萬有引力和天體運(yùn)動(dòng)

1、萬有引力和天體運(yùn)動(dòng)、知識(shí)點(diǎn)擊1.開普勒定律第一定律（軌道定律）這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。:所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運(yùn)動(dòng)。太陽是在第二定律（面積定律）:對(duì)每個(gè)行星來說，太陽和行星的連線（叫矢徑）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。“面積速度”S 1- -r sin （。為矢徑r與速度 的夾角） t 2第三定律（周期定律）：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值相等。即:2.萬有引力定律萬有引力定律：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的.任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間引力的大小跟這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比._ _ 1122G 6.67 10 N m / kg

2、 ,稱為引力常量.重力加速度的基本計(jì)算方法設(shè)M為地球的質(zhì)量，g為地球表面的重力加速度.在地球表面附近（h R ）處:-MmG R2GM c。 ， 22 =9.8m/s R2在地球上空距地心 r=R+h處：grGMrgrgR22r(R、)2在地球內(nèi)部跟離地心 r處：gr43rG3-T-r3Ggrgrgr Rg3.行星運(yùn)動(dòng)的能量行星的動(dòng)能當(dāng)一顆質(zhì)量為m的行星以速度繞著質(zhì)量為M的恒星做平徑為r的圓周運(yùn)動(dòng):匚 1EK 2mO2 - Mm -G,式中2r行星的勢(shì)能對(duì)質(zhì)量分別為 M和m的兩孤立星系，取無窮遠(yuǎn)處為萬有引力勢(shì)能零點(diǎn)，當(dāng) m與M相距r時(shí)，其體系的引力勢(shì)能：EpGMmr1 2 - Mm - Mm行

3、星的機(jī)械能：E Ek Ep m G G2 r 2r4.宇宙速度和引力場(chǎng)宇宙速度（相對(duì)地球）第一宇宙速度：環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的速度（環(huán)繞速度）第二宇宙速度：人造天體發(fā)射到地球引力作用以外的最小速度（脫離速度）第三宇宙速度：使人造天體脫離太陽引力范圍的最小速度（逃逸速度）引力場(chǎng)、引力半徑與宇宙半徑.對(duì)于任何一個(gè)質(zhì)量為M,半徑為r的均勻球形體系都有類似于地球情況下的這兩個(gè)特征2GM2GM速度.如果第二宇宙速度超過光速，即c J,貝U有關(guān)系. r 2, rc在這種物體上，即使發(fā)射光也不能克服引力作用，最終一定要落回此物體上來，這就是牛頓理論的結(jié)論，近代理論有類似的結(jié)論，這種根本發(fā)不了光的物體，被稱為黑洞，這

4、個(gè)臨界的r值被稱為引力半徑，記為 rag2GMc用地球質(zhì)量代入，得到rg=0.9cm,設(shè)想地球全部質(zhì)量縮小到1 cm以下的小球內(nèi)，那么外界就得不到這個(gè)地球的任何光信息.如果物質(zhì)均勻分布于一個(gè)半徑為r的球體內(nèi)，密度為p ,則總質(zhì)量為M又假設(shè)半徑r正好是引力半徑，那么 rqg2G 4 rg33 g2c3c2，得 rg(-)8 G此式表示所設(shè)環(huán)境中光不可能發(fā)射到超出rg的范圍，聯(lián)想起宇宙環(huán)境的質(zhì)量密度平均值為10-29g/cm3,這等于說，我們不可能把光發(fā)射到1028cm以外的空洞，這個(gè)尺度稱為宇宙半徑.二、方法演練類型一、天體運(yùn)動(dòng)中一類應(yīng)用開普勒定律的問題，解這類問題時(shí)一定要注意運(yùn)動(dòng)的軌道、 面積

5、、周期，但三者之間也是有關(guān)聯(lián)的，正因?yàn)槿绱?，解題時(shí)要特別注意“面積速度” 例1.要發(fā)射一艘探測(cè)太陽的宇宙飛船，使其具有與地球相等的繞日運(yùn)動(dòng)周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測(cè)資料。在地球發(fā)射這一艘飛船時(shí)，應(yīng)使其具有多大的繞日S點(diǎn)（太陽）速度?分析與解：如示61所示，圓為地球繞日軌道，橢圓為所發(fā)射飛船的繞日軌道,為此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，因飛船與地球具有相等的繞日周期，由開普勒周期定律:T2 a4 2 T2GMSR3可知橢圓的半長軸發(fā)射飛船時(shí)，繞日速度長軸平行的方向.則飛船的“面積速度”為:地球的“面積速度”為:oR故：0當(dāng)繞日速度的方向不同時(shí)，其軌道的短軸b不同，但長半軸R相同，太陽為橢圓軌

6、道的一個(gè)焦點(diǎn)，且發(fā)射的繞日速度大小相同.例2. 一物體A由離地面很遠(yuǎn)處向地球下落,落至地面上時(shí)，其速度恰好等于第一宇宙速度.已知地球半徑 R=6400 km.若不計(jì)物體在運(yùn)動(dòng)中所受到的阻力，求此物體在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。分析和解：物體落至地面時(shí)其速度值為第一宇宙速度值，即:上式中R為地球半徑，g為地球表面處的重力加速度。設(shè)A最初離地心白距離為 r,則由其下落過程中機(jī)械能守恒,且 GM=gR2聯(lián)立上三式可解得：r=2R物體在中心天體引力作用下做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度、加速度是變化的，可以將它看繞中R心天體的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，將其短軸取無限小。這就是我們通常所說的“軌道極限化”物體A下落可以看成是沿著很狹長的

7、橢圓軌道運(yùn)行，其焦點(diǎn)非常接近此橢圓軌道長軸的兩端，如圖62所示，則由開普勒第一定律,得知地心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).則橢圓長半軸為圖62a=RR）的圓軌再由開普勒第二定律得:sjtS0 T1,1,S ab ab, S042ab又由開普勒第三定律，物體沿橢圓軌道運(yùn)行的周期和沿繞地心（軌道不計(jì)為 道運(yùn)行的周期相等.其周期為:(3 1). 6400 103 2.06 103s2.9.8類型二、天體質(zhì)量（密度）的計(jì)算問題往往是由萬有引力定律和向心力公式建立天體計(jì) 算的基本方程，解題時(shí)一般要注意中心天體與運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星關(guān)系的建立，同時(shí)還要注意忽略微小量（次要因數(shù)）的問題，這是解決這類問題的兩個(gè)非常重要的因數(shù)。例3.

8、新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為 6400 km,且由通常的水形成的海洋覆蓋它所有的表面，海洋的深度為10 km,學(xué)者們對(duì)該行星進(jìn)行探查時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把試驗(yàn)樣品浸入行星海洋的不同深度時(shí)，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變.試求此行星表面處的自由落體加速度.已知萬有引力常量 G=6. 67X 10-11N m2/ kg2。分析和解：解本題的關(guān)鍵就在于首先要建立中心天體和運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星，才能運(yùn)用基本方程式求行星表面處的自由落體加速度，若把水視為運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星群，則關(guān)鍵是如何求中心天體的質(zhì)量。以R表示此星球的半徑，M表示其質(zhì)量，h表示其表面層海洋的深度，Ro表示除海洋外星球內(nèi)層的半徑，r表示海洋內(nèi)任一點(diǎn)到星球中

9、心的距離.則：h,以p水表示水的密度.則此星球表面海洋水的總質(zhì)量為43m 3 R3 水3 R3422水3水(3R0h3Rhh3)因Rh,略去h高次項(xiàng),-Mm由G2-R2mg表，g表GMR2(M m) m,G2Romgo, goG (Mm依題意：g表 g0,即:(Mm) ( Mm)(R h)2R2m2Rh h2G 4 水 R3hy R2 2h將 G=6. 67X 10-11N m2/kg2,p 水=1. 0X103kg/m3, R= 6.4x 106 m 代入得：g 表=2. 7 m/s2。f的微弱阻力作用，以r表示衛(wèi)星軌道的平均半徑,M表示地球質(zhì)量，求衛(wèi)星在旋轉(zhuǎn)一周的過程中:類型三、天體運(yùn)動(dòng)的

10、能量問題要注意在軌運(yùn)行的衛(wèi)星的機(jī)械能，然后利用機(jī)械能的改變 及功能原理來解題，這是因?yàn)樾l(wèi)星的運(yùn)行軌道變化既要注意其變軌機(jī)理，又要符合能量原理。例4.質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，在圓形軌道上運(yùn)行.運(yùn)行中受到大小恒為(1)軌道半徑的改變量A r=?(2)衛(wèi)星動(dòng)能的改變量AEk=?分析和解：因衛(wèi)星沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，則Mm2rGMm2rGMm GMm 則衛(wèi)星的機(jī)械能為E -2rGMm2r(1)設(shè)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周軌道半徑改變量為r,則對(duì)應(yīng)機(jī)械能改變量為GMm2( rr)GMm2 r 2r2GMm2rGMm 1(一2 r_ rr r (rr)根據(jù)功能原理：W=AE,rfGMm2r24 r3fGMm,負(fù)號(hào)表示軌道半徑

11、減小。(2)衛(wèi)星動(dòng)能的改變量為:GMmGMmEK-二 一2( r r)2rGMm1) rGMm2- r 2r2GMm2r2L-f)2 rfGMm類型四、天體運(yùn)動(dòng)的宇宙速度問題實(shí)質(zhì)上就是兩個(gè)問題：一個(gè)是擺脫引力場(chǎng)所需要的能量的 問題；一個(gè)是能量的來源問題。而能量要么來源于燃料，要么來源于碰撞。飛行器的質(zhì)量比小行星的質(zhì)量例5.宇宙飛行器和小行星都繞太陽在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),小很多，飛行器的速率為0,小行星的軌道半徑為飛行器軌道半徑的6倍。有人企圖借助飛行器與小行星的碰撞使飛行器飛出太陽系，于是他便設(shè)計(jì)了如下方案：I .當(dāng)飛行器在其圓周軌道的適當(dāng)位置時(shí)，突然點(diǎn)燃飛行器上的噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過極短時(shí)間后

12、立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得所需的速度，沿圓周軌道的切線方向離開圓軌道；n .飛 行器到達(dá)小行星的軌道時(shí)正好位于小行星的前緣，速度的方向和小行星在該處速度的方 向相同，正好可被小行星碰撞；出.小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰。不計(jì)燃燒的燃料質(zhì)量.(1)試通過計(jì)算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽系.(2)設(shè)在上述方案中，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量為Ei .如果不采取上述方案而令飛行器在圓軌道上突然點(diǎn)燃噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得足夠的速度沿圓軌道切線方向離開圓軌道后能直接飛出太陽系.采用這種辦法時(shí)飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī) 取得的能量的最小值用 E2表示.問 且為多少?E2分析和解

13、：(1)設(shè)太陽的質(zhì)量為 M0,飛行器的質(zhì)量為 m,飛行器繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑 為Ro根據(jù)所設(shè)計(jì)的方案，可知飛行器是從其原來的圓軌道上某處出發(fā)，沿著半個(gè)橢圓軌道到達(dá)小行星軌道上的.該橢圓既與飛行器原來的圓軌道相切，又與小行星的圓軌道相切.要使飛行器沿此橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，應(yīng)點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)使飛行器的速度在極短時(shí)間內(nèi)，由0變?yōu)槟骋恢祏o.設(shè)飛行器沿橢圓軌道到達(dá)小行星軌道時(shí)的速度為u,因?yàn)榇笮閡o和的這兩個(gè)速度的方向都與橢圓的長軸垂直，由開普勒第二定律可得Uo R= 6 Ur.一 一 .1 C由能重關(guān)系，有一mu； G2Mom1 2 mu2MomG6R(2)由萬有引力定律，有GMmR2GMo(3)解(1

14、) (2) (3)三式得uo12(4), U(5)設(shè)小行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的速度為V,小行星的質(zhì)量為M,由萬有引力定律GM0MV2(6R)2M -6RGMo6R,得V(6)可以看出Vu由此可見，只要選擇好飛行器在圓軌道上合適的位置離開圓軌道，使得它到達(dá)小行星軌 道處時(shí)，小行星的前緣也正好運(yùn)動(dòng)到該處，則飛行器就能被小行星撞擊。可以把小行星看作是相對(duì)靜止的，飛行器以相對(duì)速度V u射向小行星，由于小行星的的質(zhì)量比飛行器的質(zhì)量大得多，碰撞后，飛行器以同樣的速度 V u彈回，即碰撞后，飛行器對(duì)小行星的速度的大小為V u ,方向與小行星的速度的方向相同，故飛行器相對(duì)太陽的速度為u1V V u 2V u或?qū)?5)

15、 (6)式代入得u1 (J|1) 0(8)U2,則有1 2 mu22GMRm 0如果飛行器能從小行星的軌道上直接飛出太陽系，它應(yīng)具有的最小速度為得(9)可以看出u1(2)(3)E11mu22122m 0112212T m 0 二m 02725214m 0(11)(10)飛行器被小行星撞擊后具有的速度足以保證它能飛出太陽系.為使飛行器能進(jìn)人橢圓軌道，發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)使飛行器的速度由0增加到U0,飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量U3,則有-mu| G 23M 0m由此得U32GM02(12)飛行器的速度由0增加到U3,應(yīng)從發(fā)動(dòng)機(jī)獲取的能量為E2 1mu2 1m22(13)所以0.71E2(14)若飛行器從其圓周軌

16、道上直接飛出太陽系，飛行器應(yīng)具有最小速度為類型五、天體運(yùn)動(dòng)的宇宙速度問題實(shí)質(zhì)上就是兩個(gè)問題：一個(gè)是擺脫引力場(chǎng)所需要的能 量的問題；一個(gè)是能量的來源問題。而能量要么來源于燃料，要么來源于碰撞。例7.經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)，雙星系統(tǒng)由兩個(gè) 星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定，該星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量 M,兩者相距L,它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng).(1)試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期

17、T計(jì)算；(2)若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T觀測(cè)，且T觀測(cè)：T計(jì)算=1 ： JN (Nl),為了解釋T觀測(cè)與T計(jì)算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗 物質(zhì)，作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均這種暗物質(zhì)，而不考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度.解.(1)雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)速度為，向心加速度滿淀下面的方程M，叫L/2L2GM2L周期T計(jì)算 2 /2)2LGM(2)根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期T觀測(cè)1T計(jì)算 T 計(jì)算，N這說明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它一定

18、還受到其他指向中心的作用力，按題意，這一作用來源于均勻分布的暗物質(zhì)，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量M、位于中點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)相同，考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度觀，現(xiàn)有L/2GM 2L2c MMG 2(L/2)G(M 4M )2L11 1因?yàn)樵谲壍酪欢〞r(shí)，周期和速度成反比，由式得 j=觀N NN 1把式代入式得 MN一1M、， 一 4 L 3 N 1設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為p ,則有 一()3M324田3(N 1)M入故事一2 L3三、小試身手1.質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，繞半徑為ro的圓軌道飛行，地球質(zhì)量為M,試求(1)衛(wèi)星的總機(jī)械能.(2)若衛(wèi)星受微

19、弱摩擦阻力f (常量)，則將緩慢地沿一螺旋軌道接近地球，因 f很小，軌道半例徑變化非常緩慢，每周旋轉(zhuǎn)可近似按半徑為r的圓軌道處理，但r將逐周縮短，在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周r的改變量A r是多少.(3)在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周衛(wèi)星動(dòng)能的改變量是多少.2 . 一個(gè)飛行器被發(fā)射到一個(gè)圍饒?zhí)柕臋E圓軌道上，以地球軌道為近日點(diǎn)，而以火星軌道為遠(yuǎn)日點(diǎn)，如圖63所示，已知地球至太陽的距離為 R,火星至太陽的距離為 R2. (1)求軌道方程的參數(shù)入和值；(2)利用開普勒第三定律計(jì)算沿此軌道到達(dá)火星軌道所需時(shí)間.圖633 .地球m繞太陽M （固定）作橢圓運(yùn)動(dòng)，已知軌道半長軸為A,半短軸為B,如圖6 4所示，試求地球在橢圓各

20、頂點(diǎn)動(dòng)速度的大小及其曲率半徑.1、2、3的運(yùn)4 .要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，使它在半徑為r2的預(yù)定軌道上繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為此先65所不在A將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為 ri的近地暫行軌道上繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖點(diǎn)，實(shí)際使衛(wèi)星速度增加，從而使衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)橢圓的轉(zhuǎn)移軌道上，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B時(shí)，再次改變衛(wèi)星速度， 使它進(jìn)入預(yù)定軌道運(yùn)行，試求衛(wèi)星從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所需的時(shí)間，設(shè)萬有引力恒量為G,地球質(zhì)量為M .5.宇宙飛船在距火星表面 H高度處作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星半徑為R,今設(shè)飛船在極短時(shí)間內(nèi)T.% A F(2)設(shè)飛船原來的運(yùn)動(dòng)速度0,試計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期船新軌道不會(huì)與火星表面交會(huì).如圖6 6

21、,飛船噴氣質(zhì)量可忽略不計(jì).(1)試求飛船新軌道的近火星點(diǎn)的高度h近和遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度h遠(yuǎn)，向外側(cè)點(diǎn)噴氣，使飛船獲得一徑向速度，其大小為原速度的倍，因 量很小，所以飛6.質(zhì)量為m的登月器連接在質(zhì)量為 M (=2m)的航天飛機(jī)上一起繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑是月球半徑 Rm的3倍，某一時(shí)刻，將登月器相對(duì)航天飛機(jī)向運(yùn)動(dòng)反方向射出后，登月器仍沿原方向運(yùn)動(dòng)，并沿圖 6 7所示的橢圓軌道登上月球表面，在月球表面逗留一段時(shí)間后，經(jīng)快速發(fā)動(dòng)沿原橢圓軌道回到脫離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，試求登H器在月球表面可逗留多長時(shí)間？已知月球表面的重力加速度為Rm 1.74 106m。意曰一71.627.從赤道上的C點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)

22、彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn)N,要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km.已知質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其能量E與橢圓半長軸a的關(guān)系為E GMm式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量. 2a(1)假定地球沒有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向(用速度方向與從地心 。到發(fā)射點(diǎn)C的連線之間的夾角表示).(2)若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少?(3)試導(dǎo)出EGMm2a參考解答1 .解：（1）因人造地球衛(wèi)星沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，則MmG r。2mr。GMm2r。GMm GMm 則衛(wèi)星的機(jī)械能為e -2roGMm2r。(2)設(shè)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周軌道半徑改變量

23、為r,則對(duì)應(yīng)機(jī)械能改變量為GMm GMm2( rGMm2r2r)2rGMm,1(一2 r根據(jù)功能原理:4 r3f r GMmr r (rr)r r2W=AE,即GMm2 rf2r2,負(fù)號(hào)表示軌道半徑減小。（3）衛(wèi)星動(dòng)能的改變量為:EkGMm2( rr)GMm2rGMm2.解：(1)在近日點(diǎn)處,在遠(yuǎn)日點(diǎn)處均式解得:GMm2r2GMm2r25)2 rfGMm橢圓軌道方程中的。二0,即即R2(1)1R1R2R1R2（2）根據(jù)開普勒第三定律,T2-3 aC （常數(shù)）地球繞太陽的運(yùn)行周期T1（二1年），設(shè)飛/口口一/ 升,r T2行器運(yùn)行的周期為 T,則二T1(RR2)32R3因此該飛行器沿此軌道運(yùn)行到

24、火星軌道所需時(shí)間為T 1 RR2 32 k-(-2)-2年。22 2R-MmG A C123.解：對(duì)頂點(diǎn)1、2,由機(jī)械能守恒定律有 一m1 2根據(jù)開普勒第二定律有 V1（A C）V2（A C）式中C 、A2B2A一一A C由式解得V1=A C BGM A , A2 B2GMBGM-MmG2(A C)2解得1B22 A對(duì)頂點(diǎn)3,1m由機(jī)械能守恒得將i代入得Mm 1G mB 2同樣可得3A24.解：以V表示衛(wèi)星的速度，當(dāng)衛(wèi)星在暫行軌道上經(jīng)過近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B時(shí).V與r垂直,根據(jù)并普勒第二定律，有 VB 2衛(wèi)星在暫行軌道上總機(jī)械能守恒 ea eb1 2_EA -mVA G11、，2 Mm1、，21、

25、，211、-mVB G mVA mVB GMm( )2r222r1r2解得V；2GMr2r1( R 引2GMr1r 2( R rj1衛(wèi)星的面積速度為 S SASB 1 rVA2橢圓的面積為ab ,其中a1因此周期為TabS-（12）32GM從A到B點(diǎn)所需時(shí)間t為t T2(ri2）： rir22GM5.解：設(shè)火星和飛船的質(zhì)量分別為M和m,飛船沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，飛船在最近點(diǎn)或最遠(yuǎn)點(diǎn)與火星中心的距離為r,飛船速度為1因飛船噴氣刖繞圓軌道的面積速度為一r0 0。等于噴氣后飛船繞橢圓軌道在P點(diǎn)的面積速21度一ro pSin （P點(diǎn)為圓和橢圓的交點(diǎn)） 2一一一，一、11匹火星點(diǎn)的面積速度 一r ，故一r0

26、 022由機(jī)械能守恒定律有1m 2 GMm2r,由開普勒第二定律，后者又應(yīng)等于飛船在近、1 一一.一1一口.一 r0 p sin r ,即 r0 0 r2 21 /22 2X_Mm-m（00）G-2 r0飛船沿原圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，有 GMmr0式中 r0 R H , r=R+h上述三個(gè)方程消去G、M、0后可解得關(guān)于r的方程為（122_2)r2r0r r00R H1Rj1上式有兩個(gè)解，大者為 r遠(yuǎn)，小者為r近.r0R Hr0r近 ，r遠(yuǎn) 一111故近、遠(yuǎn)火星點(diǎn)距火星表面的高度為（2）設(shè)橢圓軌道的半長軸為ar近r遠(yuǎn)2a，即ar0 21,設(shè)飛船噴氣后，繞橢圓軌道運(yùn)行的周期為飛船噴氣前繞圓軌道運(yùn)行的周期為

27、T00Ta 3cT,由開普勒第三定律有一 （一）2T0r0故TT咱為注即1 L。6.解：設(shè)脫離前登月器與航天飛機(jī)一起繞月球運(yùn)動(dòng)的速度為V0,有GMm (Mm) ( M m V(3E 23RmGMm3Rm其運(yùn)動(dòng)周期T02 (3Rm)-3Rm- GM m式中Mm為月球的質(zhì)量，而月球表面的重力加速度gmGMmRm，故 GMmgmRm 1.62 1.74 1 0 6 2.82 1 06 m2/s2Rm因而式中T0 33812s 9.4h設(shè)登月器與航天飛機(jī)脫離后兩者的的速度分別為V1和V2,由動(dòng)量守恒可得(Mm) VmM MV2此后兩者沿不同的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，設(shè)登月器運(yùn)動(dòng)到月球表面時(shí)的速度為V1 ,則由機(jī)

28、械能12寸恒得一mV,2GM mm12 GMmmTZ二 V13Rm2Rm由可得，V1GRm12v。由開普勒第二定律3RmV1 RmM一，一一31將代入得，V2 (3I )V02 2.2設(shè)航天飛機(jī)運(yùn)動(dòng)到離月球最遠(yuǎn)處與月球的距離為KRm ,速度為V2 ,同樣可得類似于.鉆十工口 1 、，2 GMmm 1 、，2 GMmm式的萬程一mV2mmV2m23Rm2Rm3RmV2KRmV2由式可解得K19 6 2 5.75 2 122 1，一 1故航天飛機(jī)運(yùn)動(dòng)軌道的半長軸為 dm -（K 3）Rm由題意知，登月器為能沿原軌道返回脫離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，則它在月球上可逗留的時(shí)間應(yīng)是t (n 1)Tm Tm

29、(n 0,1,2 )式中Tm與Tm分別為航天飛機(jī)與登月器運(yùn)動(dòng)周期，由開普勒第三定律，得TmT0壹聲V2 1.76TmT0薨)32(3)320.541.76T。，Tm 0.54T。將兩式代入式，得t (n 1) 1.76 0.54 T0(1.76n 1.22)9.4h (n 0,1,2 )上式即為登月器在月球表面可逗留的時(shí)間，最短時(shí)間為11.5 h.7.解：（1）這是一個(gè)大尺度運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)彈發(fā)射后，在地球引力作用下將沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng).如果導(dǎo)彈能打到N點(diǎn)，則此橢圓一定位于過地心 O、北極點(diǎn)N和赤道上的發(fā)射點(diǎn)C組成的平面（此平面是C點(diǎn)所在的子午面）內(nèi),因此導(dǎo)彈的發(fā)射速度（初速度v）必須也在此平面內(nèi),地心。是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)對(duì)稱性，注意到橢圓上的 C、N兩點(diǎn)到焦點(diǎn)O的距離相等,故所考察橢圓的長軸是過 O點(diǎn)垂直CN的直線，即圖上的直線 AB,橢圓的另一焦點(diǎn)必在AB上.已知