雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)

1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 （1）福建師大附中蘇詩圣教學(xué)目標(biāo)：理解雙曲線的定義，明確焦點、焦距的意義；能根據(jù)定義，按求 曲線方程的步驟導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程， 并能熟練寫出兩類標(biāo)準(zhǔn) 方程； 培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力和抽象概括能力。 學(xué)會用辯證的觀 點從橢圓的定義到雙曲線定義的“變化”中認(rèn)識其“不變”性， 并從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)曲線的簡潔美和對稱美， 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興 趣。教學(xué)重點：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（ 解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設(shè)問給出 雙曲線的定義；對于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通過比較加深認(rèn)識教學(xué)難點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) （解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生完成，提醒學(xué)生與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 類比

2、）教學(xué)方法：啟發(fā)式數(shù)學(xué)實驗 7 雙曲線的定義7 例與練1、教學(xué)過程：復(fù)習(xí)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 7 新知探索 7雙曲線 7 展示現(xiàn)實生活中的雙曲線7 對定義的思考 7 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)7 課堂小結(jié) 7 作業(yè) 7 研究性學(xué)習(xí)一、復(fù)習(xí)引入：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的有關(guān)知識， 請同學(xué)們回憶一下橢圓的定義。 問題 1：橢圓的定義是什么？（板書）平面內(nèi)與兩定點 Fi、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|FiF2|）的點的 軌跡叫做橢圓 這兩個定點叫做橢圓的焦點， 兩焦點間的距離叫做焦距。二、新知探索 思考：把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么這樣 點是否存在？若存在，軌跡會什么？2、實物拉鏈演示

3、：雙曲線的形成（請同學(xué)參與協(xié)助畫圖） （取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊的長度相等，現(xiàn)將 其中的一邊剪掉一段（長為2a），兩端點分別固定在黑板的兩個定點 F1、F2上，把粉筆放在拉鏈關(guān)上，隨著拉鏈的逐漸拉開或閉合，粉筆就畫出了一條曲線。)思考如何改請同學(xué)們觀察在變化中哪些量在變化，哪些量不變。 進作圖工具？3、對雙曲線有了初步的認(rèn)識，現(xiàn)實生活中的雙曲線的實物圖(古代建筑、現(xiàn)代建筑、冷卻塔、北京市區(qū)交通圖)，這些古今中外與雙曲線有關(guān)的圖片給人一種對稱、簡潔、流暢的美的享受。那么，如何 給雙曲線一個科學(xué)的定義呢？4、(請同學(xué)回答)雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點Fi、F2的距離的差的絕對Fi、

4、F2值是常數(shù)(大于零且小于|FiF2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點 叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距.(1) 定義中“平面內(nèi)”起到什么作用？如果沒有這個條件，點的軌跡將變?yōu)橐粋€立體圖形。(2) 將定義中的“絕對值”去掉，動點的軌跡是什么？雙曲線的一支，雙曲線有兩支，丟掉任意一支都是不完整的。 將定義中的常數(shù)改為零，動點的軌跡是什么？“小于”改為“等于”，動點的軌跡是什么?FiF2的中垂線。(4) 將定義中的“小于”改為“大于”，動點的軌跡是什么?兩條射線。(5) 將定義中的動點的軌跡是什么?|FiF2| ” 去掉,不存在?！靶∮?6) 將定義中的分類討論電腦演示(用幾何畫板制

5、作課件)以上6種情形，在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生再 次理解雙曲線的定義。2、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)請同學(xué)現(xiàn)在我們可以用類似于求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程， 們思考回憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，隨后引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)。(1) 建系設(shè)點取過焦點Fi、F2的直線為x軸，線段FiF2的垂直平分線為y軸(如圖2-24) 建立直角坐標(biāo)系.F曾雷設(shè)M(x, y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c >0),F1那么Fi、F2的坐標(biāo)分別是(-C , 0)、(C , 0).又設(shè)點M與 Fi、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a.(2) 點的集合由定義可知，雙曲線就是集合P=M|MFi|-|MF 2|=

6、2a=M|MF i|-|MF 2|= ± 2a.(3) 代數(shù)方程+ I 亞 I卡一八汽 J(K + c)2 +5? J(if+y2 = ± 2a.(4) 化簡方程將這個方程移項，兩邊平方得：(£ + 護=4+ (;: Y尸 +y<cx+a雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a>0, b> 0,但a不一定大于b; 2=± aJ(x c)2y2化簡整理得：(c 2-a 2)x 2-a 2y2=a2(c 2-a2).由雙曲線定義，2c>2a>0 即c>a>0,所以c2-a2>0. 設(shè) c2-a 2=b2(b > 0)，代入上

7、式得：b2x2-a2y2=a2b2.2 x2 a2yEt 1(a 0,b 0)b這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(從以上推導(dǎo)過程中可知，曲線上的每一點的坐 標(biāo)都滿足方程。若以FiF2所在的直線為y軸，F(xiàn)iF2的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系，只須將2 2方程中的X、y對調(diào)即得務(wù) 1a2 b2(1)2 x2 a2 y b1(a0,b0)表示焦點在0)、F2 (c，0)，這里c2=a2+b2。22y2x21(a0,b0)表示焦點在ab-C)、冃(0,c)，這里2 2 , 2 c =a +b。兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：X軸上的雙曲線，焦點是Fi(-c ,y軸上的雙曲線，焦點是Fi(O,2L 1 (2)

8、 2y2-7x2= -142是（2，例2（書P105例1）:已知雙曲線兩個焦點F1（-5,0） 、F2（5,0），雙曲線上一點P到F1、F2的距離差的絕對值等于 6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：（1） “定位”中心是否在原點，焦點在哪個軸上，以便確定是哪個標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） “定量”雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中有兩個參數(shù)，必須有兩個相互獨立的條件來確定 a和b ；c=5， 2a=6，所以 b2=c2-a2=52-3 2=42.0)是(0，3)因此，所求方程是夢率X2例3：（書P107練習(xí)2）已知方程21表示焦點在x軸上的雙曲線，求m的取值范圍。分析：（2-m）>0 且（m+1）>0得-1<

9、m<22變式一：已知方程一2 m1表示雙曲線,求m的取值范圍。分析：(2-m)(m+1)>0得-1<m<22變式二：已知方程一x2 m1表示焦點在y軸上的雙曲線，求 m的取值范圍和焦點坐標(biāo)。 分析：(m1) (m 2) 2m 1隹占為八、八、/ J（0, J2m 1）變式三：上述方程是否可以表示橢圓和圓？分析：2-m>0 且 m+1>0 得-1<m<2時為橢圓。當(dāng) 2-m=m+1>0時得m=l時，表示圓。四、小結(jié)雙曲線與橢圓的聯(lián)系與區(qū)別 （圖表）。五、 布置作業(yè)P 108 1、2、3六、思考題：將作業(yè)第一題改為 “ ABC 邊的兩個端點是 B（a，0）和C（-a，0），另兩邊所在直線的斜率之積為常數(shù)k”，求頂點A的軌跡。七、研究性問題：平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為定值的點的軌跡是什么？1、可以進行理論研究2、可以利用電腦進行研究3、可以利用文曲星自編 BASIC語言進行研究4、進行合作探究，相互學(xué)習(xí)和交流。c >0 .平面上任意一點設(shè)兩定點分別為 A（ -C, 0 ）、B （ c , 0 ）,P （ X , y ）到兩定點的距離的積為a ,則J（x C）2 y2 J（xV X2 c2 Ja2 4x2c2.點的軌跡為兩個分離的封閉圖形，如圖1所點的軌跡為兩個相切的封閉圖形，在原點相切，如圖2