實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和實(shí)數(shù)的運(yùn)算和代數(shù)式相關(guān)的概念以及代數(shù)式的運(yùn)算 代數(shù)式的恒等變形 首師大版

1、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和實(shí)數(shù)的運(yùn)算和代數(shù)式相關(guān)的概念以及代數(shù)式的運(yùn)算 代數(shù)式的恒等變形一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 本學(xué)期開始，對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)開始全面的復(fù)習(xí)，代數(shù)和幾何穿插進(jìn)行。復(fù)習(xí)的方式是分章節(jié)，梳理知識(shí)，形成網(wǎng)絡(luò)，抓住重點(diǎn)和難點(diǎn)，把書念薄。通過例題和練習(xí)，提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。培養(yǎng)同學(xué)們的計(jì)算能力、邏輯思維能力，空間想象能力，分析問題和解決問題的能力。 （一）代數(shù)復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和實(shí)數(shù)的運(yùn)算 （二）復(fù)習(xí)代數(shù)和代數(shù)式相關(guān)的概念以及代數(shù)式的運(yùn)算代數(shù)式的恒等變形【典型例題】一. 代數(shù)復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和實(shí)數(shù)的運(yùn)算（一）實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 通過復(fù)習(xí)，掌握實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 1. 實(shí)數(shù)分類 實(shí)數(shù)還可以分為：正實(shí)數(shù)、零、負(fù)

2、實(shí)數(shù)；有理數(shù)還可以分為：正有理數(shù)、零、負(fù)有理數(shù)，解題中需考慮數(shù)的取值范圍時(shí)，常用這種分類方法。 2. 數(shù)軸 數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是數(shù)學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)的重要基礎(chǔ)。在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。 3. 絕對(duì)值 絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。 4. 相反數(shù)、倒數(shù) 相反數(shù)以及倒數(shù)都是成對(duì)出現(xiàn)的，零的相反數(shù)是零，零沒有倒數(shù)?！叭我庖粚?duì)相反數(shù)的和是零”和“互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的積是1”的特性常作為計(jì)算與變形的技巧。 5. 三種非負(fù)數(shù) 非負(fù)數(shù)”與“幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則必定每個(gè)非負(fù)數(shù)都同

3、時(shí)為零”的結(jié)論常用于化簡(jiǎn)求值。 6. 平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念。例題 例1. 解： 說(shuō)明：對(duì)一個(gè)具體的數(shù)要會(huì)求相反數(shù)和倒數(shù)，對(duì)于一個(gè)代數(shù)式也要會(huì)求它的相反數(shù)和倒數(shù)。 例2. 解： 說(shuō)明：倒數(shù)和相反數(shù)是兩個(gè)不同的概念，應(yīng)加以區(qū)別，一般求小數(shù)或帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，要先將其化為分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)。 例3. 解： 說(shuō)明：這是一個(gè)條件求值問題，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出x、y、z的值，從而問題得解。 例4. 證明： 說(shuō)明：靈活運(yùn)用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解這類題的關(guān)鍵。小結(jié) 復(fù)習(xí)本小節(jié)，同學(xué)們一定要牢牢掌握實(shí)數(shù)的有關(guān)概念，比如實(shí)數(shù)的分類、數(shù)軸、絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)、三種非負(fù)數(shù)、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，

4、并且能正確地運(yùn)用這些概念。在運(yùn)用當(dāng)中，通過數(shù)軸建立數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)；通過相反數(shù)和絕對(duì)值，建立分類討論的觀點(diǎn)；通過非負(fù)數(shù)，掌握配方法。開闊思路 值。 分析： 解： 說(shuō)明：初中階段學(xué)習(xí)的非負(fù)數(shù)有絕對(duì)值、完全平方數(shù)、算術(shù)根。（二）實(shí)數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)和難點(diǎn) 通過本小節(jié)的復(fù)習(xí)，希望同學(xué)們掌握以下幾個(gè)知識(shí)要點(diǎn)： （1）實(shí)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算。 （2）有理數(shù)的運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍仍然適用；實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、運(yùn)算順序。 （3）加法及乘法的運(yùn)算律可用于實(shí)數(shù)運(yùn)算的巧算。 （4）近似數(shù)的精確度、有效數(shù)字、科學(xué)記數(shù)法的形式為a×10n（其中1|a|10，n為整數(shù)）。 （5）實(shí)數(shù)大小的比較

5、：兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，正數(shù)大于零和一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較小。常用方法：數(shù)軸圖示法，作差法，平方法等。例題 例1. 計(jì)算下列各題： 解： 說(shuō)明：進(jìn)行計(jì)算時(shí)，首先要觀察題目中有哪幾種運(yùn)算，思考有無(wú)簡(jiǎn)便方法，然后確定運(yùn)算順序，注意遇到同一級(jí)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)按自左向右的順序進(jìn)行計(jì)算，并要隨時(shí)檢查運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)。 （1）題運(yùn)用交換律、結(jié)合律，采用“湊整法”將其部分和或積湊為整數(shù)結(jié)合起來(lái)，使計(jì)算較為簡(jiǎn)捷；（2）題逆用分配律?？珊?jiǎn)化計(jì)算。 例2. 用四舍五入法按括號(hào)里的要求對(duì)下列各數(shù)取近似值。 （1）6.2546（精確到0.01） （2）0.8025（保留兩位有效數(shù)字） （3

6、）360342（保留三位有效數(shù)字） （4）1.5306×106（精確到千位） 解：（1）6.25466.25 （2）0.80250.80 （3）3603423.60×105 （4）1.5306×1061.531×106 說(shuō)明：（1）有效數(shù)字是指從左邊第一個(gè)非零的數(shù)起，到精確到的位數(shù)為止所有的數(shù)字，所以（2）題中0.80后面的0不能省略寫成0.8，0.8只有一位有效數(shù)字。 （2）對(duì)于比較大的數(shù)，求其近似值時(shí)，通常用科學(xué)記數(shù)法表示。“×”號(hào)前面的數(shù)字即為有效數(shù)字。 例3. 解：畫數(shù)軸，先由已知條件確定a、b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、B。a<0，A在原點(diǎn)左

7、側(cè)，b>0，B在原點(diǎn)右側(cè)，又|a|>|b|表示A到原點(diǎn)的距離大于B到原點(diǎn)的距離，再根據(jù)相反數(shù)的概念找出-a、-b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示，顯然有a<-b<b<-a。 說(shuō)明：利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小是一個(gè)十分有效的方法。 例4. 比較下列實(shí)數(shù)大?。?解：（1）解法一（作差法）： 解法二（作商法）： 解法三（中間數(shù)法）： （2）解法一（平方法：） 解法二（比較被開方數(shù)法）： 說(shuō)明：比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，還可以化為小數(shù)或同分子的分?jǐn)?shù)、同分母的分?jǐn)?shù)來(lái)比較。知識(shí)小結(jié) 在涉及到無(wú)理數(shù)的有關(guān)運(yùn)算中，要注意題目特征，靈活運(yùn)用二次根式性質(zhì)，尋求簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑；如果能運(yùn)用乘法公式時(shí)，可以用乘

8、法公式優(yōu)化解題過程；在進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算時(shí)，最后結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)根式的形式。開闊視野 解： 點(diǎn)評(píng)：在二次根式的化簡(jiǎn)當(dāng)中，一定要注意算術(shù)根非負(fù)這一基本性質(zhì)。當(dāng)x3時(shí)，二. 復(fù)習(xí)代數(shù)和代數(shù)式相關(guān)的概念以及代數(shù)式的運(yùn)算代數(shù)式的恒等變形（一）和代數(shù)式相關(guān)的概念以及代數(shù)式的運(yùn)算重點(diǎn)和難點(diǎn) 通過本小節(jié)的復(fù)習(xí)，希望同學(xué)們掌握以下知識(shí)要點(diǎn)，并且提高自己的運(yùn)算能力。 1. 代數(shù)式的分類 2. 各類代數(shù)式的概念 單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式、分式、有理式、無(wú)理式、根式、二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的概念。 3. 代數(shù)式有意義的條件 分式有意義的條件是分式的分母不為零；分式的值為零的條件是分母不為零

9、，分子為零；二次根式有意義的條件是被開方數(shù)（式）非負(fù)；由實(shí)際應(yīng)用得到的代數(shù)式還要符合實(shí)際意義。 4. 代數(shù)式的運(yùn)算 整式的加、減、乘、除四則運(yùn)算；整式的添括號(hào)、去括號(hào)法則；分式的加、減、乘、除四則運(yùn)算，分式的乘方；二次根式的加、減、乘、除四則運(yùn)算，二次根式分母有理化。例題分析 例1. 當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式有意義？分式的值等于零？ 分析：當(dāng)分母等于零時(shí)，分式?jīng)]有意義，此外分式都有意義；當(dāng)分子等于零、并且分母不等于零時(shí)，分式的值等于零。 解： 說(shuō)明：（1）討論分式有無(wú)意義時(shí)，一定對(duì)原分式進(jìn)行討論，而不能先化簡(jiǎn)，再對(duì)化簡(jiǎn)后的分式討論。 （2）討論分式的值何時(shí)為零必須在分式有意義的前提下進(jìn)行。 （3

10、）在解分式的有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)特別注意分母不為零這個(gè)隱含條件。 例2. 當(dāng)x為何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。 解： 說(shuō)明：第（1）題中，根號(hào)外的負(fù)號(hào)與根式有無(wú)意義無(wú)關(guān)；第（3）題中，討論x的范圍，把b看做常數(shù)。 例3. 解： 說(shuō)明：實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、運(yùn)算順序在代數(shù)式的計(jì)算中同樣適用，同時(shí)還要掌握添去括號(hào)的法則。知識(shí)小結(jié) 對(duì)異分母的分式相加減時(shí)，一般先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減；對(duì)分子、分母都是多項(xiàng)式的分式進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)，一定要先將每個(gè)多項(xiàng)式分解因式，然后將除法統(tǒng)一為乘法，最后再進(jìn)行約分。拓展閱讀 解： （二）代數(shù)式的恒等變形重點(diǎn)和難點(diǎn) （1）添括號(hào)、去括號(hào)、拆項(xiàng)是代數(shù)式恒等變形的常用方法

11、。 （2）乘法公式是代數(shù)式恒等變形的重要工具。 （3）因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆變形，常作為代數(shù)式恒等變形的工具使用。要注意因式分解方法的靈活選取及因式分解的范圍。 （4）待定系數(shù)法、配方法都可以進(jìn)行代數(shù)式的恒等變形。例題分析 例1. 分析： 所以m±1，所以本題應(yīng)選擇C。 解：解法略。 點(diǎn)評(píng)：本題是昆明市1997年中考試題，考查了配方法的知識(shí)。另外，考慮問題要全面，m±1兩個(gè)解，而不是m1或m-1一個(gè)解。 例2. 解： 說(shuō)明：因式分解要分解到不能分解為止，如果沒有指定數(shù)的范圍，一般是在有理數(shù)范圍內(nèi)分解。 例3. 解： 式，從而使問題得解。這是條件求值問題的一個(gè)基本思路。 例

12、4. 思路：由已知易得和·的值，因此把待求式用，·表示是關(guān)鍵。 解法一： 解法二： 公式，這樣可拓寬解題渠道，提高靈活應(yīng)變能力。知識(shí)小結(jié) 因式分解有四種基本方法，可以用以下四句話幫助同學(xué)們記憶：首先提取公因式，然后考慮用公式，十字相乘觀察法，分組分解試一試。在用待定系數(shù)法進(jìn)行代數(shù)式的恒等變形時(shí)，特別要注意待定系數(shù)法使用的前提條件是“恒等式”。趣味閱讀 例1. 的值。 解： 例2. 解： 點(diǎn)評(píng)：以上兩個(gè)例題都是要巧用因式分解的知識(shí)。例1是用提取公因式的方法，利用試題一一. 選擇題（每小題6分，共30分） 1. 一個(gè)數(shù)的相反數(shù)小于它本身，則這個(gè)數(shù)一定是（ ） A. 正數(shù)B. 負(fù)

13、數(shù)C. 零D. 非負(fù)數(shù) 2. 在下列實(shí)數(shù)中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ） A. 4個(gè)B. 5個(gè)C. 6個(gè)D. 7個(gè) 3. 等于（ ） A. B. C. D. 0 4. 下列說(shuō)法中，正確的是（ ） A. 相反數(shù)等于它本身的數(shù)只有0B. 倒數(shù)等于它本身的數(shù)只有1 C. 絕對(duì)值等于它本身的數(shù)只有0 D. 算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有1 5. 若，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A. B. 5C. D. 二. 填空題（每小題6分，共30分） 1. 若a、b同號(hào)，則_；若a、b異號(hào)且，則_。 2. 若a、b互為相反數(shù)，c、d互為負(fù)倒數(shù)，則_。（n為整數(shù)）。 3. 若，則_。 4. 已知，則_。 5. 的平方根是_，的平方根

14、是_。三. 解答題（每小題8分，共40分） 1. 如圖，已知數(shù)軸上A、B、C、D四點(diǎn)都是整數(shù)，若A對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a，B對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)b，且，那么數(shù)軸上的原點(diǎn)應(yīng)是A、B、C、D中的哪個(gè)點(diǎn)？ 2. 方程有實(shí)數(shù)根嗎？若有實(shí)數(shù)根的話，可求出幾個(gè)實(shí)數(shù)根？ 3. 不論x、y為任何實(shí)數(shù)，求證代數(shù)式的值一定是非負(fù)數(shù)。 4. 如果，那么化簡(jiǎn)代數(shù)式的結(jié)果是什么？ 5. 若x、y滿足，則代數(shù)式的值是什么？試題二一. 選擇題（每小題6分，共30分） 1. 一個(gè)數(shù)四舍五入得到近似數(shù)是62.30，這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字是（ ） A. 6，2B. 3，0 C. 6，2，3D. 6，2，3，0 2. 下面用科學(xué)記數(shù)法表示275000，其中正確

15、的是（ ） A. B. C. D. 3. 用四舍五入法得到的近似數(shù)中，含三個(gè)有效數(shù)字的是（ ） A. 0.4230B. 750萬(wàn)C. 0.03720D. 3.0204 4. 下列各式中，正確的是（ ） A. B. C. D. 5. 若a、b為任意實(shí)數(shù)，則下列四個(gè)命題中正確的是（ ） A. B. C. D. 二. 填空題（每小題6分，共30分） 1. 若，試按從小到大的順序排列，這四個(gè)數(shù)為_。 2. _。 3. 5.963保留2個(gè)有效數(shù)字的近似值為_。 4. 計(jì)算：_。 5. 計(jì)算：_。三. 解答題（每小題10分，共40分） 1. 計(jì)算： 2. 計(jì)算： 3. 計(jì)算： 4. 計(jì)算：試題三一. 選擇

16、題（每小題6分，共30分） 1. 的運(yùn)算結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值為零，則x值為（ ） A. B. C. 2D. 0 3. 當(dāng)時(shí)，那么等于（ ） A. B. C. D. a 4. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，下列分式中一定有意義的是（ ） A. B. C. D. 5. 在二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)為（ ） A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)二. 填空題（每小題6分，共30分） 1. 二次根式中，x的取值范圍是_。 2. 當(dāng)a_時(shí)，分式的值為零。 3. 在根式中，與是同類二次根式的有_。 4. 與是同類項(xiàng)，則_。 5. 使得等式成立的x的取值范圍是_。三. 解答題（每小

17、題10分，共40分） 1. 計(jì)算： 2. 計(jì)算： 3. 計(jì)算： 4. 當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)試題四一. 選擇題（每小題6分，共30分） 1. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果為，則a、b、c分別為（ ） A. 6，1，-2B. 6，-1，2 C. 6，-1，-2D. 6，1，2 3. 若，則k為（ ） A. 0B. -xyC. 2xyD. 3xy 4. 已知，則x·y的值是（ ） A. -1B. 1C. -4D. 4 5. 下列等式中，一定相等的是（ ） A. B. C. D. 二. 填空題（每小題6分，共30分） 1. 2. 分解因式：_

18、。 3. 如果，那么_。 4. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：_。 5. 三. 解答題（每小題10分，共40分） 1. 已知，求的值。 2. 已知，求的值。 3. 已知x的二次三項(xiàng)式與的乘積不含x的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)，試用待定系數(shù)法求p、q的值。 4. 已知a、b為實(shí)數(shù)，且，其中?；?jiǎn)。試題五一. 選擇題。 1. 下列實(shí)數(shù)中，整數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ） A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè) 2. 把0.0068用科學(xué)記數(shù)法表示為，則n等于（ ） A. -3B. -2C. 3D. 2 3. 已知且，則的值（ ） A. 10B. 4C. D. 4. 下列各式中，不正確的是（ ） A. B. 的平方根是 C. D.

19、 5. 下列各式中，正確的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列計(jì)算中，正確的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列式子中，一定相等的是（ ） A. B. C. D. 8. 分解因式：等于（ ） A. B. C. D. 9. 將分解因式，結(jié)果正確的是（ ） A. B. C. D. 10. 從16000各考生的數(shù)學(xué)試卷中抽出600份試卷進(jìn)行質(zhì)量分析，下面的判斷中，正確的是（ ） A. 600是樣本容量 B. 600份試卷是總體 C. 16000份試卷是樣本 D. 16000是樣本容量二. 填空題。 11. 當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是3，則_。 12. 若，則m的值_。 13. 分解因式：_。 14. 化簡(jiǎn)：_。 15. 下面一組數(shù)據(jù)：31，35，31，34，30，32，31的中位數(shù)_，眾數(shù)_，平均數(shù)_。 16. 已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為負(fù)倒數(shù)，則的值_。 17. 計(jì)算的結(jié)果_。 18. 分解因式：_。 19. 計(jì)算：的結(jié)果_。 20. 已知a、b為實(shí)數(shù)，且，