不等式放縮技巧十法

1、文檔可能無(wú)法思考全面，請(qǐng)瀏覽后下載! 第六章 不等式第二節(jié) 不等式放縮技巧十法證明不等式，其基本方法參閱<數(shù)學(xué)是怎樣學(xué)好的>(下冊(cè))有關(guān)章節(jié).這里以數(shù)列型不等式的證明為例說(shuō)明證明不等式的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題: 不等式的放縮技巧。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿(mǎn)思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類(lèi)競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類(lèi)問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下十種：一 利用重要不等式放縮1. 均值不等式法例1 設(shè)求證解析

2、此數(shù)列的通項(xiàng)為，即 注：應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過(guò)“度”了！根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。22 / 22 例2 已知函數(shù)，若，且在0，1上的最小值為，求證： 簡(jiǎn)析 例3 求證.簡(jiǎn)析 不等式左邊=，故原結(jié)論成立.【例4】已知， 求證：1.【解析】使用均值不等式即可：因?yàn)?，所以?其實(shí)，上述證明完全可以改述成求的最大值。本題還可以推廣為： 若， 試求的最大值。 請(qǐng)分析下述求法：因?yàn)?，所以?故的最大值為，且此時(shí)有。 上述解題過(guò)程貌似完美，其實(shí)細(xì)細(xì)推敲，是大有問(wèn)題的：取“”的條件是，即

3、必須有，即只有p=q時(shí)才成立！那么，呢？其實(shí)例6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉(zhuǎn)化： 則有 于是，當(dāng)且僅當(dāng) 結(jié)合其結(jié)構(gòu)特征，還可構(gòu)造向量求解：設(shè)，則由立刻得解： 且取“”的充要條件是：。 特別提醒:上述題目可是我們課本上的原題啊!只是我們做了少許的推廣而已!2利用有用結(jié)論例5 求證簡(jiǎn)析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法1 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得 即 法2 利用貝努利不等式的一個(gè)特例(此處)得 注：例5是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國(guó)高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例6 已知函數(shù)

4、求證：對(duì)任意且恒成立。簡(jiǎn)析 本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運(yùn)用柯西（）不等式的簡(jiǎn)捷證法：而由不等式得(時(shí)取等號(hào)) （），得證！例7 已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對(duì)對(duì)都成立，證明（無(wú)理數(shù)）解析 結(jié)合第問(wèn)結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。于是， 即【注】：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來(lái)放縮： ，即【例8】已知不等式。表示不超過(guò)的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足：求證【簡(jiǎn)析】 當(dāng)時(shí)，即 于是當(dāng)時(shí)有 注：本題涉及的和式為調(diào)和級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)論來(lái)進(jìn)行有效地放縮；引入有用結(jié)論在解題中即時(shí)應(yīng)用，

5、是近年來(lái)高考創(chuàng)新型試題的一個(gè)顯著特點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識(shí)。再如：設(shè)函數(shù)。 （）求函數(shù)最小值；（）求證：對(duì)于任意，有【解析】（）1；（）證明：由（）得，對(duì)x>1有，利用此結(jié)論進(jìn)行巧妙賦值：取，則有即對(duì)于任意，有例9 設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且解析 引入一個(gè)結(jié)論：若則（可通過(guò)構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列求和放縮來(lái)證明，略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增。以代入（）式得此式對(duì)一切正整數(shù)都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)有。 注：上述不等式可加強(qiáng)為簡(jiǎn)證如下： 利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項(xiàng)有對(duì)通項(xiàng)作如下放縮： 故有二 部分放縮例10 設(shè),求證：解析

6、 又（只將其中一個(gè)變成，進(jìn)行部分放縮），于是【例11】 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)證明對(duì)所有 有：；.【解析】 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立即，則當(dāng)時(shí)，成立。 利用上述部分放縮的結(jié)論來(lái)放縮通項(xiàng)，可得 【注】上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。三 添減項(xiàng)放縮上述例5之法2就是利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子。例12 設(shè)，求證.簡(jiǎn)析 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開(kāi)得即，得證.例13 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足 （）證明對(duì)一切正整數(shù)成立；（）令，判定與的大小，并說(shuō)明理由。簡(jiǎn)析 本題有多種放縮證明方法，這里我們對(duì)（）進(jìn)行減項(xiàng)放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）

7、；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1. 構(gòu)造數(shù)列如對(duì)上述例1，令則，遞減，有，故再如例5，令則，即遞增，有，得證！2構(gòu)造函數(shù)例14 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時(shí)（）求的值；（）設(shè)，證明解析 （）=1 ；（）由得 且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例15 數(shù)列由下列條件確定：，（I） 證明：對(duì)總有；(II) 證明：對(duì)總有解析 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。 當(dāng)時(shí)在遞增，故 對(duì)(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。【注】本題為02年高考北京卷題，有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開(kāi)平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有著高等數(shù)學(xué)背景數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： 是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對(duì)此

8、數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。五 換元放縮例16 求證簡(jiǎn)析 令，這里則有，從而有注：通過(guò)換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例17 設(shè)，求證.簡(jiǎn)析 令，則，應(yīng)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.六 遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結(jié)論 進(jìn)行遞推放縮來(lái)證明，同理例7中所得和、例8中、 例13（）之法2所得都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式。七 轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例10第問(wèn)所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過(guò)從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運(yùn)用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：再用數(shù)學(xué)歸納

9、法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了。例18 設(shè)，定義，求證：對(duì)一切正整數(shù)有解析 用數(shù)學(xué)歸納法推時(shí)的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因?yàn)槌霈F(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：對(duì)一切正整數(shù)有（證略）例19 數(shù)列滿(mǎn)足證明簡(jiǎn)析 將問(wèn)題一般化：先證明其加強(qiáng)命題用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步： 因此對(duì)一切有 例20 已知數(shù)列an滿(mǎn)足：a1，且an（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n有a1·a2·an<2·n！ 解析：（1）將條件變?yōu)椋?，因此1為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比，從而1，據(jù)此得an（n³1）1°（2

10、）證：據(jù)1°得，a1·a2·an，為證a1·a2·an<2·n！，只要證nÎN*時(shí)有>2°顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明一個(gè)加強(qiáng)不等式：對(duì)每個(gè)nÎN*，有³1（）3°（用數(shù)學(xué)歸納法，證略）利用3°得³1（）11>。故2°式成立，從而結(jié)論成立。八. 分項(xiàng)討論例21 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足 （）寫(xiě)出數(shù)列的前3項(xiàng)；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有.簡(jiǎn)析 （）略，（） ；（）由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng)且為奇數(shù)

11、時(shí) （減項(xiàng)放縮），于是, 當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)（添項(xiàng)放縮）由知由得證。九. 借助數(shù)學(xué)歸納法例22（）設(shè)函數(shù)，求的最小值；（）設(shè)正數(shù)滿(mǎn)足，求證：解析 這道高考題為05年全國(guó)卷第22題，內(nèi)蘊(yùn)豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)！更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)熵的問(wèn)題。（）略，只證（）：考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，于是借鑒詹森不等式的證明思路有：法1（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（）知命題成立.（ii）假定當(dāng)時(shí)命題成立，即若正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，若正數(shù)（*）為利用歸納假設(shè)，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式

12、即當(dāng)時(shí)命題也成立. 根據(jù)（i）、（ii）可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.法2 構(gòu)造函數(shù)利用（）知，當(dāng)對(duì)任意 （式是比式更強(qiáng)的結(jié)果）. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（I）知命題成立.（ii）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù) 對(duì)（*）式的連續(xù)兩項(xiàng)進(jìn)行兩兩結(jié)合變成項(xiàng)后使用歸納假設(shè)，并充分利用式有由歸納法假設(shè) 得 即當(dāng)時(shí)命題也成立. 所以對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.【評(píng)注】（1）式也可以直接使用函數(shù)下凸用（）中結(jié)論得到；（2）為利用歸納假設(shè)，也可對(duì)（*）式進(jìn)行對(duì)應(yīng)結(jié)合：而變成項(xiàng)；（3）本題用凸函數(shù)知識(shí)分析如下：先介紹詹森（jensen）不等式：若為上的下凸函數(shù)，則對(duì)任意，有 特別地，若，則有若

13、為上凸函數(shù)則改“”為“”。由為下凸函數(shù)得 又，所以（4）本題可作推廣如下：若正數(shù)滿(mǎn)足，則簡(jiǎn)證：構(gòu)造函數(shù)，易得故十. 構(gòu)造輔助函數(shù)法【例23】已知= ,數(shù)列滿(mǎn)足（1）求在上的最大值和最小值;（2）證明：;（3）判斷與的大小，并說(shuō)明理由.【解析】(1) 求導(dǎo)可得在上是增函數(shù),（2）（數(shù)學(xué)歸納法證明）當(dāng)時(shí)，由已知成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即成立， 那么當(dāng)時(shí)，由（1）得， ， ，這就是說(shuō)時(shí)命題成立. 由、知，命題對(duì)于都成立（3） 由, 構(gòu)造輔助函數(shù)，得， 當(dāng)時(shí)，故，所以<0 得g(x)在是減函數(shù)， g(x)>g(0)=f(0)-2=0，>0,即>0，得>。【例24】已知數(shù)列

14、的首項(xiàng)，（）求的通項(xiàng)公式；（）證明：對(duì)任意的，；（）證明：【解析】（）（）提供如下兩種思路：思路1 觀察式子右邊特征，按為元進(jìn)行配方，確定其最大值。法1 由（）知，原不等式成立思路2 將右邊看成是關(guān)于x的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)研究其最值來(lái)解決：法2 設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值原不等式成立（）思路1 考慮本題是遞進(jìn)式設(shè)問(wèn)，利用（）的結(jié)論來(lái)探究解題思路：由（）知，對(duì)任意的，有取，則原不等式成立【注】本解法的著眼點(diǎn)是對(duì)上述不等式中的x進(jìn)行巧妙賦值，當(dāng)然，賦值方法不止一種，如：還可令，得 思路2 所證不等式是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，能否直接用數(shù)學(xué)歸納法給予證明？嘗試： （1）當(dāng)時(shí)，成立； （2）假設(shè)

15、命題對(duì)成立，即則當(dāng)時(shí)，有 ，只要證明；即證，即證用二項(xiàng)式定理（展開(kāi)式部分項(xiàng)）證明，再驗(yàn)證前幾項(xiàng)即可。如下證明是否正確，請(qǐng)分析：易于證明對(duì)任意成立；于是【注】上述證明是錯(cuò)誤的！因?yàn)椋菏沁f增的，不能逐步“縮小”到所需要的結(jié)論?？尚薷娜缦拢嚎紤]是某數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，只要證明思路3 深入觀察所證不等式的結(jié)構(gòu)特征, 利用均值不等式可得如下妙證： 由取倒數(shù)易得：，用n項(xiàng)的均值不等式：，【例25】已知函數(shù)f(x)=x2-1(x>0)，設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)（xn,f(xn)）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1,0）(nN*). () 用xn表示xn+1；（）求使不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立的充要條件，并

16、說(shuō)明理由；（）若x1=2，求證：【解析】() （）使不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立的充要條件是x11. () 基本思路：尋求合適的放縮途徑。 探索1 著眼于通項(xiàng)特征，結(jié)合求證式特點(diǎn)，嘗試進(jìn)行遞推放縮： 即。于是由此遞推放縮式逐步放縮得 探索2 從求證式特征嘗試分析：結(jié)論式可作如下變形： 逆向思考，猜想應(yīng)有：（用數(shù)學(xué)歸納法證明，略）。 探索3 探索過(guò)渡“橋”，尋求證明加強(qiáng)不等式：由（2）知xn1，由此得。有 嘗試證明 證法1（數(shù)學(xué)歸納法，略）； 法2 （用二項(xiàng)展開(kāi)式部分項(xiàng)）：當(dāng)n2時(shí)2n=(1+1)n 此題還可發(fā)現(xiàn)一些放縮方法，如：。（每一項(xiàng)都小于1）而再證即，則需要?dú)w納出條件n4.(前4項(xiàng)驗(yàn)證即可)已知an=n ，求證：3證明：=1 =1 () =1123本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).4、放大或縮小“因式”；例4、已知數(shù)列滿(mǎn)足求證：證明 本題通過(guò)對(duì)因式放大，而得到一個(gè)容易求和的式子，最終得出證明.【評(píng)注】從上述探索放縮證明技巧過(guò)程易于看到：探索的方法與手段多種多樣，關(guān)鍵是把握條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征之間的密切聯(lián)系！從此可看到抽象化具體的魅力。 用放縮法證