離r1r2v1v2證明設(shè)行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度分別為v1和v2，由于

27、只有保守力做功，所以機(jī)械能守恒，總能量為 （1）和 （2）它們所組成的系統(tǒng)不受外力矩作用，所以行星的角動(dòng)量守恒行星在兩點(diǎn)的位矢方向與速度方向垂直，可得角動(dòng)量守恒方程mv1r1 = mv2r2，即 v1r1 = v2r2 (3)將（1）式各項(xiàng)同乘以r12得：Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4)將（2）式各項(xiàng)同乘以r22得：Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)將（5）式減（4）式，利用（3）式，可得：E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)由于r1不等于r2，所以：（r2 + r1)E = -GMm，故 證畢（三） 剛體定軸

28、轉(zhuǎn)動(dòng)226質(zhì)量為M的空心圓柱體，質(zhì)量均勻分布，其內(nèi)外半徑為R1和R2，求對(duì)通過其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量R1R2OOH圖2.26解答設(shè)圓柱體的高為H，其體積為V = (R22 R12)h，體密度為 = M/V在圓柱體中取一面積為S = 2RH，厚度為dr的薄圓殼，體積元為dV = Sdr = 2rHdr，其質(zhì)量為dm = dV，繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dI = r2dm = 2Hr3dr，總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為227 一矩形均勻薄板，邊長(zhǎng)為a和b，質(zhì)量為M，中心O取為原點(diǎn)，坐標(biāo)系OXYZaObXYZ圖2.27如圖所示試證明：（1）薄板對(duì)OX軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為；（2）薄板對(duì)OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為證明 薄板的面積為S = ab

29、，質(zhì)量面密度為 = M/S（1）在板上取一長(zhǎng)為a，寬為dy的矩形元，其面積為dS = ady，其質(zhì)量為dm =dS，繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dIOX = y2dm = ay2dy，積分得薄板對(duì)OX軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為aObXYZZOyxr同理可得薄板對(duì)OY軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（2）方法一：平行軸定理在板上取一長(zhǎng)為b，寬為dx的矩形元，其面積為dS = bdx，質(zhì)量為dm = dS，繞過質(zhì)心的OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于繞OX軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dIOZ = b2dm/12根據(jù)平行軸定理，矩形元對(duì)OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dIOZ = x2dm + dIOZ = bx2dx + b2dm/12，積分得薄板對(duì)OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為方法二：垂直

30、軸定理在板上取一質(zhì)量元dm，繞OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dIOZ = r2dm由于r2 = x2 + y2，所以dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX，因此板繞OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為228 一半圓形細(xì)桿，半徑為R，質(zhì)量為M，求對(duì)過細(xì)桿二端AA軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解答半圓的長(zhǎng)度為C = R，質(zhì)量的線密度為 = M/C在半圓上取一弧元ds = Rd，其質(zhì)量為dm = ds，到AA軸的距離為r = Rsin，繞此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dI = r2dm = R3sin2d，AAR圖2.28半圓繞AA軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為229 如圖所示，在質(zhì)量為M，半徑為R的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為r的兩個(gè)圓孔圓孔中心在圓盤半徑

31、的中點(diǎn)求剩余部分對(duì)大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OrRr圖2.29解答大圓的面積為S = R2，質(zhì)量的面密度為 = M/S大圓繞過圓心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IM = MR2/2小圓的面積為s = r2，質(zhì)量為m = s，繞過自己圓心且垂直圓面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC = mr2/2，根據(jù)平行軸定理，繞大圓軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Im = IC + m(R/2)2，剩余部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為230 飛輪質(zhì)量m = 60kg，半徑R = 0.25m，繞水平中心軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900r·min-1現(xiàn)利用一制動(dòng)用的輕質(zhì)閘瓦，在剖桿一端加豎直方向的制動(dòng)力，可使飛輪減速閘桿尺寸如圖所示，閘瓦與飛輪之

32、間的摩擦因數(shù) = 0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算（1）設(shè)F = 100N，問可使飛輪在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)？這段時(shí)間飛輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？（2）若要在2s內(nèi)使飛輪轉(zhuǎn)速減為一半，需加多大的制動(dòng)力F？解答設(shè)飛輪對(duì)閘瓦的支持力為N，以左端為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，在力矩平衡時(shí)有：0.5N 1.25F = 0，O0.50F0.75圖2.30所以：N=2.5F = 250(N)閘瓦對(duì)飛輪的壓力為;N = N= 250(N)，與飛輪之間摩擦力為：f = N = 100(N)，摩擦力產(chǎn)生的力矩為：M = fR飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：I = mR2/2，角加速度大小為： = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad

33、83;s-2)，負(fù)號(hào)表示其方向與角速度的方向相反飛輪的初角速度為0 = 30(rad·s-1)根據(jù)公式 = 0 + t，當(dāng) = 0時(shí)，t = -0/ = 7.07(s)再根據(jù)公式2 = 02 + 2，可得飛輪轉(zhuǎn)過的角度為 = -02/2 = 333(rad)，轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為n = /2 = 53r注意圈數(shù)等于角度的弧度數(shù)除以2（2）當(dāng)t = 2s， = 0/2時(shí)，角加速度為 = -0/2t = -7.5力矩為M = -I，摩擦力為f = M/R = -mR/2 = (7.5)2閘瓦對(duì)飛輪的壓力為N = f/，需要的制動(dòng)力為F = N/2.5 = (7.5)2 = 176.7(N)231

34、一輕繩繞于r = 0.2m的飛輪邊緣，以恒力F = 98N拉繩，如圖（a）所示已知飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I = 0.5kg·m2，軸承無摩擦求（1）飛輪的角加速度（2）繩子拉下5m時(shí)，飛輪的角速度和動(dòng)能（3）將重力P = 98N的物體掛在繩端，如圖（b）所示，再求上面的結(jié)果解答（1）恒力的力矩為F=98NP=98Nm(a)(b)圖2.31M = Fr = 19.6(N·m)，對(duì)飛輪產(chǎn)生角加速度為 = M/I = 39.2(rad·s-2)（2）方法一：用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式飛輪轉(zhuǎn)過的角度為 = s/r = 25(rad)，由于飛輪開始靜止，根據(jù)公式2 = 2，可得角速度為 = 44

35、.27(rad·s-1)；飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為Ek = I2/2 = 490(J)方法二：用動(dòng)力學(xué)定理拉力的功為W = Fs = 490(J)，根據(jù)動(dòng)能定理，這就是飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Ek根據(jù)公式Ek = I2/2，得角速度為= 44.27(rad·s-1)(3)物體的質(zhì)量為m = P/g = 10(kg)設(shè)繩子的張力為T，則P T = ma，Tr = I由于a = r，可得Pr = mr2 + I，解得角加速度為= 21.8(rad·s-2)繩子的張力為= 54.4(N)張力所做的功為W = Ts = 272.2(J)，這就是飛輪此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Ek飛輪的角速度為= 33(

36、rad·s-1)232質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓盤在水平面上繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示盤與水平面的摩擦因數(shù)為，圓盤從初角速度為0到停止轉(zhuǎn)動(dòng)，共轉(zhuǎn)了多R0O圖2.32少圈？解答圓盤對(duì)水平面的壓力為N = mg，壓在水平面上的面積為S = R2，壓強(qiáng)為p = N/S = mg/R2當(dāng)圓盤滑動(dòng)時(shí)，在盤上取一半徑為r、對(duì)應(yīng)角為d面積元，其面積為dS = rddr，對(duì)水平面的壓力為dN = pdS = prdrd，所受的摩擦力為df = dN = prdrd，其方向與半徑垂直，摩擦力產(chǎn)生的力矩為dM = rdf = pr2drd，總力矩為圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I = mR2/2，角加速度大小為，負(fù)號(hào)表示

37、其方向與角速度的方向相反根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)公式2 = 02 + 2，當(dāng)圓盤停止下來時(shí) = 0，所以圓盤轉(zhuǎn)過的角度為，轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為注意在圓盤上取一個(gè)細(xì)圓環(huán)，其面積為ds = 2rdr，這樣計(jì)算力矩等更簡(jiǎn)單。233一個(gè)輕質(zhì)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k = 2.0N·m-1它的一端固定，另一端通過一條細(xì)線繞過定滑輪和一個(gè)質(zhì)量為m1 = 80g的物體相連，如圖所示定滑輪可看作均勻圓盤，它的半徑為r = 0.05m，質(zhì)量為m = 100g先用手托住物體m1，使彈簧處于其自然長(zhǎng)度，然后松手求物體m1下降h = 0.5m時(shí)的速度多大？忽略滑輪軸上的摩擦，并認(rèn)為繩在滑輪邊上不打滑m1m1mhr圖2.33解答根據(jù)機(jī)械能守

38、恒定律可列方程，其中I = mr2/2， = v/r，可得2m1gh kh2 = m1v2 + mv2/2，解得= 1.48(m·s-1)234均質(zhì)圓輪A的質(zhì)量為M1，半徑為R1，以角速度繞OA桿的A端轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)，將其放置在另一質(zhì)量為M2的均質(zhì)圓輪B上，B輪的半徑為R2B輪原來靜止，但可繞其幾何中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)放置后，A輪的重量由B輪支持略去軸承的摩擦與桿OA的重量，并設(shè)兩輪間的摩擦因素為OAR1R2B，問自A輪放在B輪上到兩輪間沒有相對(duì)滑動(dòng)為止，需要經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間？解答圓輪A對(duì)B的壓力為 N = M1g，兩輪之間的摩擦力大小為 f = N = M1g，摩擦力對(duì)A的力矩大小為MA = f

39、R1 = M1gR1，摩擦力對(duì)B的力矩大小為MB = fR2 = M1gR2，設(shè)A和B的角加速度大小分別為A和B，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為IA和IB，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理得方程MA = IAA，即 A = MA/IA同理可得B = MB/IB當(dāng)兩輪沒有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，它們就具有相同的線速度v，A的角速度為A = v/R1，B的角速度為B = v/R2根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式得A = -At，B = Bt，即 v/R1 = -At，v/R2 = Bt，化得 v - R1 = -AR1t，v = BR2t，將后式減前式得R1 = (R1A + R2B)t， 解得 經(jīng)過的時(shí)間為注意在此題中，由于A、B兩輪不是繞著同

40、一軸轉(zhuǎn)動(dòng)的，所以不能用角動(dòng)量守恒定律如果A輪的輪面放在B輪的輪面之上，且兩輪共軸，在求解同樣的問題時(shí)，既可以用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解，R2R1AB也可以結(jié)合角動(dòng)量守恒定律求解當(dāng)它們之間沒有滑動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量為，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律得IA = (IA+IB)，因此得 = IA/(IA + IB)（1）設(shè)R1R2，那么A輪壓在B輪上的面積為S = R12，壓強(qiáng)為p = M1g/S = M1g/R12當(dāng)A輪在B輪上產(chǎn)生滑動(dòng)時(shí)，在A輪上取一半徑為r、對(duì)應(yīng)角為d面積元，其面積為dS = rddr，對(duì)B輪的壓力為dN = pdS = prdrd，所受的摩擦力為df = dN = prdrd，其方向與半徑垂直，摩擦力產(chǎn)生的

41、力矩為dM = rdf = pr2drd，總力矩為這是A輪所受的力矩，也是B輪所受的力矩根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理得B輪的角加速度為B = M/IB根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)公式 = Bt，得時(shí)間為，即 （2）如果R1R2，那么A輪壓在B輪上的面積為S = R22，BR1Ardr壓強(qiáng)為p = M1g/S = M1g/R22同樣在A輪上取一面積元，力矩的積分上限就是R2總力矩為，由此求得時(shí)間就變?yōu)橹挥挟?dāng)R1 = R2時(shí)，兩個(gè)時(shí)間才是相同的：235 均質(zhì)矩形薄板繞豎直邊轉(zhuǎn)動(dòng)，初始角速度為0，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到空氣的阻力阻力垂直于板面，每一小面積所受阻力的大小與其面積及速度的平方的乘積成正比，比例常數(shù)為k試計(jì)算經(jīng)過多少時(shí)間，薄板角速度減為原來的一半設(shè)薄板豎直邊長(zhǎng)為b，寬為a，薄板質(zhì)量為m解答在板上距離轉(zhuǎn)軸為r處取一長(zhǎng)度為b，寬度為dr的面積元，其面積arbdSrO圖2.35為dS = bdr當(dāng)板的角速度時(shí)，面積元的速率為v = r，所受的阻力為df = kv2