2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程_教案(人教A版選修2-1)

1、231雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程三維目標(biāo)1. 知識(shí)與技能理解雙曲線的概念， 掌握雙曲線的定義， 會(huì)用雙曲線的定義解決問題；了解雙曲線標(biāo)準(zhǔn) 方程的推導(dǎo)過程及化簡無理方程的常用方法.2. 過程與方法通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn) 用，提高學(xué)生的觀察與探究能力.3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過教師指導(dǎo)下學(xué)生的交流探索活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn) 識(shí)問題.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).所以由于雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類似，學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗(yàn), 本節(jié)課用“啟發(fā)探究”式的教學(xué)方式，重點(diǎn)突

2、出以下兩點(diǎn)：以類比思維作為教學(xué)的主線;以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，并結(jié)合多媒體輔助教學(xué)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)重點(diǎn)、難點(diǎn)的突破.敖歩方案設(shè)計(jì)一抵方珞滾程細(xì)鱗州數(shù)黑=教學(xué)建議在教法上，宜采用探究性教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法.讓學(xué)生根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的要求和題目中的已知條件,自覺主動(dòng)地創(chuàng)造性地去分析問題、論問題、解決問題.以啟發(fā)、引導(dǎo)為主，采用設(shè)疑的形式，逐步讓學(xué)生進(jìn)行探究性的學(xué)習(xí).通過創(chuàng)設(shè)情境,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察猜想一一證明一一應(yīng)用”的過程,又通過實(shí)際操作,現(xiàn)新的知識(shí)，把學(xué)生的潛意識(shí)狀態(tài)的好奇心變?yōu)樽杂X求知的創(chuàng)新意識(shí).剛產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識(shí)得到完善，提高了學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的能力和增強(qiáng)了研究探索的綜合素質(zhì)

3、.教學(xué)流程復(fù)習(xí)橢圓定義，提出問題：與兩定點(diǎn)距離的差為常數(shù)的軌跡是什么?引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合試驗(yàn)分析，得出滿足條件的曲線形狀，給出雙曲線定義并探究特殊情形通過引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得出的方法，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比橢圓與雙曲線定義的異同，完成例1及其互動(dòng)探究，從而掌握雙曲線定義的應(yīng)用問題通過例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程I通過例3及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生理解雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，并學(xué)會(huì)其在實(shí)際問題中的應(yīng)用歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識(shí)并進(jìn)行反饋矯正連敘抨 n譽(yù)口 丁; r：；“貞硏”n花學(xué)1.了解雙曲線的定義及焦距的概念.課標(biāo)解

4、讀2了解雙曲線的幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.（重點(diǎn)）3.能利用雙曲線的定義和待定系數(shù)法去求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（重點(diǎn)）SB Ji 1.雙曲線的定義【問題導(dǎo)思】1.我們知道，與兩個(gè)定點(diǎn)距離的和為非零常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓，那么與兩定點(diǎn)距離的差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么?【提示】雙曲線的一支.2.若定義中的常數(shù)大于或等于 |FiF2|時(shí)，軌跡是什么？【提示】當(dāng)常數(shù)等于|FiF2|時(shí),軌跡為以Fi, F2為端點(diǎn)，在直線FiF2上反向的兩條射線 FiA, F2B（包括端點(diǎn)），如圖所示.1,當(dāng)常數(shù)大于|FiF2|時(shí)，軌跡不存在.把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) Fi, F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|

5、FiF2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.嗎？【問題導(dǎo)思】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你能說說怎樣選擇坐標(biāo)系，建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【提示】以經(jīng)過兩焦點(diǎn)Fi、F2的直線為x軸，線段FiF2的垂直平分線為y軸建坐標(biāo)系.焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程2 2拿二y2=l(a 0, b 0)2 2字二含=1 0, b 0)焦點(diǎn)F1(-c,0), F2(c,0)F1(0, - c) , F2(0 , c)焦距2 2 2|F1F2|= 2c, c = a + b磁氓碓師生互動(dòng)捏”矢.空5雙曲線定義的應(yīng)用2 2P使得/卜例百已知雙曲線X-

6、士 = 1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，若雙曲線上一點(diǎn)916FiPF2= 60 求 FiPF2 的面積.【思路探究】(1)在APFiF?中，由余弦定理能得到|FiF2|、IPFi|、IPF2I三者滿足怎樣的關(guān)系式？結(jié)合雙曲線的定義，能否求出|PFi| |PF2|的值進(jìn)而求出 Fi PF2的面積?22【自主解答】由x -七=1,916得 a = 3, b = 4, c= 5.由定義和余弦定理得|P Fi|-|PF2|=戈,2 2 2|FiF2| =1 PFi| + |PF2| - 2|PFi|PF2|cos60 ,2 2所以 10 = (|P Fi|- IPF2I) + |P Fi| I PF

7、2|,所以 PFi| F2|= 64,1S舉 1 PF2= 2|PFi|PF2|sin /F1PF2=64X 密16I規(guī)律方法I求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法:法一：（1）根據(jù)雙曲線的定義求出|PFi|IPF2|= 2a;利用余弦定理表示出 PFl、IPF2I、IF1F2I之間滿足的關(guān)系式；（3）通過配方，整體的思想求出|PFi| |PF2|的值；利用公式SFiF21 1=產(chǎn)|PFi| IPF2|sin/FiPF2求得面積.法二：利用公式SFiF2= X |FiF2|X比|求得面積.本例中若/ FiPF2= 90其他條件不變，求 FiPF2的面積.【解】由雙曲線方程知a = 3, b= 4,

8、c = 5由雙曲線的定義，|PFi| I PF2|= 2a= 6,|PFif+|PF2I2 2|PFi| IPF2|= 36在 RtiPF?中，由勾股定理 |PFi|2 + |PF2|2= |FiF2|2= (2c)2 = 100將代入得：|PFi| IPF2|= 32,S舉1 PF2= 2|PFi| IPF2|= 16.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程卜例求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)a= 4,且經(jīng)過點(diǎn) A(1,生);經(jīng)過點(diǎn)P 1（ 2,討5）和P2（討7, 4）兩點(diǎn).【思路探究】（1）所求曲線的焦點(diǎn)位置確定嗎?如何求出a2、b2的值?【自主解答】（1）若所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2a b2=

9、1(a 0, b 0),2 2則將a= 4代入，得16 古=1.又點(diǎn)A(1, 響)在雙曲線上,1 160 2花帝=1.由此得b 0, b 0)，則將a = 4代入得詁=1,代入點(diǎn) A(1,),得 b = 9,2 2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為16-即=1.22法一當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為予一診=1(a 0, b 0).Pl、P2在雙曲線上,I前2解罷rj6(不合題意舍去)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)雙曲線的方程為2 2字苗 1(a0, b0)Pi、P2在雙曲線上,4_廠產(chǎn)14! W22 a寺1解得 0）,BC的垂直平分線方程為 X/3y + 7= 0.聯(lián)立兩方程解得 x= 8, y=

10、5*3,所以 P(8,5*3),kpAh tan/PAx=(3，所以/ PAx= 60.所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東30方向.I規(guī)律方法I解答此類題首先應(yīng)建立平面直角坐標(biāo)系，取兩定點(diǎn)所在的直線為 x軸，以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；然后根據(jù)雙曲線的定義求出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由標(biāo)準(zhǔn)方程解有關(guān)問AP, BP運(yùn)到P處（如題本題的解法主要運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想.某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路 圖2 3 1所示),|PA|= 100 m , |PB|= 150 m , / APB = 60 試說明怎樣運(yùn)土才能最省工.圖 2 3 1【解】 設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn)，則有:

11、|MA 1+ |FA|= |MB| + |P B|,于是 |MA|MB|=|P B| |PA|= 150 100 = 50.在APAB中，由余弦定理得,|AB|2 = |FA|2+ |PBf 2|FA| |PB| cos 60=1002+ 1502- 2 X 100X 150 X 寸 17 500.以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則分界線是雙曲線，即x2 y2 一、625 3 750= 1（x25）.故運(yùn)土?xí)r，將此雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿 BP運(yùn)到P處最省工.易誤辨析牙痕年疑豹誤適” 豐=混淆a、b、c的關(guān)系致誤雙曲線8kx2- ky2= 8的一個(gè)焦點(diǎn)坐

12、標(biāo)為(0,3)，求k的值.【錯(cuò)解】將雙曲線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式為1.2 2 丄乞=1 8 k k因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以a2=8, b2 = k.所以c=2 b2=1771=3，即7=9,所以 k=9.【錯(cuò)因分析】上述解法有兩處錯(cuò)誤：一是a2, b2值確定錯(cuò)誤，應(yīng)該是a2=-8 .2 k，b =1k；二是基本量a、b、c的關(guān)系錯(cuò)誤，在雙曲線中基本量a、b、c的關(guān)系應(yīng)該是c2= a2 +b2.【防范措施】在橢圓中，a、b、c的關(guān)系是c2 = a2 b2;而在雙曲線中，a、b、c的關(guān)系是c2= a2+ b2,二者極易混淆，要注意區(qū)分，以防錯(cuò)誤.【正解】將雙曲線的方程化成kx2 8y2= 1.因

13、為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)，所以焦點(diǎn)在y軸上，且c= 3.所以 a2= 8，b2= k.所以一8 k= 9，解得 k= 1.諜堂小結(jié)1.理解雙曲線定義應(yīng)注意以下三點(diǎn)：定義中的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)在同一平面內(nèi)；距離的差要加絕對(duì)值，否則只表示雙曲線的一支； 距離差的絕對(duì)值必須小于焦距，否則不是雙曲 線，而是兩條射線或無軌跡.2利用待定系數(shù)法可以求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解步驟包括“定位”與“定量當(dāng)雙基達(dá)標(biāo)隨堂練芝生互動(dòng)達(dá)”艱標(biāo)”1.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M（1,0）, N（ 1,0）的距離之差的絕對(duì)值為2,則點(diǎn)P的軌跡是A .雙曲線B .雙曲線的一支C.兩條射線D .一條射線【解析】1|PM|IPN|= 2= |M

14、N|,A點(diǎn)P的軌跡是兩條射線.【答案】C2.C.（2013徐州高二檢測(cè)）雙曲線方程為（爭(zhēng),0） B.（當(dāng),0） 淳0）D .(眾,0)X2 2y2= 1，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（【解析】 將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式所以 a2= 1, b2= 2,2=寸a2+ b2 =， 右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（當(dāng),0）.3.滿足條件2 2x yA = 1A. 4122 2仝=1Cx 16 a= 2, 一個(gè)焦點(diǎn)為（4,0）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）2 2C X y ,B IMF i|,.IMF 2| - |MF i|= 2a = 8,又|MFi|= 10,a|MF2|= 18.方知能檢測(cè)澤-卜-眄自我訐怙 n G考鯨演塚捉 升恆

15、I一、選擇題1.2 X（2013東營高二檢測(cè)）方程2J=1表示雙曲線，則 m的取值范圍（）C.2V mv 2B. m 0m0 D. |m|2【解析】已知方程表示雙曲線，（2+ m）（2 m） 0./.-2 v mv 2.【答案】 A2.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到A（ 5,0）的距離與它到B（5,0）距離的差等于6，則P點(diǎn)的軌跡方程是（）2 2A- 1 = 19162 2吩16= g- 3） D-2 2Br 乞=1By 16= 12 2 一 X 匕916=1(x 3)【解析】應(yīng)為以 A（ 5,0）, B（5,0）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.由 c = 5, a = 3，知b2= 16,P點(diǎn)的軌跡方程為2 29 - W

16、= g 3).【答案】D3. （2013泉州高二檢測(cè)）已知定點(diǎn)A、B且|AB|= 4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA| |PB|= 3，則|PA|的最小值是（A. 2B-3C-7【解析】由題意知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以定點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支（如圖）從圖上不難發(fā)現(xiàn),|PA 的最小值是圖中AP 的長度，即7 a+ c=【答案】C2 2 2 24.若橢圓X + V = 1(mn0)和雙曲線-V = 1(a0, b0)有相同的焦點(diǎn) Fi、F2, Pm na b是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PFi|PF2|的值是（）A . m a B.2(m a)C. m2 a2Dm/a【解析】由橢圓定義知|PFi|+ |PF2|= 2

17、航.由雙曲線的定義知|PF i| |PF2|= /a. 2 2得 4|PFi| IPF2|= 4(m a).pFi| IPF2|= m a.【答案】 A5.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi（5, 0）, F2（75, 0）, P是雙曲線上的一點(diǎn)，且PFPF2, |PFi|PF2|= 2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()2 2B.Xry-= 1322d.x4 - y2=12 2X V “A L = 1 a.232C. x2 y-= 14【解析】設(shè) |PFi|= m, |PF2|= n,在 RtTiFz中,m2 + n2= (2c)2= 20, m n = 2,由雙曲線定義，知|m n|2= m2+ n2

18、2mn= 16.,2 “.2 , .2 2 2 . 4a = 16. a = 4, b = c a = 1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2:-y2= 1.【答案】D二、填空題6.雙曲線2m2+ 12-4 = 1的焦距為2 X 2【解析】c2= m2 + 12+ 4 m2= 16,/c= 4,2c= 8.【答案】2 27. （2013鄭州高二檢測(cè)）設(shè)點(diǎn)P是雙曲線9 16= 1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)i, F2分別是其左、右焦點(diǎn)，右 |PFi|= 10，貝y pF 2|=【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，a = 3, b= 4.于是 c=A/a2+ b2= 5.(1)若點(diǎn)P在雙曲線的左支上,則PF2I- |PFi|= 2

19、a =PF2= 6+ |PFi|= 16;若點(diǎn)P在雙曲線的右支上,則 |PFi|- |PF2= 6,.P F2|= |P Fi| 6= 10-6 = 4.綜上，|PF 2|= 16 或 4.【答案】16或42C,給出下列四個(gè)命題:8. (2013泰安高二僉測(cè))方程+ k-7 = 1表示的曲線為曲線C不可能是圓; 若1 kv 4,則曲線C為橢圓; 若曲線C為雙曲線，則k4; 若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，貝y 1 k 0時(shí)，即k= 5時(shí)，曲線C是圓,5當(dāng)1 k0, b0).又兩曲線有相同的焦點(diǎn),a2 + b2= c2= 4+ 2 = 62 2又點(diǎn)P(2,1)在雙曲線拿豐=1上,41-b2=1由、聯(lián)立，得 a2= b2= 3,22故所求雙曲線方程為x3 = 1.10.已知方程kx2+ y2= 4，其中k為實(shí)數(shù)，對(duì)于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型.【解】(1)當(dāng)k= 0時(shí)，y= 2，表示兩條與 x軸平行的直線;當(dāng)k= 1時(shí),方程為X2 + y2 = 4，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為 2的圓;