22、單線段最值問題整合

1、單線段最值問題(一)基本分類鄧晉榮一、 單動(dòng)點(diǎn)若要求最值的線段一端為定點(diǎn)，另一端為動(dòng)點(diǎn)，則需要研究動(dòng)點(diǎn)所在軌跡，一般為圓或直線.1 .點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)尸是直線/上一動(dòng)點(diǎn)，A是直線外一點(diǎn)，求從產(chǎn)的最小值.過點(diǎn)/H乍APU/,垂足為P,貝IJAPWAP.2 .點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P為£0上一動(dòng)點(diǎn)，A是圓外一點(diǎn)，求AP的最值.連接A0并延長(zhǎng)，交的于4、鳥兩點(diǎn)，則A64APVA2.例L如圖，已知正方形ABC。，A8=2, E、/分別在8C、C。上運(yùn)動(dòng)，且BE=CF, AE . BF交于點(diǎn)、G ,則CG的最小值為.例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2, 4),點(diǎn)P0.O) , 8是軸y上一動(dòng)

2、點(diǎn)，過點(diǎn)A作A8_LAC交x軸于點(diǎn)C,財(cái)是6C中點(diǎn)，則的最小值為.例3,如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OA8c的頂點(diǎn)A在)，軸上，QA = 3, OC = 4, D 是線段A8上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為邊在與點(diǎn)8同側(cè)作正方形CQEE,則OE的最小值為例4,如圖，在邊長(zhǎng)為。的等邊A8C中，4XL8C,點(diǎn)E是直線AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE, 把線段CE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到CF,連接QF,則。尸的最小值為.例5.如佟I，在RtAABC中，ZAC8 = 90。，AC = 8C = 4,。是3C邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AO交 以CO為直徑的圓于點(diǎn)E，則8E的最小值為.例6,如圖，在A5C中，ZACB = 90

3、% NBAC=30。，BC = 2,。是AB邊上一點(diǎn)，以AD 為邊在aABC外側(cè)作等邊AQE,過點(diǎn)。作。E的垂線，/是垂線上一點(diǎn)，G是E尸中點(diǎn)， 則CG的最小值為.3.多動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)（1） 雙動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)單動(dòng)點(diǎn)例7,如圖，在RIA48C中,ZC = 90° , AC = 4 , 3C=3,。是 AC 上一動(dòng)點(diǎn)，DEI AC.DF工BC,則上廠的最小值為例8如圖，0A與人軸交于8（2, 0）、。（4, 0）兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，DP切0A于點(diǎn)D,則OP的最小值為例7（2） 相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化例9.如圖,在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、8分別在X、y軸上運(yùn)動(dòng)，且A8 = 2 ,在第一象限作等邊A5C ,

4、則OC的最大值為.例10. 如圖，在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、3分別在X軸、直線），=工上運(yùn)動(dòng)，且AB = 2,以A3為 邊在點(diǎn)O異側(cè)作等邊A8C ,則OC的最大值為.圓中的弦，由半徑與圓心角（圓周角）決定，若圓心角固定，則弦的最值轉(zhuǎn)化為半徑的最值.半徑的最值問題可以轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題，也可以由半徑與弦的關(guān)系求得（0</W2r）.例 11. 如圖，在A5C中，A8 = AC = 8, ZBAC= 120°, O在線段3c上且 8 = 33。, 點(diǎn)、E、尸分別在射線區(qū)4、C4上，若NE>。尸=60。，則EP的最小值為.單線段最值問題（二）連鎖軌跡3 Q例12. 如圖，已知y = -1F

5、-Lr + 6與入軸交于A、B兩點(diǎn),與），軸交于點(diǎn)C, O是線段 84BC上一動(dòng)點(diǎn)，尸是A。中點(diǎn).過點(diǎn)D分別作AB、AC的垂線，垂足為E、F兩點(diǎn)，則EF 的最小值為.例 13. 如圖，在RtZiABC中，AC = 6, 8c = 8, P、。是AC、8c上的動(dòng)點(diǎn)，CP0的 外接圓，恰好與直線AB相切，則P。的最小值為.例12三、動(dòng)態(tài)折疊動(dòng)態(tài)折疊的情況更加復(fù)雜，可以轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題，也可能無法轉(zhuǎn)化.例 14. 如圖，在RtaABC中，ZACB = 90% AC = 6, BC = 4,。是 AC 中點(diǎn)，E在BC 上運(yùn)動(dòng)，沿OE折疊，使點(diǎn)。落在C處，則8C'的最小值為.例 15. 如圖，在

6、 R»A3C 中，ZACB = 900 9 AC = 6, BC = 8, D、E 分別是 AC、BC 上的動(dòng)點(diǎn)，沿DE折疊,使點(diǎn)C落在C'處，則AU的最小值為.例16. 如圖，已知等邊A3C,邊長(zhǎng)為4,。、E是AC、A3上兩動(dòng)點(diǎn)，沿OE折疊，使點(diǎn)A恰好落到BC上，則8的最大值為.例14例15鄧晉榮 例L如圖，在A48c中，A8 = 2, 47 = 3,以BC作等邊BCD, B、D、C三點(diǎn)為逆時(shí) 針順序，則AO的最大值為.例2,如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知矩形。4BC的頂點(diǎn)A在丫軸上，。4 = 3, OC = 4,。是 線段A8上一動(dòng)點(diǎn)，以CZ）為邊在與點(diǎn)8同側(cè)作正方形CD

7、EF,則OE的最小值為例3.如佟I，在邊長(zhǎng)為。的等邊A8C中，4XL8C，點(diǎn)E是直線AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE， 把線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到CF,連接OF,則。F的最小值為.例3實(shí)際上，例1可以修改如下：例4.如圖，AC= 3 ,點(diǎn)B在以A為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，以BC為邊作等邊BCD , B、C、。三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，則AO的最大值為思考，我們能否證明點(diǎn)。也在某個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)？如果把例4中的等邊三角形改為等腰直角三角形呢？例5.如圖，AC = 3,點(diǎn)8在以A為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，以5c為斜邊作等腰直角 BCD, B、C、。三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，則A。的最大值為.1.位似變換如圖，A

8、是定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線BC （感。）上運(yùn)動(dòng)，A （定點(diǎn)）A （定點(diǎn)）.4/（從動(dòng)點(diǎn)B，/主動(dòng)點(diǎn)）/ M從動(dòng)點(diǎn)M是AP中點(diǎn)定點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)）MBP （主動(dòng)點(diǎn)）P（主動(dòng)點(diǎn)）O2 .旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)型全等）如圖，A是定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線8c 蛾 O）上運(yùn)動(dòng)，作等腰直角AP。，NPA0 = 9O。（此處可以看作點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。）從動(dòng)點(diǎn)）例10例93 .旋轉(zhuǎn)位似變換（旋轉(zhuǎn)型相似）如圖，A是定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線8c 蛾 O）上運(yùn)動(dòng)，作等腰直角“尸。，乙4P0 = 90。（此處可以看作點(diǎn)P繞點(diǎn)兒逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后，再以點(diǎn)A為位似中心擴(kuò)大/2倍）結(jié)論1：若某動(dòng)點(diǎn)（稱為主動(dòng)點(diǎn)）在某軌跡上運(yùn)動(dòng)，則與其連鎖運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)（稱為從動(dòng)

9、點(diǎn)）也 在同樣的軌跡上運(yùn)動(dòng)。主動(dòng)點(diǎn)在某直線上運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)也在另一直線上運(yùn)動(dòng)；主動(dòng)點(diǎn)在某圓上 運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)也在另一圓上運(yùn)動(dòng)。（此處的“連鎖運(yùn)動(dòng)”即指主動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過固定幾何變換得到從動(dòng)點(diǎn)）結(jié)論2：若主動(dòng)點(diǎn)圓上運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)該把圓心進(jìn)行同樣的幾何變換，得到從動(dòng)點(diǎn)的圓心；若主動(dòng) 點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則選擇該直線上任意一點(diǎn)，進(jìn)行同樣的幾何變換，變換后的點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成從動(dòng)點(diǎn)所在直線，之后，再通過“手拉手”模型進(jìn)行推導(dǎo)證明。結(jié)論3：主動(dòng)點(diǎn)所在軌跡與從動(dòng)點(diǎn)所在軌跡的長(zhǎng)度之比等于位似比。例6 ,如圖，在四邊形A8CO中，ZABC=Z4DC=90% AD=CD=G , E是BD中點(diǎn)"則 CE的最小值為.例7.如圖，

10、在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3, 0),點(diǎn)5在直線)，= -6x +3上運(yùn)動(dòng)，以A3為邊作等邊A3C, 5、A、C三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，則OC的最小值為.例8.如圖，A8是的直徑，C是OB上一點(diǎn)，P是。上一動(dòng)點(diǎn)，以CP為底邊作等腰直 角MPD ,、。、。三點(diǎn)為逆時(shí)針順序,若從8 = 6, OC=2,則AD的最小值為.例9如圖，點(diǎn)O在線段A反上，。4=1, 03=2,以點(diǎn)。為圓心，。4長(zhǎng)為半徑作9。，點(diǎn) P 在 QP 上運(yùn)動(dòng)，以 BP 為邊作 aBCP ,使 NP5C = 90。，tanZBPC=2, P、B、C 三點(diǎn) 為逆時(shí)針順序，則AC的取值范圍是.例10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2, 4),

11、點(diǎn)尸(1, 0) , 3是軸)，上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作A8L4C交x軸于點(diǎn)C, M是8c中點(diǎn)，則PM的最小值為.單線段最值問題練習(xí)練L如圖，在8中，半徑為6, C是8上一動(dòng)點(diǎn)，且Z4CB=30。，延長(zhǎng)。3交過點(diǎn)A的 切線于點(diǎn)Q，則5。的最小值為.練2.如圖，點(diǎn)A是直線y = r上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8在x軸上運(yùn)動(dòng)，作矩形ABC。，加=2,4)= 1， A、B、C、。四點(diǎn)為逆時(shí)針順序，則。的最大值為.練3.如圖，在等邊aABC中，A8 = 3,點(diǎn)。、E分別在8C、AC上運(yùn)動(dòng)，且8O = CE, AD 交BE于點(diǎn)、F ,則CF的最小值為.練4 .如圖，在菱形A5CO中，AC = 2, 8。= 4, P是CD上一

12、動(dòng)點(diǎn)、,分別作點(diǎn)P關(guān)于AC、A。的對(duì)稱點(diǎn)4、R,則62的最小值為練5 .如圖，已點(diǎn)A(3,0), C(0.4) , 0C的半徑為2,點(diǎn)尸題)C上一動(dòng)點(diǎn)，M是AP中點(diǎn)，則0M的最小值為.練6.如圖，已知半徑為3 , A、8是00上兩點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)C, 則OC的最小值為.練5練7 .如圖，AB是C/7的直徑，C是AB中點(diǎn)，。是3C上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE_LCD交月。于點(diǎn)E,則BE的最小值為.練8.如圖，在等邊ABC中，。是5c上一動(dòng)點(diǎn)，M是AO中點(diǎn)，將線段0M繞點(diǎn)。順時(shí) 針旋轉(zhuǎn)60。得到ON.當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)為.練9.如圖，已知定點(diǎn)A橫坐標(biāo)為26，

13、過點(diǎn)A且垂直于x軸的直線交x軸于點(diǎn)M ,交直線 ，=_4,于點(diǎn)N.尸是線段ON上一動(dòng)點(diǎn)，作APB, N8AP=90。，ZAPB = 30。，A、尸、 8三點(diǎn)為逆時(shí)針順序.當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)為.Ay練10. 如圖，AP = 3, BP = 4,作正方形A8CO, A、8、。、。四點(diǎn)為逆時(shí)針順序，CP 的最大值為.練1L 如圖等邊ABC中，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，作BOP, ZPBD = 30° , PB = PD, P、B、。三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，則CO的最小值為.練 12. 如圖，aABCs力£>石，NBAC=ND4E = 90。，AB = 6, AC = 8,廠是OE 中點(diǎn)， 若點(diǎn)。在直線3C上運(yùn)動(dòng)，連接