例3奧運會臨時超市網點設計的數學模型2(聚類分析)(精)

1、奧運會臨時超市網點設計的數學模型電子科技大學指導老師：張勇參賽隊員：傅 翀 郭守威 劉傳凱2004.9.20奧運會臨時超市網點設計的數學模型摘要本文對觀眾在出行、 餐飲和購物等方面的規(guī)律進行了分析研究， 在觀眾平均出行兩 次的情況下，計算出了20個商區(qū)內的人流量分布，并設計給出了20個商區(qū)內MS網點的分布方案。首先， 分別從觀眾的性別、 年齡來考慮對出行、餐飲和購物的影響，即分成六方面 影響，對每一方面影響統(tǒng)計出其數據，做相關性檢驗，并分析得出規(guī)律；再按年齡、性 別、出行和餐飲幾方面的不同將觀眾分為72類，引入購物欲望指數作為評價指標，運 用聚類分析方法把觀眾歸并為8類，得出不同性別、年齡的觀

2、眾，其購物欲望與出行方 式和用餐習慣關系的規(guī)律。然后，利用出行、餐飲方面的統(tǒng)計規(guī)律，根據比賽主場館的觀眾容量和各個看臺的 人流方向， 建立主場館周邊各個商區(qū)人流量分布的通用模型，以三個體育場的容量和人 流方向計算得出20個商區(qū)的人流量分布。在設計MS方案時，以各個商業(yè)區(qū)的總利潤最大為目標、以滿足總購物需求和分布 均衡為約束，建立模型。模型求解的關鍵是求每個商區(qū)的購物需求。利用聚類分析得出 的規(guī)律，算出不同種類觀眾的人均日消費額，結合人流的分布和流動方向，得到各商區(qū) 的購物需求，從而確定出各商區(qū)兩種規(guī)模MS個數的分布方案。最后，我們從模型所用思想方法的科學性，以及結果的合理性兩方面進行了討論。一

3、、問題重述2008年北京奧運會的建設工作已經進入全面設計和實施階段。 奧運會期間， 在比賽 主場館的周邊地區(qū)需要建設由小型商亭構建的臨時商業(yè)網點，稱為迷你超市（記做MS）網，主要經營食品、奧運紀念品、旅游用品、文體用品和小日用品等。這種MS網，在地點、大小類型和總量方面有三個基本要求：滿足奧運會期間的購物需求、分布基本均 衡和商業(yè)上贏利。我們要做的是對下圖中的20個商區(qū)設計MS網點:作為真實地圖的簡化，圖中僅保留了與本問題有關的地區(qū)及相關部分： 道路（白色 為人行道）、公交車站、地鐵站、出租車站、私車停車場、餐飲部門等,其中標有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黃色區(qū)域是規(guī)定的設計MS網點

4、的20個商區(qū)。為了得到人流量的規(guī)律， 一個可供選擇的方法，是在已經建設好的某運動場通過對 預演的運動會的問卷調查，了解觀眾（購物主體）的出行和用餐的需求方式和購物欲望。 假設在某運動場舉辦了三次運動會，并通過對觀眾的問卷調查采集了相關數據。1.根據問卷調查數據，找出觀眾在出行、用餐和購物等方面所反映的規(guī)律。2.假定奧運會期間（指某一天）每位觀眾平均出行兩次，一次為進出場館，一次為餐飲，并且出行均采取最短路徑。依據1的結果，測算圖中20個商區(qū)的人流量分布（用百分比表示）。3.如果有兩種大小不同規(guī)模的MS類型供選擇，給出圖中20個商區(qū)內MS網點的設 計方案（即每個商區(qū)內不同類型MS的個數），以滿足

5、上述三個基本要求。4闡明所采取方法的科學性，并說明結果是貼近實際的。二、問題分析本問題的關鍵是尋找觀眾在出行、餐飲和購物三方面的規(guī)律。先從問卷調查的主體 觀眾考慮，觀眾的性別、年齡均對這三方面有一定的影響，通過數據的統(tǒng)計分析和相關 性檢驗來得到其規(guī)律。再綜合考慮性別、年齡、出行方式和餐飲方式幾個方面對消費額 的影響，將觀眾按這幾個方面分類，運用聚類分析的方法來得到不同種類的觀眾在消費 額上反映出的規(guī)律。在前面統(tǒng)計分析的基礎上，得到出行方式和餐飲方式不同的觀眾在總人數中所占的 比例，并根據假定出行路徑最短的要求，給出具體的出行規(guī)則，建立計算某一比賽主場 館周圍，各商區(qū)的人流量的一般模型，并求得通

6、用計算公式。然后將各比賽主場館周圍 商區(qū)及人流的相關數據代入，即可得到各個商區(qū)的人流量分布。X -本問題的難點是各商區(qū)MS的設置。根據聚類分析得到的，不同種類觀眾所具有的不同購物欲望，并結合各商區(qū)人流量的一般模型，得到各商區(qū)的預期銷售額。再查出兩 種大小MS的具體規(guī)模，在滿足MS三個基本條件的前提下，得出各個商區(qū)內兩種 設置萬案。最后，討論所用方法的科學性和計算結果的合理性。三、變量說明n：某比賽主場館周圍商區(qū)的個數。f（i）：第i個商區(qū)的人流量（1叮乞n）。:大小因子，即大型MS在占地面積、營業(yè)成本以及銷售額上限等方面均為小型 倍。N:第i個商區(qū)內小型MS的個數。yi:第i個商區(qū)內大型MS的

7、個數。a:單個小型MS的銷售額上限。c:單個小型MS勺營業(yè)成本。j:某比賽主場館周圍，所有商區(qū)最大銷售額的均方差上限。四、基本假設1.觀眾出行時只能經過其所在比賽場館周邊的商區(qū)，而不能穿越其它比賽場館及其周 圍的商區(qū)。2.每一比賽主場館的周邊商區(qū)之外，設有南、北向大門各一道，供觀眾進出該區(qū)域。3.觀眾從某體育場館出發(fā)前往其它場所時，均從體育場館離該場所最近的大門進出。4.各類觀眾在整個比賽主場館區(qū)域內均勻分布。5.問卷調查所得到的消費額（非餐飲）為某觀眾一天的消費額，即日消費額。6.奧運會期間，所有比賽主場館每天均滿座，即每天觀眾的數量為20萬。五、建模前的準備 二元數據的Pearson相關系

8、數分析（見文獻1P27）設XY是二元總體，從中取得觀測數據（X1,y1）T,（X2,y2）T,，（Xn,yn）1據觀測矩陣Xnyn一MS的MS勺引進數xSxy稱Sxx為變量X的觀測數據的方差，syy為 丫 的觀測數據的方差，Sxy為變量x，丫的觀測數據的協(xié)方差，而由Schwarz不等式2Sxy _ xSyy可知S總是非負定的，一般是正定的。觀測數據的相關系數計算公式是Sxyrxy稱為Pears on相關系數，是反映觀測數據相關性的一種最重要的相關系數。y 丄 yinix,yT則y，稱為二元觀測數據的均值向量Xi-xSn -1iyy二丄 yi -y：n - 1i -ASxxSxyS SyxSyy

9、稱為觀測數據的協(xié)方差矩陣。由于總有Sxy= Syx，所以協(xié)方差矩陣是對稱矩陣。x由Schwarz不等式,有rxy1即總有一1_rxy一1.當 5=0（或rxy：0）時，稱變量X，Y的觀測數據是不相關的（或近似不相關）。 當0%叮時，稱變量X,Y的觀測數據是線性正相關的。當一 j：rxy 0時，稱變量X，Y的觀測數據是線性負相關的。當rxy二1（即 =曰時），稱X，Y的觀測數據完 全線性相關。因此，rxy是二元總體（X,Y $的兩個分量之間的線性聯系密切程度的度量。六、模型的建立和求解（一）問題1為了找出觀眾在出行、 用餐和購物等反面所反映的規(guī)律， 我們先分別考慮觀眾的性 別和年齡對出行、用餐和

10、購物三方面的影響，得出一定的規(guī)律；再考慮性別、年齡、出 行方式、用餐方式在購物方面反映的規(guī)律，將觀眾按照這四方面進行分類，引入購物欲 望作為衡量指標，進行聚類分析，即可得到不同性別、不同的年齡的觀眾，其購物欲望 與出行方式和用餐習慣的規(guī)律。1統(tǒng)計得出性別和年齡對出行、用餐和購物三方面的影響具體到性別或年齡對某一方面的影響， 先對三份問卷調查做統(tǒng)計，對其中任兩份問 卷的數據做相關性檢驗，如果相關系數接近1,就說明這兩份問卷調查的結果線性相關， 每一份問卷都能獨立反映出觀眾在某方面的規(guī)律性。為了充分利用所有問卷調查的結 果，以及使統(tǒng)計規(guī)律更接近實際，我們取三份問卷的平均結果，進行分析。（1）性別對

11、出行方式的影響對于附錄中給出的三份問卷調查數據，利用SPSS軟件，對不同出行方式下男、女觀眾的人數進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果見表1.1-a。數據的相關性檢驗：結果如表1.1-b所示，可見三份問卷數據的兩兩相關系數均接 近1,說明每份問卷調查的數據都顯示了相同的規(guī)律。由總和數據可以得出規(guī)律：從各出行方式下男女的數量方面考慮，乘坐公交車、地 鐵的觀眾中男性居多，乘坐出租車和私車的則以女性為主。由標準化后的數據可以得出規(guī)律：在不考慮男女觀眾數量差異時，乘坐公交車的觀 眾中男性傾向較大，乘坐出租車和私車的觀眾中女性傾向較大，而兩者對地鐵的需求傾向相差不大。表1.1-a各出行方式中男、女人數統(tǒng)計結果公交（南北）

12、公交（東西）出租私車地鐵（東）地鐵（西）性別男女男女男女男女男女男女問卷384228393205231449102206339306377280問卷35518336219619839798196343262332278問卷406218404268249486117239429327430327總和11456291159669678133231764111118951139885標準化60.080.210.18注：標準化即為某項數據與該性別總人數的比。另外，不同性別的觀眾對不同方向的公交車或地鐵的需求幾乎相同，即觀眾只會對 不同

13、的出行方式產生影響，而不會對同一出行方式的不同方向產生影響，故在下面的討 論中，不考慮公交或地鐵的行駛方向，統(tǒng)一歸為公交或地鐵兩類。總體來說，男性中大多數人乘坐公交和地鐵，女性中乘坐私車的人較少。表1.1-b相關性檢驗問卷一問卷二冋卷三問卷一10.98280.9707問卷二0.982810.9857問卷三0.97070.98571(2)年齡對出行方式的影響對所給數據中不同出行方式下不同年齡觀眾的人數進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如表1.2-a所示。公交岀租私車地鐵年齡段123412341234123問卷1526492321776040015367411846419129796162-一一問卷1425792

14、331426235012162361745628137718243問卷1527352551547443415473362107634153921290總 和44619637203731961184428302113568196814192435695標準化0.380.320.350.310.270.090.090.10.070.350.40.34表1.2-a各出行方式中各年齡段人數統(tǒng)計結果注：標準化即為某項數據與該年齡段總人數的比表1.2-b相關性檢驗問卷一問卷二冋卷三問卷一10.99110.9918問卷二0.991110.9986問卷三0.99180.99861數據的

15、相關性檢驗：結果如表1.2-b所示，可見三份問卷數據的兩兩相關系數均接近1,說明每份問卷調查的數據都顯示了相同的規(guī)律。由總和數據可以得出規(guī)律：從各出行方式下各個年齡段觀眾的數量方面考慮，各出行方式下2030歲的觀眾最多，3050歲的觀眾次多。由標準化后的數據可以得出規(guī)律：在不考慮各年齡段觀眾數量差異時，對任一種出行方式而言，各年齡段觀眾的需求傾向相差都不大。 只是對出租方面，50歲以上的觀眾 的需求傾向稍高；對地鐵方面，2030歲觀眾的需求傾向略高。總體來說，各年齡段的人中大多數乘坐公交和地鐵。(3)性別對餐飲方式的影響對所給數據中不同餐飲方式下男、女觀眾的人數進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如表1.3-a

16、所示。表1.3-a各餐飲方式中男、女人數統(tǒng)計結果中餐西餐商場餐飲性別男女男女男女問卷一412371982855432448問卷二379345856816453351問卷三4793961061997495472總和127011122899266813801271標準化30.530.250.25注：標準化即為某項數據與該性別總人數的比表1.3-b相關性檢驗問卷一問卷二冋卷三問卷一10.98310.9946問卷二0.983110.9927問卷三0.99460.99271數據的相關性檢驗：結果如表1.3-b所示，可見三份問卷數據的兩兩相關系數均接 近1,說明每份問卷調查的數據都顯

17、示了相同的規(guī)律。由總和數據可以得出規(guī)律：從各種餐飲方式下男女數量方面考慮，各種餐飲方式中 男性觀眾稍微居多。由標準化后的數據可以得出規(guī)律：不考慮觀眾數量差異時，各種餐飲方式下男、女 觀眾的傾向程度基本相等，相差不大?？傮w來說，男性或女性中大部分人都選擇吃西餐。（4）年齡對餐飲方式的影響對所給數據中不同餐飲方式下不同年齡觀眾的人數進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如表1.4-a所示。表1.4-a各餐飲方式中各年齡段人數統(tǒng)計結果中餐西餐商場餐飲年齡段123412341234問卷一393232691521811258294104162448148122問卷二40297246141177112127896160403

18、129112問卷三443722921671941430322112177498161131總和12399280746055238098943124991349438365標準化80.400.470.620.420.270.42注：標準化即為某項數據與該年齡段總人數的比表1.4-b相關性檢驗問卷一問卷二冋卷三問卷一10.99980.9999問卷二0.999810.9996問卷三0.99990.99961數據的相關性檢驗：結果如表1.4-b所示，可見三份問卷數據的相關系數均接近1,說明每份問卷調查的數據都代表了一定的規(guī)律。由總和數據可以得出規(guī)律：從各種

19、餐飲方式下男女數量方面考慮，選擇中餐的觀眾中2030歲、3050歲這兩個年齡段的人最多，而西餐和商場餐飲兩種方式中2030歲的觀眾顯著多于其他年齡段的人。由標準化后的數據可以得出規(guī)律：不考慮觀眾數量差異時，中餐方式下3050,50歲以上的觀眾需求傾向較大；西餐方式下2030歲的觀眾需求傾向較大；商場餐飲方式下20歲以下的觀眾需求傾向較大?？傮w來說：20歲以下的人，大多數選擇西餐和商場餐飲；2030歲的人，大多數選擇西餐；3050歲的人，大多數選擇中餐和西餐；50歲以上的人，各種方式基本均等，選擇中餐的人數稍多些。（5）性別對消費額（非餐飲）的影響所給數據中將消費額 （非餐飲）劃分為6檔：010

20、0、100200、200300、300400、400500、500以上，對前5檔我們分別以其中值50、150、250、350、450作為 每一檔的平均消費額，對第6檔，由于處于該消費檔的觀眾數量少，且隨著消費額的增 加，數量減少較快，故我們取值600作為其平均消費額。統(tǒng)計三份問卷，對男、女觀眾的平均消費額進行計算，結果如表1.5-a所示。表1.5-a男、女觀眾的總消費額性別男女指標消費額人數消費額人數問卷一33340018263743001674問卷二29516016883396001512問卷三36995020354198001865總和998510654911337005051表1.5-b

21、相關性檢驗問卷一問卷二冋卷三問卷一10.99991問卷二0.999911問卷三111數據的相關系數檢驗：結果如表1.5-b所示，可見三份問卷數據的兩兩相關系數均接近1，說明每份問卷調查的數據都代表了一定的規(guī)律。由總和數據得出規(guī)律：全部觀眾中，男性人數較多，但女性的總平均消費額高于男 性的。（6）年齡對餐飲方式的影響我們以同樣的方式取平均消費額，統(tǒng)計三份問卷，對各年齡段觀眾的平均消費額進行計算，結果如表1.6-a所示。數據的相關系數檢驗：結果如表1.6-b所示，可見三份問卷數據的兩兩相關系數均接近1，說明每份問卷調查的數據都代表了一定的規(guī)律。由總和數據得出規(guī)律：全部觀眾中，2030歲的人數最多，

22、平均消費額也最大表1.6-a男、女觀眾的總消費額年齡段1234消費額人數消費額人數消費額人數消費額人數問卷一57300382466450202914255071141400378問卷二56250377418550182113095065337650349問卷三62150415527800230015540077544400410總和17570011741412800615042890021391234501137表1.6-b相關性檢驗問卷一問卷二冋卷三問卷一10.99990.9999問卷二0.999910.9997問卷三0.99990.999712通過聚類分析，確立出行、用餐方式不同的觀眾在購

23、物方面所反映的規(guī)律由于不同的人的購物行為由其購物欲望決定，因此，可以將出行和用餐方式不同的人，在購物方面反映的規(guī)律，轉化為他們在購物欲望方面反映的規(guī)律。根據三份問卷調查的數據，先將觀眾按照性別、年齡、出行方式、用餐方式進行分 類，具體分類方法如下：1）按照性別，將觀眾分為男和女兩類；2）將1）中分好的兩類，分別按年齡（4個年齡段）進行分類，共得到8類；3）將2）中分得的8類，分別按出行方式（6種出行方式）進行分類，得到48類;4）將2）中分得的8類，分別按用餐方式（3種用餐方式）進行分類，得到24類。 然后，對3）中分得的48類和4）中分得的24類中的每一個類進行統(tǒng)計分析如下：首先，分析各類的

24、非餐飲消費情況，統(tǒng)計各類人中分居6個消費檔的人數占該類觀眾總數的百分比，并定義觀眾的購物欲望指數，規(guī)定購物欲望指數只有6個取值，分別對應于6檔非餐飲消費額，如表1.7。表1.7購物欲望與非餐飲消費額間的關系等級123456非餐飲消費額（元）0100100200200300300400400500500以上購物欲望指數1357912所以，可將每類觀眾對應的6個百分比組成一個向量，作為衡量某類觀眾購物欲望的指標。其次，針對3）中分得的48類和4）中分得的24類分別進行聚類分析，以48類的 聚類分析為例，說明聚類分析的思路如下：1）聚類分析方法的選定： 將48類觀眾看作48個不同的組， 可以采用譜系

25、聚類 法進行聚類分析 （見文獻1P210） ；2）相似性度量標準一一測度：若通過圖像來反映，通常相同的類之間，存在圖 像形狀的相似和距離的相近，在此問題中，我們采用歸一化（各分量之和為1）的向量作為聚類指標，所以，如果圖像形狀相似，則必然距離相近，因此，只需考慮距離是否相近， 就可以判斷是否為同一類。我們選擇最簡單的歐氏距離作為測度（見文獻2P289）；3）聚類的過程：求得48類觀眾任兩類之間歐氏距離，從小到大排序，選距離 最小的兩類聚在一起，最終將48類聚為1類，此過程類似于一顆樹的逆向 形成過程（先有葉枝，后有主干）；4）分析聚類過程，得到合適分類：將歐氏距離較小的各類觀眾聚為一類，而歐氏

26、距離較大的各類觀眾分到不同的類，最終得到聚類結果。我們將3）中分得的48類觀眾聚為5類，而4）中分得的24類觀眾聚為3類，具 體分類情況分別見表1.8和表1.9。表1.8出行人員聚類分析表聚類后的類別1M 4:私車，地鐵西，出租，公交南北，地鐵東；2F:1:公交東西，出租，私車，地鐵西，公交南北，地鐵東F：4:公交東西3M 1:私車，地鐵西，公交東西，地鐵東，出租M 4:公交東西F:4:地鐵東，出租，地鐵西，私車、，公交南北4F:2:公交南北，地鐵東，私車，地鐵西，公交東西，出租5M 2:公交南北，私車，地鐵西，地鐵東，公交東西，出租M 3:公交東西，公交南北，私車，地鐵西，出租，地鐵東F：3

27、:私車，地鐵西，公交東西，地鐵東，出租，公交南北M 1:公交南北注：“M”：表示男性，“F”：表示女性，“i（i=1,2,3,4）”：表示第i年齡段;表1.9不同餐飲習慣的人員聚類分析表1F:2:中餐，商場（餐飲）F:2:西餐2F:3:中餐、商場（餐飲）M 3:中餐M 2:商場（餐飲），中餐M 2:西餐M 3:西餐F:3:西餐M 3:商場（餐飲）3M 4:中餐，商場（餐飲）F:4:中餐，商場（餐飲）；F:1:中餐M 1:商場（餐飲）：F:1:商場（餐飲）M 1:中餐，西餐M 4:商場（餐飲）F:4:西餐F:1:西餐注：“M:”表示男性，“F:”表示女性，“i（i=1,2,3,4）:”表示第i年

28、齡段；“M：i:中餐”：表示男性，第i年齡段，吃中餐的觀眾。通過聚類分析表，我們得到了購物欲望相似的觀眾的類別，以及不同性別、不同年 齡的觀眾，其購物欲望與出行方式和用餐習慣的規(guī)律。另外，若假設奧與會期間各類觀 眾的構成比例與三次問卷調查結果相同，則根據聚類分析過程中對不同種類的觀眾購物欲望指數的統(tǒng)計，可得到北京奧運會一天的消費需求約為4039.3萬元。（二）問題2我們首先規(guī)定，某區(qū)域的人流量即是指單位時間內經過該區(qū)于的總人次數。另外， 每位觀眾在奧運會期間一天要出行兩次，一次為進出場館，即乘坐不同的交通工具前往 和離開比賽場館所在的區(qū)域，一次為餐飲，即中途離開所在比賽場館，在周圍的餐廳或 商

29、場用餐后又返回所在比賽場館。另外，出行路徑最短包含兩方面的意思：其一，觀眾從某比賽主場館出發(fā)前往其它場所時，均從比賽場館離該場所最近的大門進出；其二，觀眾從某一看臺出口進入比賽 場館周邊的商區(qū)后，按最短的路線，前往需要出入的大門。由于規(guī)定了觀眾在出行時不能穿越其它比賽主場館及其周邊區(qū)域,且在問題一中已得出所有觀眾均要進行非餐飲類消費，故任一商區(qū)的購物人流量大小， 僅取決于與其相 鄰的比賽主場館的觀眾容量和觀眾的人流方向。設某比賽主場館容量為n(n為偶數)萬人，每個看臺容量均為1萬人且其出口對準一個商區(qū)。在整個比賽場館周邊區(qū)域內，對稱 分布兩道南北向的對外進出的大門。設n個商區(qū)從左上角起按順時針

30、編號，北向的進出大門位于 第k個商區(qū)，南向的進出大門位于第k個商區(qū)(如圖2.1所示)。并設一天之內所有需要從北 向大門進出的人數為p n萬，所有需要從南向大門進出的人數為q n萬，則按照最短路徑原則，在一天之內第k個商區(qū)的人流量為：2 (n p q)第k個商區(qū)的人流量為：圖2.1人流量模型2 (n q p)在計算其余商區(qū)人流量時，由于從進出大門所在商區(qū)的比賽場館出口，分別經由東西兩邊的商區(qū)到對面大門的距離相等，故令從東西兩邊通過的人數均為需要通過人數的一 半，那么對于第i(i=k，k )個商區(qū)，若1 i k，則其一天之內的人流量為：2 (n i -k) p (k-i) q 0.5 p 0.5

31、q即2 (n i -k 0.5) p (k-i 0.5) q若k : i：k，則其一天之內的人流量為：2 (k -i) p (i -k) q 0.5 p 0.5 q即2 (k -i 0.5) p (i -k 0.5) q若k i乞n，則其一天之內的人流量為：2 (i -k ) p (n k-i) q 0.5 p 0.5 q即2 (i -k 0.5) p (n -i 1.5) q故各商區(qū)的人流量為：2 (n +i k + 0.5) p + (k i +0.5) q2 (n p+q)f(i)=2 (k：i+0.5) p+(i-k+0.5) q2 (n q + p)2 (i -k 0.5) p (n

32、i 1.5) q于是，我們得到了在通用模型中各商區(qū)人流量的表達式。將區(qū)域的具體數據帶入上面的式子，即可得到A、B、C三個比賽場館區(qū)域內各商區(qū)的預期銷售額。對于A區(qū)的國家體育場（鳥巢），一天之內需要進出北向大門的人數，即為一天之內A區(qū)中需要前往公交東、公交西、私車、出租和中餐的總人數。利用問題一中對某體育館舉辦運動會時，人流量規(guī)律的統(tǒng)計結果，運動會期間前往公交（東西）、私車、出租和中餐的人數分別占總人數的比例為0.172、0.09、0.19、0.225，即可得到p =0.1720.090.190.225 二 0.677同理可以得到q =0.380.250.5250.167 =1.322又由于k

33、=1、k =6、n =10將各項數值帶入通用表達式，即可得到A區(qū)中各商區(qū)的人流量（見表2.1）。表2.1 A區(qū)中各商區(qū)的人流量（萬人次）A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10總和16.18410.05911.34912.63913.92927.79413.92912.63911.34910.059139.93同理可以得到B區(qū)和C區(qū)中各商區(qū)的人流量（見表2.2、2.3）表2.2 B區(qū)中各商區(qū)的人流量（萬人次）B1B2B3B4B5B6總和8.6417.35110.7687.3518.64117.21859.97表2.3 C區(qū)中各商區(qū)的人流量（萬人次）C1C2C3C4總和5.9976.715.9

34、9713.2831.984故各商區(qū)的人流量分布如表2.4所示。表2.4各商區(qū)的人流量分布(百分比%)商區(qū)人流量分布商區(qū)人流量分布商區(qū)人流量分布1 ki =kk :：: i :：: ki =kk：i乞nA、B、C三個比賽場館A17.0B13.7C12.6A24.3B23.2C22.9A34.9B34.6C32.6A45.5B43.2C45.7A56.0B53.7A612.0B67.4A76.0A85.5A94.9A104.3總和60.425.813.8分析表中數據可以得出：A區(qū)國家體育場人流量最多，占總人流量的60%以上，其次為B區(qū)國家體育館；各比賽主場館區(qū)域內，靠近南邊的商區(qū)其人流量相對較大。

35、(三)問題3我們首先對設置的這種MS在地點、大小類型和總量方面需要滿足的三個基本要 求給出如下解釋：(1)滿足奧運會期間的購物需求：若僅考慮所有MS的銷售額上限之和滿足奧運期 間的總購物需求，則由于各商區(qū)人流量的不同，會出現局部不滿足需求的情況，故認為 各商區(qū)內所有MS的銷售額上限之和至少要滿足該商區(qū)內觀眾可能的購物需求，即該商 區(qū)可能的購物總額。(2)分布基本均衡：即是指對于某一比賽主場館周邊的商區(qū)，各商區(qū)的銷售額上限要基本相等，即各商區(qū)的銷售額上限的均方差要??；另外，在每個商區(qū)內，兩種大小、不同規(guī)模的MS的最大銷售額分別各占該商區(qū)銷售額上限的一半。(3)商業(yè)上盈利：由于觀眾的人數為定值20

36、萬，在問題一統(tǒng)計的基礎上進行分析可知，總消費額的期望也是一個定值。對MS來說，總銷售額應等于觀眾的總消費額，為定值，故要增加盈利，即是使實際的總銷售額上限盡量接近預期的總銷售額。另一方面，由于比賽場館周圍區(qū)域的人流量遠大于城市其它地方的平均水平，其對于交通通暢的要求也很高。因此，在滿足以上三個基本條件的前提下，為避免對交通 造成較大的影響應盡可能的減少兩類MS的個數和它們所占的面積。定義大小因子，則大型MS在占地面積、營業(yè)成本以及銷售額上限等方面均為小型MS的倍。那么，假設某一比賽主場館周圍均勻分布著N個商區(qū)，且在第i（i =12、N）個商區(qū)內設置x個小型MSyi個大型MS并設每個小型MS的銷

37、售額上限為a、營業(yè)成本為C，第i個 商區(qū)的預期銷售額為$，均方差上限定為j（j=A、B C），再注意到基本條件三中 縮小銷售差額與減少MS占用的資源是一致的，則問題三轉化為：max S - W yj cs.ta （Xi* yj _ s（i =12、N）_N匚（y -si）2其中N、a（x y）至此，問題三的關鍵就轉化為確定每一個商區(qū)的預期銷售額s。而對于任一比賽主場館，其周圍每一個商區(qū)的預期銷售額取決于商區(qū)內的人流量及購物欲望。每個商區(qū) 內的人流及其分布我們已經在問題二中求得，而對于觀眾的購物欲望， 我們已經在問題一中定義了購物欲望指數來衡量，并通過聚類分析得到了不同種類觀眾的人均日消費額（非

38、餐飲）。因此，我們只需將這兩方面的數據綜合起來，即可求得任一商區(qū)的預期銷 售額。對于任一比賽主場館周邊的商區(qū)，就某一 種觀眾而言，人均日消費額為一定值， 且一天之 中要經過多個商區(qū)，故假設觀眾會將自己的日消 費額均分到所要經過的若干個商區(qū)上。我們利用 問題二中求各商區(qū)人流量的方法，來求解各商區(qū) 的預期銷售額。設某比賽主場館容量為n（n為偶數）萬人，每個看臺容量均為i萬人且其出口對 準一個商圖2.2商區(qū)預期銷售額模型區(qū)。 在整個比賽場館區(qū)域內，對稱分布兩道南北向的對外進出的大門。設n個商區(qū)從左上角起按順時針編號，北向的進出大門位于第個商區(qū)，南向的進出大門位于第k個商區(qū)（如圖22所示）。并設一天之

39、內所有需要從 北向大門進出的人數為p n萬，且其人均日消費額為CP元；所有需要從南向大門進出的人數為q n萬，且其人均日消費額為q元，則按照最短路徑原則，在一天之內第k個商區(qū)的預期銷售額為：Pcp(2 今丁1) q cq -2-.y i n/2 十 1n/2 +1第k個商區(qū)的預期銷售額為:對于其余商區(qū)的預期銷售額，當1 : 1舟k時，預期銷售額為:i -k n-111kk-L11pcp( jF代)qcq(Lnrrrr7市)當k d :k時，預期銷售額為：k d k丄d11k匕I上二11P Cp(-)q Cq(-)pi 1心I -k j n 2q心k -i j n 2當ki乞n時，預期銷售額為：

40、kk Li11k L I上11P cp(二 二)q cq(二二)i士十jik + j n+2i土*yk i + j n + 2于是，我們得到了在通用模型中各商區(qū)的預期銷售額。將A、B C三個比賽場館區(qū)域的具體數據帶入上面的式子，即可得到A、B、C三個比賽場館區(qū)域內各商區(qū)的人流量。對于A區(qū)的國家體育場（鳥巢），我們已經在問題二中得到：p =0.677 q =1.322k =1、k =6、n =10下面，我們結合問題一的聚類分析中所得到的數據，求解cp和q的值。對于任一比賽主場館周邊的商區(qū)，就某一種觀眾而言，人均日消費額為一定值，且要出行兩次，一次為進出場館，即乘坐不同的交通工具前往和離開比賽場館

41、，一次為 餐飲，故假設所有觀眾將自己的日消費額均分到這兩次出行中。我們首先考慮A區(qū)中部分觀眾為吃中餐而出行一次，所產生的人均消費額（見表3.1）。表3.1吃中餐所產生的人均消費額q Cqn/21(27y I1n/2 1-1) P Cp1n/2 1性別年齡段人數的比例人均消費額（元）男10.007641127.777820.048867197.104230.038491182.843140.02481189.1635女10.003962130.952420.044717259.810130.037641198.872240.018585118.7817總人均消費額0.225185.5164同理可

42、得由于其它原因出行一次所產生的人均消費額（見表3.2）表3.2其它出行原因產生的人均消費額出行原因占總人數比例人均消費額（元）西餐0.525209.2850商場（餐飲）0.25201.3750公交（南北）0.167216.8546公交（東西）0.172202.4344地鐵0.38193.3004出租0.19205.2488私車0.09203.0793由于進出A區(qū)北向大門的觀眾主要由需要前往公交（東西）、私車和出租的觀眾組成，故我們對這幾類觀眾的人均消費額和所占比例進行加權平均，即可得到分別帶入通用表達式得到Cp=197.6873亠2 =98.8436Cq=204.1507 2 =102.075

43、4A區(qū)中各商區(qū)的預期銷售額（見表3.3）。表3.3 A區(qū)中各商區(qū)的預期銷售額（萬元）A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10總和272.3129.7130152.6203.3514.9203.3152.6130129.72018.4同理，可以得到B區(qū)和C區(qū)中各商區(qū)的預期銷售額（見表3.4、3.5）表3.4 B區(qū)中各商區(qū)的預期銷售額（萬元）B1B2B3B4B5B6總和160126228.9160126410.31211.2表3.5 C區(qū)中各商區(qū)的預期銷售額（萬元）C1C2C3C4總和134.6159.4134.6378.9807.5從上面的表中可得到A、B、C三區(qū)的總預期銷售額為4037.1萬

44、元，與問題一中得 到的4039.3萬元僅相差2.2萬元，即誤差為0.055%,說明求得的各商區(qū)預期銷售額的 值是合理的。另一方面，根據網上查得的關于雅典奧運會紀念品銷售的相關資料（見文獻4）,我們估算出一個面積為15平方米的小型MS其日銷售額上限約為15萬元。若假定大型MS的營業(yè)面積為小型MS的兩倍，則大型MS的日銷售額上限約為30萬元。注意到兩種 不同大小的MS在各商區(qū)內銷售量上限的均衡性，得到各商區(qū)兩種MS的數量如表3.6。表3.6各商區(qū)MS數量的設置（個）商區(qū)大型MS小型MS商區(qū)大型MS小型MS商區(qū)大型MS小型MSA159B135C133A233B225C235A333B348C334A

45、435B435C4712A546B525A6613B6714A746A835A933A1033總和375621421624方法來計算各個商區(qū)的人流分布，來對我們在問題二中求得的結果作出驗證。求A區(qū)的（四）問題41.模型的科學性我們分別對解決三個問題的過程中，所采用方法的科學性進行分析。（1）在問題一中，我們首先對統(tǒng)計的數據進行了標準化，消除不同種類人群之間 人數的差異，真實反映了不同種類的觀眾在出行、用餐和購物等方面的不同偏好，并且在統(tǒng)計過程中，通過計算三次問卷調查結果間的相關系數矩陣，說明統(tǒng)計結果的規(guī)律性和合理性。另外，由于購物對MS分布有重要影響，故我們以購物欲望指數為分類標準， 分餐飲和

46、出行兩種情況對所有的62種觀眾運用聚類分析，將其科學的分為8類，綜合、 全面的反映了各種因素對購物的影響。（2）在問題二中，我們首先給出了計算各商區(qū)人流量的一般模型，并據此求解出A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)三種“特殊”情況下各商區(qū)的人流量，這種從一般到特殊的思想顯然是科學的。（3）在問題三中，我們同樣運用了從一般到特殊的思想，對各商區(qū)預期銷售額進行求解。2.結果的實際（合理）性我們同樣分別對所得到的三個問題結果，進行合理性分析。（1）問題一中，統(tǒng)計所得到的結果及規(guī)律是否合理，主要取決于三次問卷調查結果間的相關性，而根據計算，各組數據間的相關系數都十分接近于1，即說明所得到的規(guī)律是合理的、符合實際的。（2）

47、問題二中，因為根據常識，無論是否是同一個人，只要經過一次商區(qū)就意味 著一次商機，故采用“人次”作為人流量的單位和統(tǒng)計對象是合理的。最后的結果也符 合比賽場館大門口人流量較大的客觀規(guī)律。（3）問題三中，我們根據實際情況合理假設了觀眾會在所經過的商區(qū)及兩次出行間均勻分配其消費額，由此得到的結果是隨不同方向上觀眾的人流量和人均消費額的改 變而改變的，是具有顯示意義的。七、模型檢驗和結果分析由于不同種類的人進出體育場館的過程是一個隨機過程，所以，可以用隨機模擬的人流分布的模擬算法如下:(1)令i =0，用于限制循環(huán)次數；(2)生一個隨機數rand,令k=1*rand 1，k表示從體育場館出來之后直接進

48、入第k個商區(qū)；(3)產生一個隨機數rand,判斷rand是否小于0.5476，如果小于0.5476，則轉(4)，否則轉(5);(4)此人要從下面的路走出，根據k的值，判斷某個人經過哪些商區(qū)，如果此人經過某一個商區(qū)，則此商區(qū)的人流量加1,否則，人流量不改變；(5)此人要從上面的路走出，根據k的值，判斷某個人經過哪些商區(qū)，如果此人經過某一個商區(qū)，則此商區(qū)的人流量加1,否則，人流量不改變；(6)如果i小于等于100000成立，則轉，否則，結束程序。對于B和C區(qū)同樣采用類似的模擬算法，進行求解(程序見附件)。最終得到模擬結果為：經過AA。個商區(qū)的人流量分別為：243316 100687 113933

49、126683 139407277616138565 126001 113509 100657總人流量為：1480374經過B1B6個商區(qū)的人流量分別為：86994 73466 107500 73426 86150 19876總人流量為：626304經過C1C4個商區(qū)的人流量分別為：600336734460051123037總人流量為：310465模擬結果與模型求解的結果基本相符，表明了我們模型的建立的正確性。八、模型的評價與改進(一)模型的評價1.優(yōu)點：(1)本文首先分析了性別、年齡的不同對觀眾的出行、用餐和購物的影響，然后，按照購物欲望將觀眾分為多個小類，又對這些小類進行聚類分析，將購物欲望

50、 相同或接近的歸并，得到最終的幾大類。找出了出行和用餐的不同對購物欲望 的影響。用統(tǒng)計分析的方法，對數據進行了充分的分析的基礎上，結合實際情 況，找出了難以發(fā)現但卻普遍適用的規(guī)律。(2)我們從實際生活經驗出發(fā)，對人流的流動方向和流動路線作了合理的假設，使 得本來復雜的問題，得到了合理的簡化，并建立了計算商區(qū)人流量分布和預期 銷售額的一般模型，從而較容易地求出了各商區(qū)的人流量分布及其預期銷售額。(3)在問題3中，我們以MS的總數為優(yōu)化目標，以MS在地點、大小和總量方面的 三個基本要求為約束，建立了多元非線性規(guī)劃模型，并給出了一組可行解。2.缺點：(1)本文中僅較為簡單的認為，每位觀眾會將自己的日

51、消費額均分到他所經過的若 干個商區(qū)，但實際生活中，在各個商區(qū)的商品種類沒有差別的情況下，觀眾更 傾向于在自己所經過的第一個商區(qū)(通常為比賽場館大門處的商區(qū))購買商品， 從而導致結果上的一定偏差。(2) 奧運會期間，觀眾在尋求最短路線出行時，雖然不能穿越其它比賽主場館，但 可能可以穿越它們周邊的商區(qū)，從而影響其它場館周圍商區(qū)的人流兩分布和預 期銷售額，但本文沒有考慮這種情況。(3) 由于所提供的數據僅僅是根據預演的運動會的問卷調查，調查的觀眾與實際的 奧運會觀眾的組成可能存在差別，這導致模型的結果與實際可能有一定偏差。(二)模型的改進(1)調查取得更詳盡的觀眾購物數據，用某一指標來衡量觀眾的購物

52、可能性與商區(qū) 地理位置間的關系。如觀眾的購物可能性與所經過的商區(qū)個數呈指數或正態(tài)關 系等。以此來代替觀眾日消費額均分于所經過的各商區(qū)的假設。(2)取得具體的路線距離及場館大小的數據，考慮為尋求最短出行路線而穿越其它 比賽場館周邊的商區(qū)，對其它場館周圍商區(qū)的人流兩分布和預期銷售額的影響。(3)如果可以對各種各樣的觀眾組成的群體作調查，得到足夠多的數據，可以總結 出對于各種各樣的觀眾群體都實用的模型，然后，如果可以預知奧運會的觀眾 組成及其消費比例，可將此關系代入模型求解，可得到較精確的結果。九、參考文獻1范金城、梅長林，數據分析，北京：科學出版社，2002年。2洪楠，SPSS for Windo

53、ws統(tǒng)計分析教程，北京：電子工業(yè)出版社，2000年。3新華社，奧運會紀念品暢銷雅典，http:/ 115029.htm ,2004年9月18日。十、附件清單附件一：隨機模擬的方法，求得A1到A10各商區(qū)的人流量的程序function simulateA %此程序分別針對出行和就餐的兩次出入進行隨機模擬， 最終求得各個商區(qū)的人流量%將結果保存在向量A中，最后顯示在終端A=zeros(1,10);%記錄各商區(qū)的人流量%隨機過程開始for r=1:100000k=ceil(10*rand);%此人出體育館后直接進哪個商區(qū)%按照出行人采用各種交通方式的比例，確定此人經過得商區(qū)數if rand=0.5A

54、(1:6)=A(1:6)+1; elseA(6:10)=A(6:10)+1;A(1)=A(1)+1; end%if if rand0.5A(1:6)=A(1:6)+1; elseA(6:10)=A(6:10)+1;A(1)=A(1)+1; end%ifelseif k=6for i=k:6 %A(i)=A(i)+2;附件二：隨機模擬的方法，求得 附件三：隨機模擬的方法，求得 附件附件一：隨機模擬的方法，求得%用隨機模擬的方法，求得B1到B6各商區(qū)的人流量的程序C1到C4各商區(qū)的人流量的程序A1到A10各商區(qū)的人流量的程序A1到A10各商區(qū)的人流量的程序end%for往下走直接進入第一個商區(qū)進入

55、1到6號商區(qū)2兇ffi申9vffiBw七pu =+二+(0|/9)(09) SO5匕+(9二)(9二)govpue七%9艾、1_&PL七pu04%pu 7+(一)(一)%9二-&,|049 殳七七pu2兇ffi申OLm9V兇ffi申9mLV04%puZ+(L)VU(L)7+(一)(一)%OL&.II049仝%PL04%pu 7+(一)(一)L二-&HO4%Vao39艾%PL=+二+(0|/9)(09)end%ifend%ifend%if%按照不同飲食習慣的用餐者的比例，確定某人經過得商區(qū)數，此過程與上面類似ifrand=0.5A(1:6)=A(1:6)+1;el

56、seA(6:10)=A(6:10)+1;A(1)=A(1)+1;end%ifif rand0.5A(1:6)=A(1:6)+1;elseA(6:10)=A(6:10)+1;A(1)=A(1)+1;end%ifelseif k6for i=k:-1:6A(i)=A(i)+2;end%forend%ifend%ifelseif k=6if rand=0.5A(1:6)=A(1:6)+1;elseA(6:10)=A(6:10)+1;A(1)=A(1)+1;end%ifelseif k6for i=k:10A(i)=A(i)+2;A(1)=A(1)+2;end%forend%ifend%ifend%if end%for A %sum(A) % %某一次的運行結果是：A=243316 100687 11393