2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題(全國卷3,正式版解析)

1、絕密啟封并使用完畢前試題類型：新課標(biāo)出2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題(全國卷3)注意事項(xiàng)：1 .本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。第I卷 1至3頁，第n卷3至5頁。2 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試題相應(yīng)的位置。3 .全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。4 .考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回。第I卷一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的。(1)設(shè)集合 S=S x|(x 2)(x 3) 0 ,T x|x 0 ，則 SI T=(A) 2 ,3(B)(-, 2 U 3,+)(C)

2、 3,+)(D)(0, 2U 3,+)【答案】Dt解析】I試題分析：由0-2»-5)之0解得3或所以5=3工£或立外所以sn丁二工|01工W2噩之力，故選口.考點(diǎn)：1、不等式的解法；2、集合的交集運(yùn)算.4i(2)若 z 1 2i ,則 Yzz 1(A)1(B) -1(C) i (D)-i【答案】C【解析】一 4i4i一.試題分析： 一4 i ,故選C.zz 1(1 2i)(1 2i) 1考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、共軻復(fù)數(shù).uuv 13 uuv 3 1(3)已知向量 BA (-,一)，BC (一,-),則 ABC二2 22 2(A)30 0(B) 450(C) 60 0(D)

3、1200【答案】A【解析】試題分析：由題意，得 cos ABCuur uuurBA BC-uuur-uuur-|BA|BC|1吏二 1_2下下2正，所以1 12ABC 30 ,故選 A.考點(diǎn)：向量夾角公式.(4)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖。圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15°C, B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5°C。下面敘述不正確的是平均低氣平均(A)各月的平均最低氣溫都在00C以上(B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同(D)平均氣溫高于20°C的月份有5個(gè)【

4、答案】Dt解析】試題分析：由圖可知VC均在虛線框內(nèi)J所以各月的平均最低氣溫都在。七以上，且正確；由圖可在七月的 平均溫差大于7¥仃，而一月的平均溫差小于工產(chǎn)C,所以七月的平均溫差比一月的平差大，E正蚓 由圖可知三月木計(jì)一月的平均最高氣溫者氏約在5吧,基本相同，C正確5由圖可知平均最高氣溫高于20七 的月份有3個(gè)或2個(gè)/所以不正確.故選上考點(diǎn)：1、平均數(shù)；2、統(tǒng)計(jì)圖(5)若 tan3,2一,貝U cos2sin 2464(A)25【答案】A【解析】(B)48(C) 1(D)16試題分析：由3m.34-.34tan ,得 sin ,cos 或 sin ,cos,所以455552 cos1

5、612642sin2與4 25不，故選A.考點(diǎn)：1、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；2、倍角公式.421(6)已知a23, b45 , c 253 ,貝U(A)ba c (B)a bc(C)b c a【答案】A(D) c a b42試題分析：因?yàn)閍 23 43考點(diǎn)：哥函數(shù)的圖象與性質(zhì).212245 b , c 25可 53 4號(hào)a ,所以b a c,故選A.(7)執(zhí)行下圖的程序框圖，如果輸入的n 0, a - D(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6a 4, b 6,那么輸出的n【答案】Bt解析】試題分析士第一j欠循環(huán)，得口二工才二工口 二 6/二1 ;第二;欠循環(huán)，得日二-2甘=6=口=4=工=

6、10, »=2|第三次循環(huán)？得出=工q = 61 = 161 = 3 s第四次循環(huán)得心=2. i = 6. ci = -4. j = 20 > 16. m = 4 f退出彳盾環(huán)輸出7：=1y推選B .考點(diǎn)：程序框圖.(8)在4ABC中，B= - , BC邊上的高等于BC,則cosA 二 43(A)如(B)叵(C)-叵(D)-逮10101010【答案】C【解析】試題分析：設(shè)BC邊上的高線為AD ,則BC 3AD ,所以AC JAD2 DC2 J5AD , AB J2AD ,由方f田知 八 AB2 AC2 BC2 2AD2 5AD2 9AD2.10 坨4 .余弦7E理，知 COSA

7、 - - ,故選 C.2AB AC 2 X2AD 高AD 10考點(diǎn)：余弦定理.(9)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(A) 18 3675(B) 54 18/5(C) 90(D) 81【答案】B【解析】試題分析；由三視圖i買幾何體是以惻視圖為底囪的斜四棱柱，所以該幾何體的表囪積 5=2x3x6 + 2x3x3+2x3x35=54+18,微選 E.考點(diǎn)：空間幾何體的三視圖及表面積.(10)在封閉的直三棱柱 ABC ABG內(nèi)有一個(gè)體積為 V的球，若AB BC,AB 6, BC 8 , AA 3,則V的最大值是(A) 4兀(B) (C) 6兀(D

8、) 2-23【答案】B【解析】試題分析：要使球的體積 V最大，必須球的半徑 R最大.由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值-,此時(shí)球的體積為4 R3 - (3)3 9 ，故選B.23322考點(diǎn)：1、三棱柱的內(nèi)切球；2、球的體積.2 X（11）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C: -2 a2 y_ 11(ab 0）的左焦點(diǎn)，A, B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PFx軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M與y軸交于點(diǎn)E若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(A) 1(B) -(C) -(D)-3234【解析】試題分析：由題意設(shè)直線，的方程為r =分別令Y與元=0得點(diǎn)I我J

9、1 0E1陽二由aSE-ACRIFj喝,即-,整理？得三二工J所以橢I ?1W| BCo + ca 3圓常心率為官=；j故選人考點(diǎn)：橢圓方程與幾何性質(zhì).（12）定義“規(guī)范01數(shù)列” an如下：an共有2m項(xiàng)，其中m1頁為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k 2m,a1,a2,L ,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范 01數(shù)列”共有（A） 18 個(gè)（B） 16 個(gè)（C） 14 個(gè)（D） 12 個(gè)【答案】C【解析】試題分析：由題意，得必有 a1 0, a8 1,則具體的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考點(diǎn)：計(jì)

10、數(shù)原理的應(yīng)用.第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題第（21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作 答。第（22）題第（24）題未選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共3小題，每小題5分x y 1 0（13）若x,y滿足約束條件x 2y 0 則z x y的最大值為x 2y 2 0【解析】試題分析:作出不等式蛆滿足的平面區(qū)域，如囹所示j由圖知，當(dāng)目標(biāo)酸£三工十）經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取得最大值,即三=1+±=考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃問題.（14）函數(shù)y sin x J3cosx的圖像可由函數(shù) y sin x J3 cosx的圖像至少向右平移 個(gè) 單位長度得到.【答案】 一3【解

11、析】試題分析：因?yàn)閥 sinx 百cosx 2sin(x ) , y sinx V3cosx 2sin(x -)= 移一個(gè)單位長度得到.2sin(x 3) W，所以函數(shù)y sin x ，3cosx的圖像可由函數(shù) y sin xcosx的圖像至少向右平3考點(diǎn)：1、三角函數(shù)圖象的平移變換；2、兩角和與差的正弦函數(shù).(15)已知f x為偶函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f(x) ln( x) 3x,則曲線y f x在點(diǎn)(1, 3)處的切線方程【答案】y 2x 1【解析】試題分析；當(dāng)三)。時(shí)，則/(-口丁云.又因?yàn)橐?為偶函數(shù)，所以/(冷=/(-，)川口工一1工一所以三，叫切純斜率為了二2 ，斫以切線方程為 xj&

12、#39;+3=-2(t1),即y = -2?一.考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性與解析式；2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(16)已知直線l ： mx y 3m J3 0與圓x2 y2 12交于A,B兩點(diǎn)，過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn)，若AB 2曲,則|CD | .【答案】4【解析】試題分析：因?yàn)閨AB| 2J3,且圓的半徑為2J3,所以圓心(0,0)到直線mx y 3m J3 0的距離為JR2(LABJ)2 3 ,則由13m 出1 3 ,解得m ，代入直線l的方程，得y x 273 ,所'2，m2 13，3以直線l的傾斜角為30 ,由平面幾何知識(shí)知在梯形 ABDC中，|CD| 1AB | 4

13、.cos30考點(diǎn)：直線與 周的位置關(guān)系.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 1an ,其中 0 .(I)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(II )若 S5 口，求.321【答案】(I) an ()n 1; (n)1 .n 11【解析】試題分析:( I )苜先利用公式4 =口 * Z ,得到數(shù)列凡)的遞推公式，然后通過變損結(jié)合等3H 5此_1 外之.比數(shù)列的定義可證j (n)jijffi( I)前鞭項(xiàng)和“化為上的表達(dá)式，結(jié)合國的值j建立方程可求得力的值.試題解析r I )由題意得q =M=1+上問J或3工0.1 - X由

14、'=1 -然f , S= = 1 +余7得風(fēng)_i = /qi 一上外,即_1 1/. - 1) = &口由/爐L片爐。得見m 0 ,所以吧二aT兒 一 1因此%是苜項(xiàng)為丁Li公比為芻的等比數(shù)列，于是/二工C47廣1, 1 AX 11Z U1/31/.31a .1口)由1)得工=1(汽由邑=91導(dǎo)1(=”？即(一7二 12.A 1j2 x 1解得Z =-1 .考點(diǎn)：1、數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和為Sn關(guān)系；2、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)及前 n項(xiàng)和為& .(18)(本小題滿分12分)(I)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合觸叁學(xué)«曾還甘酒ma下圖是我國2020年至2020

15、年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;(II )建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測(cè)2020年我國生活垃圾無害化處理量。參考數(shù)據(jù):yii 179.32，ti xi 140.17，J (yi y)20.55,2.646.n(ti F)(y y)參考公式：相關(guān)系數(shù)r /士nn、.(tit )2 (yi y)2 i 1i 1回歸方程y a bt中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:n)(t F)(x y).b j,a=y f)2i 1【答案】（i）理由見解析；（n） 1.82億噸.【解析】試題分析：（I）根據(jù)相關(guān)系數(shù)產(chǎn)公式中出相關(guān)數(shù)據(jù)后？然后代

16、入公式即可求得廣的值，最后根據(jù)其值大小 回答即可3 （II）禾用最小二乘法的原理提供的回歸方程，準(zhǔn)確求得相關(guān)數(shù)據(jù)8口可建立Y關(guān)于t的回歸方程, 燃后作預(yù)測(cè).試跑解析：（I）由折緘圖這數(shù)據(jù)和附注中參考判據(jù)得>89r -堂 0 99.0.5S2x2_646因?yàn)镻與f的相關(guān)系數(shù)近'勸0.9%說明與攆拼4相關(guān)相當(dāng)高？從硒以用線性回歸模型擬言與的 關(guān)系.(n)由 y972 1.331 及(I)得 g7_(ti t)(小y)i 17- 2(tit)i 1289 0.103, 28i? y bt 1.331 0.103 4 0.92.所以，y關(guān)于t的回歸方程為：？ 0.92 0.10t .將2

17、020年對(duì)應(yīng)的t 9代入回歸方程得：,0.92 0.10 9 1.82 .所以預(yù)測(cè)2020年我國生,活垃圾無害化處理量將約 1.82億噸.考點(diǎn)：線性相關(guān)與線性回歸方程的求法與應(yīng)用.（19）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐 P ABC 中，PA 地面 ABCD, AD P BC , AB AD AC 3, PA BC 4 ,M為線段AD上一點(diǎn)，AM 2MD , N為PC的中點(diǎn).(I)證明MN P平面PAB ;(II )求直線AN與平面PMN所成角的正弦值【答案】(I)見解析；(n)如525【解析】試題分析：(I )取4的中點(diǎn)Tj然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形血江為平行四邊形，從而得到 MX/AT

18、,由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證3 (口)以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，以月。一小所在直線分另優(yōu) 軸建立篁間直角坐標(biāo)系，然后通過求直?戔小的方向向量與平面FAC法向量的夾角來處理4V與平面 FM早所成甬.試題解析；(1 )由已知得AM =2fBP的中點(diǎn)T,連接AT, TN f由N為PC中點(diǎn)知TN BC ,又皿8C、故r平行且等于air,四i形ha丁為平行四邊形，于是” 5.因?yàn)锳T c平面Z15 j UY工平面汽鉗J所以MX 平面PAB.(II)取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)ME,由4二得一4_3C,從而ME L4D ,目=RE： =*5一竿):=后.以月為坐標(biāo)用點(diǎn),a笈的方向?yàn)閤軸正方向?建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

19、系月-4人由題獻(xiàn)0,產(chǎn)(0Q43W0), Q技必 A畔12),列/,域=($* 小譚2).* *2x 4z 0設(shè)n (x,y,z)為平面PMN的法向量，則n PM 0，即 J5，可取 n (021)，n PN 0 x y 2z 02于是 |cos n, AN |n AN |n|AN|25考點(diǎn)：1、空間直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、棱錐的體積.(20)(本小題滿分12分)已知拋物線C： y2 2x的焦點(diǎn)為F ,平行于X軸的兩條直線11,12分別交C于A, B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn) 線于P, Q兩點(diǎn).(I)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明 ARPFQ；(II )若 PQF的面積是 ABF的面積的

20、兩倍，求 AB中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(I)見解析；(n) y2 x 1.【解析】試題分析；(I)設(shè)出與三軸垂直的兩條直線j然后得出反見月。.五的坐標(biāo),然后通過證明直線與直 線FQ的斜率f酹即可證明結(jié)果了式1D沒直續(xù)(與上箍的支點(diǎn)坐標(biāo)口(40)用用面積可求得不退出 的中點(diǎn)也(達(dá)丁)？中魏必與軸是否垂直分兩fWfi況緒合心=%求解？試趣解析：由題設(shè)F(。0).役公'=q&二J =旌 則加工久且 *記過4£兩點(diǎn)的直線為L貝收的方程為2，一g+占"+原=03分( I )由于F在線段以3上，故1斗/5=0.記.業(yè)的斜率為國,FQ的斜率為自，則二 a - ba -b

21、1 -ab ,=1 =、= = -ifci *1十口一 "一血 a a所以FQ5分<11 )設(shè)與工軸的交點(diǎn)為“X。，則反的=+ -叩切=；P - H卜- *»聲=u b由題設(shè)可得三用-同巧-3 =-7所以占=0(舍去)再=1. dltar-設(shè)滿足條件的as的中點(diǎn),為宜(E >).當(dāng)小5與彳軸不垂直時(shí)，由匕3 M心E可得二一二仁仁二%口+3 X1-口 + 5亡 m +叫/下1 %K=yf所以廠=工-：1(工工1). Jb當(dāng).”與，軸垂直時(shí)，E與口重含.所以j所求軌跡方程為二工-112分考點(diǎn)：1、拋物線定義與幾何性質(zhì)；2、直線與拋物線位置關(guān)系；3、軌跡求法.(21)

22、(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù) f(x) acos2x (a 1)(cosx 1),其中 a 0,記 | f (x) | 的最大值為 A.(I)求 f (x)；(n)求 A；(m)證明 | f (x) | 2A.12 3a,0 a52【答案】(I) f (x) 2asin 2x (a 1)sinx； (n) A -a，一 a 1;(出)見解析.8a 53a 2,a 1【解析】試題分析：(I)直接可求f (x)； (n)分a 1,0 a 1兩種情況，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求出A ,但須1 1汪息當(dāng)0 a 1時(shí)還須進(jìn)一步分為 0 a -,- a 1兩種情況求解；(出)首先由(I)得到5 5一八11、r|

23、f(x)| 2a |a 1|,然后分a 1, 0 a -,- a 1三種情況證明5 5試題解析：(I) f (x) 2asin 2x (a 1)sinx.(n)當(dāng)a 1時(shí)， | f (x) | |asin2x (a 1)(cosx 1)| a 2(a 1) 3a 2 f (0)因此，A 3a 2.4分當(dāng) 0 a 1 時(shí)，將 f (x)變形為 f(x) 2a cos2 x (a 1)cosx 1 .令 g(t)2at2 (a 1)t 1,則 A是 |g(t)|在1,1上的最大值，g( 1) a , g(1) 3a 2 ,且當(dāng) t4a6a 18a1(1)2時(shí)，g(t)取得極小值，極小值為 g(L)

24、(a 1)4a 8a“1 a11v 1 1 ,解得 a 一(舍去)，a .4a35(i )當(dāng)。0 時(shí)，在(-L1)內(nèi)無極值良，口，WQ)|二工一物，|<| g(X),眥、工二 2一34 .(ii)當(dāng)<白式1時(shí)，由 g(-D-gro = 2Cl-G、。>£(). 54an I J一口i z i (I燒)a+，R) 八. I ,1一口、 d"+6口+ 1又I s() 1-1晨-D仁-70 ,所以4W 5() 1=- -4a4ab 日2 知一0< 5廣口1十6口+】11公%上，乂=<一,-<£?<1 .9 分8(?3d! 2.(

25、3 21L(III)由I13| /W |=| -2flsiu 2a(a-ljsin x 2a+10-1|當(dāng)0亡口£：時(shí),|/O) W1+dM2-4日七1二一3G三2月-11口小口ki時(shí)-i=|+>i,戶似|了(嘮51+日(，九當(dāng)心1時(shí)"/(#530-1«山-4=24 所以|切G.L 考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；3、三角函數(shù)的有界性.請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答。作答時(shí)用 2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號(hào)后的方框涂黑。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22.(本小題滿分10分)選修4-1 :幾何證明選講如圖，O O中Ab的中點(diǎn)為P,弦PC,

26、 PD分別交AB于E, F兩點(diǎn).若 PFB 2 PCD ,求 PCD的大??；(II )若EC的垂直平分線與 FD的垂直平分線交于點(diǎn) G ,證明OG CD .【答案】(i) 60 ; (n)見解析.【解析】試題分析；(I)根據(jù)條件可證明4月與是互補(bǔ)的，然后給合/陽=227切與三角形內(nèi)角?碇理， 不難求得二尸8的大?。?II由(I )的證明可知CEE四點(diǎn)共圓？然后根據(jù)用線段的垂直平分線 知G為四邊形CEED播展圖圖4如何知G在線段8的垂直平分線上j由此可證明結(jié)果， 試題解析；(I)連結(jié) F區(qū) 5C ,則 ZBF0 = £PBA + 4PD, ZPCD = ZFC5 + "CD,

27、因?yàn)?HF = BP,所以 £PBA = aPCB * 又4FD = -BCD * 刪、-3FD =乙PCD.又PFD * _gFD = 曲二 jPFR 三2±FCD,所以8三 1X0 ,因此上FCD 二60二口因?yàn)閆PCD = 士BFD ,所以ZPCD + ZEFD = 1801,由此知C, D.E E四點(diǎn)共圓，箕圓心既在CE 的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上，故G就是過GOEE四點(diǎn)的圓的圓心，所以G在CD的垂 直平分線上，因此。G_a.考點(diǎn)：1、圓周角定理；2、三角形內(nèi)角和定理；3、垂直平分線定理；4、四點(diǎn)共圓.23.(本小題滿分10分)選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x J3cos (為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 x軸的正y sin半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為sin(-) 2& .(I)寫出Ci的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(II )設(shè)點(diǎn)P在Ci上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ的最小值及此時(shí) P的直角坐標(biāo)【答案】(I) C1的普通方程為X22 3 1y y 1, C