2020屆江蘇高考數(shù)學(理)總復習講義：二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題

1、 )必過數(shù)材美1. 一元二次不等式( (組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax+ By + C 0直線 Ax+ By+ C= 0 某一側的所 有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax+ By +O0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量 x, y 組成的不等式( (組) )線性約束條件由 x, y 的一次不等式( (或方程)組成的不等式( (組) )目標函數(shù)關于 x, y 的函數(shù)解析式，如 z 2x+ 3y 等線性目標函數(shù)關于 x, y 的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x, y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值

2、或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題小題體驗1. (2018 宿遷期末) )若點 A(1,1), B(2, - 1)位于直線 x + y a= 0 的兩側，貝 U a 的取值范圍為_ .解析：點 A(1,1), B(2, 1)位于直線 x+ y a = 0 的兩側，(1+1a)(21a)v0,即 (2a)(1a)v0,則(a 1)(a 2)v0，解得 1 0.答案：x+ y 1 0答案：6必過易措美1 畫出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為0(a 0) 2.線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可行域內(nèi)使目標函數(shù)取得最值的點不 定

3、只有一個，也可能有無數(shù)多個，也可能沒有.3.在通過求直線的截距 b 的最值間接求出 z 的最值時，要注意：當 b0 時，截距 b 取最大值時，z 也取最大值；截距z取最小值時，z 也取最小值；當 bv0 時，截距 7 取最大值時,bbz 取最小值；截距學取最小值時，z 取最大值.小題糾偏ywx，1.已知實數(shù) x，y 滿足 x+ yw1， 則目標函數(shù) z= 2x y 的最大值為vy- 1，3. (2018 南京高三年級學情調(diào)研) )已知實數(shù) x, y 滿足條件2Wx3,x+yw8,則 z= 3x 2y的最大值為解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示,當 z= 3x 2y 經(jīng)過點 A(

4、4,3)時，z 取得最大值，所以zmax= 3x4 2X3= 6.ax + by+ c4x=2x=4解析：畫出平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)可變?yōu)閥= 2x z,將直線 y= 2x 進行平移可得在點(2, 1)處截距最小，所以此時z 最大,最大值為 5.答案：5/ /t f?二；2實數(shù) x, y 滿足 fy 0，使 z= ax+ y 取得最大值的最優(yōu)解有2 個，則 zi= ax+ yl|x+y|w1,+1 的最小值為_ .解析：畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為 z= ax+ y取得最大值的最優(yōu)解有 2 個，所以一 a = 1, a=- 1,所以當 x= 1, y= 0 或 x=0

5、, y=- 1 時，z= ax+ y=- x+ y 有最小值1，所 以 ax+ y+ 1 的最小值是 0.答案：0考點一 二元一次不等式 組表示平面區(qū)域基礎送分型考點 一一自主練透題組練透x 1 ,1 .已知約束條件 妝+ y 4W0,表示面積為 1 的直角三角形區(qū)域，則實數(shù)k =kxyw0 x 1,解析：先作出不等式組*對應的平面區(qū)域，如圖.x+yw4,要使陰影部分為直角三角形，當 k = 0 時，此時三角形的面積為3X3= 9 工 1，所以不成立.當 k = 1 時，由圖可知，可構成直角三角區(qū)域且面積為1.答案：1x y 0,2.(易錯題) )若滿足條件 x + y 2w0, 的整點(x,

6、 y)恰有 9 個，其中整點是指橫、縱iy a坐標都是整數(shù)的點，則整數(shù) a=_.解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當 a= 0時,只有 4 個整點(1,1), (0,0), (1,0), (2,0);當 a = 1 時,正好增加(1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1)共 5 個 整點.答案：1x0,3.(2018 州五校聯(lián)考) )設不等式組x + 2y 4,所表示的平面區(qū)域為 D ,則區(qū)域 D2x+yw4的面積為解析：如圖，畫出可行域易得A 4, 4 ,B( (0,2) , C(0,4),答案：4謹記通法確定二元一次不等式( (組)表示的平面區(qū)域

7、的方法(1) “直線定界，等式組，則不等式( (組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側的那部分區(qū)域;殊點異側的平面區(qū)域.(2) 當不等式中帶等號時，邊界為實線；不帶等號時，邊界應畫為虛線，特殊點常取原占八、考點二求目標函數(shù)的最值題點多變型考點一一多角探明鎖定考向線性規(guī)劃問題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、 解析幾何等問題交叉滲透.常見的命題角度有：(1)求線性目標函數(shù)的最值；求非線性目標函數(shù)的最值；(3) 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題.題點全練角度一：求線性目標函數(shù)的最值x y 0,1.(2018 蘇北四市一模) )設實數(shù) x,y 滿足 tx+ yw1, 則 3x+ 2y

8、 的最大值為 _LX+2y 1,所以可行域 D特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點并代入不等式組若滿足不否則就對應與特的面積為解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，令z=3 z3x+ 2y,則 y= 2X+,故當目標函數(shù) z= 3x + 2y 經(jīng)過點 A(1, 0)時，z巧x+2yl取得最大值，故 Zmax= 3.答案：3x+2yW1,2. (2017 全國卷I)設 x, y 滿足約束條件2x + y- 1,/yw0,x+ 2y 1,xyw0所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當直線=2x 2 過點 A 時，在 y 軸上的截距最大，此時z 最小,所以 Zmin= 5.答

9、案：5角度二：求非線性目標函數(shù)的最值x+yw2,3設實數(shù) x, y 滿足不等式組y xw2, 則 x2+ y2的取值范圍是 _-y 1,解析：如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域是厶ABC 的內(nèi)部（含邊界）,x2+ y2表示的是此區(qū)域內(nèi)的點（x, y）到原點距離的平方.從圖 中可知最短距離為原點到直線BC 的距離，其值為 1;最遠的距離為AO,其值為 2,故 x2+ y2的取值范圍是1,4.答案：1,4角度三：線性規(guī)劃中的參數(shù)問題2,4.（2018 蘇州質檢）已知 x, y 滿足*x+ yw4,若目標函數(shù) z= 3x + y 的最大值為i2xymw0.2 2(2)距離型：形如 z= (x a) +

10、 (y b).(3)斜率型：形如 z= y.x+ 2y= 1, 2x+ y= 1,解得x=1即 A( 1,1).則 z= 3x 2y 的最小值為10,則 z 的最小值為_解析： 畫出不等式組表示的區(qū)域， 如圖中陰影部分所示， 作 直線 I: 3x+y= 0，平移 I,從而可知經(jīng)過 C 點時 z 取到最大值,3x+ y= 10, 由x + y= 4,解得 r= 3,ly= 1,所以 2x3 1 m= 0, m= 5.由圖知，平移 I 經(jīng)過 B 點時，z 最小，所以當 x= 2, y= 2x2 5= 1 時，z 最小，為= 3x2 1 = 5.答案：5x+ 2y 4 1是_.x+2y4w0,解析：

11、作出不等式組 x y 1w0,表示的平面區(qū)域如圖中x 1陰影部分所示，由 1wax+ yw4 恒成立，結合圖可知， a 0 且在 A(1,0)處取得最小值，在 B(2,1)處取得最大值，所以 a 1，且 2a + 1w4，故 a的取值范圍為 1,2 3.答案：1,2通法在握1. 求目標函數(shù)的最值 3 步驟(1) 作圖一一畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點 的那一條直線；(2) 平移一一將 I 平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點的位置；求值一一解方程組求出對應點坐標( (即最優(yōu)解) )，代入目標函數(shù)，即可求出最值.2. 常見的 3 類目標函數(shù)(1) 截距型：形如 z=

12、ax+ by.求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)z= ax+ by 轉化為直線的斜截式：y= 7x+Z 通過求b b直線的截距z的最值間接求出 z 的最值.b提醒注意轉化的等價性及幾何意義.而片表示區(qū)域內(nèi)一點（x,y）與點D（1,1）連線的斜率,演練沖關2x+ y 2,1 已知點 P（x, y）的坐標滿足 x 3y0,2.（2018 連云港質檢）已知實數(shù) x, y 滿足 x 3y iw0,xw1.若 z= kx y 的最小值為5,則實數(shù) k=_.解析：不等式組對應的平面區(qū)域是以點（1,2）, （1,0）和（一 2, 1）為頂點的三角形及其內(nèi)部，當 z 取得最小值時，直線 y= kx z 在 y 軸上

13、的截距最大，當 kw1 時，目標函數(shù)直線經(jīng) 過點（1,2）時，zmin= k 2= 5, k = 3 適合；當 k 1 時，目標函數(shù)直線經(jīng)過點（一 2, 1） 時，zmin=2k+ 1 = 5, k= 3 適合，故 k= 3.答案：32x+y2w0,3. (2018 無錫質檢 股實數(shù) x, y 滿足 3x y+ 10,iX2y1w0.則y-的最小值是_x 1解析：如圖所示，畫出不等式組所表示的可行域,答案：2考點三線性規(guī)劃的實際應用重點保分型考點一一師生共研典例引領某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩道工序已知生產(chǎn)一把椅子需要木工 4 個工作時，漆工 2 個工作時；生產(chǎn)一張桌子需要木工

14、 8 個工作時，漆工 1 個工作時.生 產(chǎn)一把椅子的利潤為 1 500 元，生產(chǎn)一張桌子的利潤為2 000 元該廠每個月木工最多完成8 000 個工作時，漆工最多完成1 300 個工作時.根據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個月所能獲得的最大利潤為_ 萬元.解析：設該廠每個月生產(chǎn) x 把椅子，y 張桌子，利潤為 z 元，4x+8yw8 000,則得約束條件 * 2x+ yW1 300,z= 1 500 x+ 2 000y.x, y N,作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，畫出直線 3x+ 4y= 0，平移該直x + 2y= 2 000,x = 200,線，可知當該直線經(jīng)過點P 時，z 取得

15、最大值.由|7得/即 P(200,|2x+ y= 1 300 ,|y= 900,900)，所以 zmax= 1 500X200 + 2 000X900 = 2 100 000.故每個月所獲得的最大利潤為210 萬元.答案：210由題悟法1. 解線性規(guī)劃應用題 3 步驟(1) 轉化一一設元，寫出約束條件和目標函數(shù)，從而將實際問題轉化為線性規(guī)劃問題；(2) 求解 解這個純數(shù)學的線性規(guī)劃問題；(3) 作答一一將數(shù)學問題的答案還原為實際問題的答案.2.求解線性規(guī)劃應用題的 3 個注意點(1) 明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號.(2) 注意結合實際問題的實際意義，判斷所設

16、未知數(shù) x, y 的取值范圍，特別注意分析 x,y 是否是整數(shù)、是否是非負數(shù)等.所以當x=1，y=4時，巴有最小值為i2.(3) 正確地寫出目標函數(shù)，一般地，目標函數(shù)是等式的形式.即時應用某旅行社租用 A, B 兩種型號的客車安排 900 名客人旅行，A, B 兩種車輛的載客量分 別為 36人和 60 人，租金分別為 1 600 元/輛和 2 400 元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過 21 輛，且 B 型車不多于 A 型車 7 輛，求租金最少多少元？解：設旅行社租用 A 型客車 x 輛，B 型客車 y 輛，租金為 z,x+yw21,yxw7,則線性約束條件為36x + 60y 900, x,

17、y N.目標函數(shù)為 z= 1 600 x+ 2 400y.畫出可行域如圖中陰影部分所示,可知目標函數(shù)過點 N(5,12)時，有最小值 zmin= 36 800(元) ).故租金最少為 36 800 元.則 BC = 5 ( 3) = 8,點 A 到直線 x = 3 的距離 d= 3 ( 1) = 4,一抓基礎，多練小題做到眼疾手快x y+ 2 0,1. (2018 陰期中) )不等式組*x+ y0,iXW3所表示的平面區(qū)域的面積是 _解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中厶ABC 所示.即A( x = 3,x= 3,由 i得 0,則目標函數(shù) z= x y0,的最小值為_.解析：作出不等式組所表

18、示的平面區(qū)域( (如圖中陰影部分所示) )，作出直線 y= x,則當目標函數(shù) y= x z 過點 C(1,4)時，Zmin= 3.T-2s-y+2=0弋/4”LO 2Ai+y-5-0答案：3x+yw4,3. (2019 泰州中學高三學情調(diào)研) )已知點 P(x, y)滿足彳 yx,則 z=y的最大值為Lx 1,解析：作出滿足約束條件的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.z= 丫表示x過平面區(qū)域的點( (x, y)與(0,0)的直線的斜率，由圖知當直線過點A 時斜率x = i,最大，由 0,4. (2019 四川德陽月考) )設變量 x, y 滿足+ y 30,則目標函數(shù) z= 2x+ 3y 的Qx y

19、 3 0,解析：由約束條件*x+ y 3 0,作出可行域如圖中陰影部分，Exy3w0 x y+ 1 = 0,x= 4,2N由解得則 B(4,5)，將目標函數(shù) z= 2x+ 3y 變形為 y= ；x+；.2x y 3 = 0y= 5,33由圖可知，當直線 y= ；x+；過 B 時，直線在 y 軸上的截距最大，此時z 取最大值，為 2X4+3X5=23.答案：235. （2018 昆山期中）若點（a,1）在直線 y=- 2x + 2 的下方，則實數(shù) a 的取值范圍是解析：因為直線 y= 2x+ 2 下方的點的坐標滿足不等式y(tǒng)v 2x + 2,1又點（a,1）在直線 y= 2x + 2 的下方，所以

20、 1v2a + 2,解得 av-.答案：汽1xy+ 5 0,6. （2018 昆明七校調(diào)研）已知實數(shù) x, y 滿足 儀 0.解析：依題意，在坐標平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域及直線 x+ 3y= 0,如圖，平移直線 y= x,當直線經(jīng)過點（4, 4）時，3在 y 軸上的截距達到最小，此時z= x + 3y 取得最小值 4+ 3x（ 4）=&答案：8二保咼考，全練題型做到咼考達標ywx1,1. （2018 蘇州期末）已知實數(shù) x, y 滿足 x 4,解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示,作出直線 2x y= 0，平移直線 2x y= 0，當直線過點 A 時，z= 2x y 取得

21、最大值,r聯(lián)立 |x3，得 A(3,1)，所以 Zmax= 5.x+ y= 4,答案：5x-2W0,2. (2019 宿遷調(diào)研) )已知點 P(x, y)在不等式組 iy- 1 0動，貝 H Qx2+ y2的最小值為 _解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所 示.，x2+ y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點與坐標原點0 的距離，由圖知，點 0(0,0)到直線 x + 2y-2= 0 的距離是x2+ y2的最小值，其最小值為曇=罕x+ 3y 4,3. (2018 徐州二模) )若不等式組 i3x + yw4,所表示的平面區(qū)域被直線y= kx+ 分為3X0面積相等的兩部分，則 k 的值是_解析

22、：作出不等式組所表示的可行域如圖中厶ABC所示，解得 A(1,1),易得 B(0,4), C 0,3，又直線 y= kx + 3 過點 C 且把 ABC 的面積平分，所以直線y = kx+ 4 過 AB 的中點 k=答案：7x a,4. (2018 湖南東部六校聯(lián)考) )實數(shù) x, y 滿足 yx,(av1)，且 z= 2x+ y 的最大值以+yw2是最小值的 4 倍，貝 U a =_ ,y解析：如圖所示，平移直線2x+ y= 0,可知在點 A(a, a)處 zx-a取最小值，即 Zmin= 3a，在點 B(1,1)處 z 取最大值，即 Zmax= 3,所1 %hJ 、x+y=22cv+y-0

23、所表示的平面區(qū)域內(nèi)運答案:2 ,55x+ 3y= 4,3x + y= 4,2，所以1 以 12a = 3,即 a= 一.41答案：145. （2019 南通模擬）甲、乙兩種食物的維生素含量如表:維生素 A（單位/kg）維生素 B（單位/kg）甲35乙42分別取這兩種食物若干并混合，且使混合物中維生素A, B 的含量分別不低于100,120單位，則混合物質量的最小值為kg.解析：由題意，設混合物中甲為 x kg,乙為 y kg,混合物為 z= x+ y,3x+ 4y 100,則得約束條件5x+ 2y 120,作出其平面區(qū)域如圖所示,K 0, y 0,平移直線x+ y= 0,可知當直線經(jīng)過點A 時

24、，z 取得最小值.由*X 3i+4y=lOOfi+2y=l2i03x + 4y= 100,5x + 2y= 120,解得 x= 20, y= 10,即 A(20,10)，所以 Zmin= x+ y= 30.答案：306已知實數(shù) x,x+ y 3,y 滿足約束條件彳 yw3,則 z= 5 (x2+ y2)的最大值為iXw3,解析：作出滿足約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，求目標函數(shù) z= 5 （x2+ y2）的最大值，即求.x2+ y2的最小值由幾何意 義知就是求可行域內(nèi)的點P（x, y）到原點距離的最小值易知點O 到直線 x+ y 3 = 0 的距離最短，為 節(jié)，所以 zmax= 512

25、.y3tL31廠工=37. （2019 靖江模擬）x, y 滿足約束條件x+y2w0,x2y20,z= yax 取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù) a 的值為解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，將=y ax 化為 y= ax+ z, z 相當于直線 y= ax+ z 的縱截距，由題意可得，當y=ax+ z 與 2x y+ 2= 0 或與 x + y 2= 0 平行時符合題意, 故a = 2 或一 1.答案：2 或1x+y1w0,xy1w0,iXa0,成立，則實數(shù) a 的取值范圍是所以 Umin= 3 2X2= 7,Umax=12X(6)=11.z=煮=x5，求z的最大值和最小值，

26、即是求可行域內(nèi)的點連線斜率 k 的最大值和最小值.設點M 的坐標為（5,0）,由（1）知點 B 的坐標為（一 1, 6），點 C 的坐標為（一 3,2）,8. （2018 啟東中學測試）已知變量 x, y 滿足約束條件yx 2解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示,yx 表示區(qū)域內(nèi)的點（x, y）與定點 A（2,0）連線的斜率 k,由圖易知 BC 與 y軸重合時,1 1|k|wkAC= 2，此時 a = 0,當 BC 向右移動時，|k|wkAc 0.（1）求 u= x 2y 的最大值和最小值;求z=總的最大值和最小值.解：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示.(1)由7x5

27、y23=0，得點 B 的坐標為( (1, 6),4x + y+ 10= 0 x + 7y 11= 0,1得點 C 的坐標為( (一 3,2),4x+ y+ 10= 0平移直線 u= x 2y 可知，直線過 C 點時，z 取最小值，過B 點時,z 取最大值.(x, y)與點(5,0)-1y4jc+y+10-02 0所以kmax=kMC=3.5 =1, =k= 60=3 kmin=kMB= 5=Q,所以 x+5 勺最大值是1最小值是1.xy+20,10. (2019 蘇北四市調(diào)研) )已知 x, y 滿足約束條件x+ y 40,2xy5W0,(1)(1)z= x+ 2y 4 的最大值；(2)(2)

28、z= x3+ y4 10y+ 25 的最小值;(3)z=2y+5的取值范圍.x+ 1解：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示,并求出頂點坐標分別為A(3,1), B(1,3), C(7, 9).(1)作出直線 x+ 2y= 0,平移該直線，當直線經(jīng)過點C 時,Z 取得最大值，Zmax=7+ 2X94=21(2)z= x2+ y2 10y+ 25= x2+ (y 5)2表示可行域內(nèi)任一點(x, y)到定點 M(0, 5)的距離的平方，由圖知點 M 到直線 x y+ 2= 0 的距離的平方為所求小值，所以加=|7212=9.y+2 、一=2 2的幾何意義是可行域內(nèi)的動點x+ 1-y+2=0/y/f0 /備 g求:z 的最P(x, y)與定點 D 1, 1連線斜率的2 倍.37故 z 的取值范圍是3,7A2三上臺