高考數(shù)學(xué) 有關(guān)切線問題綜述論文

1、高考中有關(guān)切線問題綜述切線作為一條特殊直線，一方面和解析幾何中的直線方程聯(lián)系，另一方面又和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)，同時(shí)又有直線與曲線的位置關(guān)系的問題.所以切線問題多年來一直是命題者比較親睞的一個(gè)知識點(diǎn)。本文擬就這方面的問題作一探討，和大家共享.1求切線方程1、已知函數(shù)與的圖象都過點(diǎn)P(2，0)，且在點(diǎn)P處有公共切線(1)求f(x)和g(x)的表達(dá)式及在點(diǎn)P處的公切線方程；(2)設(shè)，其中，求F(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)過點(diǎn)a=-8,切線的斜率的圖像過點(diǎn)4b+2c=0,解得：b=8,c=-16切線方程為即16x-y-32=0(2) 當(dāng)m<0時(shí)，m<0 又x>1 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)F(x)的單調(diào)減區(qū)

2、間是F(x)的單調(diào)增區(qū)間是(1，) 即m<0時(shí)，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)，單調(diào)減區(qū)間是(，) 2、已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實(shí)數(shù)，.（）若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；（）在（）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；（）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)解:解（）由已知得， 由，得， 當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減在區(qū)間上的最大值為，又，即，得故，為所求（）解：由（1）得，點(diǎn)在曲線上 當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線的斜率，的方程為，即當(dāng)切點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，的方程為 又點(diǎn)在上，即， 切線的方程為.故所求切線的方程為或 （ 或者：由（1）知點(diǎn)A（0，1）為極大值點(diǎn)，所以曲線的點(diǎn)A

3、處的切線為，恰好經(jīng)過點(diǎn)，符合題意）（）解： 二次函數(shù)的判別式為，令，得：令，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；14分當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn) 3、已知函數(shù)和點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、（1），求直線、的方程。(2)設(shè)，試求函數(shù)的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，若對任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)總存在個(gè)實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求的最大值解：（1）設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為， 切線的方程為：，又切線過點(diǎn)， 有，即， 解得切線、的方程為：（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、， 切線的方程為：，切線過點(diǎn)， 有，即， 同理，由切線也過點(diǎn)，得，由、，可得是方程的兩

4、根，把（ * ）式代入,得,因此，函數(shù)的表達(dá)式為 （3）解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)，則依題意，不等式對一切的正整數(shù)恒成立， ，即對一切的正整數(shù)恒成立， ，由于為正整數(shù)， 又當(dāng)時(shí)，存在，對所有的滿足條件。因此，的最大值為 解法：依題意，當(dāng)區(qū)間的長度最小時(shí)，得到的最大值，即是所求值，長度最小的區(qū)間為， 當(dāng)時(shí)，與解法相同分析，得，解得 后面解題步驟與解法相同（略）2探究切線是否存在5、已知（1）若（2）當(dāng)b為非零實(shí)數(shù)時(shí)，證明（-c）平行的切線；（3）記函數(shù)|（-1x1）的最大值為M，求證：M解：（1）f（x）=3x2+2bx+c,由f（x）在x=1時(shí)，有極值-1得即解得當(dāng)b=1，c=-5時(shí)，f（x）

5、=3x2+2x-5=（3x+5）（x-1）,當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>0，當(dāng)-<x<1時(shí)，f（x）<0從而符合在x=1時(shí)，f（x）有極值 （2）假設(shè)f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b2-c）x+y+1=0平行,f（t）=3t2+2bt+c,直線（b2-c）x+y+1=0的斜率為c-b2,3t2+2bt+c=c-b2,即3t2+2bt+b2=0=4（b2-3b2）=-8b2,又b0，<0從而方程3t2+2bt+b2=0無解,因此不存在t，使f（t）=c-b2,即f（x）的圖象不存在與直線（b2-c）x+y+1=0平行的切線 （3）證法一：|f（x）|=|3（x

6、+）2+c-|,若|-|>1，則M應(yīng)是|f（-1）|和|f（1）|中最大的一個(gè)，2M|f（-1）|+|f（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|4b|>12,M>6，從而M當(dāng)-3b0時(shí)，2M|f（-1）|+|f（-）|=|3-2b+c|+|c-|-2b+3|=|（b-3）2|>3,M當(dāng)0<b3時(shí)，2M|f（1）|+|f（-）|=|3+2b+c|+|c-|+2b+3|=|（b+3）2|>3,M綜上所述，M證法二：f（x）=3x2+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-，），若|-|>1，則M應(yīng)是|f（-1）|和|f（1）|中最大的一個(gè)， 2M| f（-1）|+|

7、f（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|4|b|>12M>6，從而M若|-|1，則M|f（-1）|、|f（1）|、|中最大的一個(gè)（i）當(dāng)c-時(shí)，2M|f（1）|+ |f（-1）|f（1）+ f（-1）|=|6+2x|3, M（ii）當(dāng)c<-時(shí)，M|=-c-c>，綜上所述，M成立證法三：M是|f（x）|,x-1,1的最大值，M|f（0）|,M|f（1）|，M|f（-1）|4M2|f（0）|+|f（1）|+|f（-1）|f（1）+f（-1）-2f（0）|=6,即M6、已知是定義在R上的函數(shù)，它在和上有相同的單調(diào)性，在和上有相反的單調(diào)性.（）求的值；（）在函數(shù)的圖象上是

8、否存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)的切線斜率為？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，則說明理由；（）設(shè)的圖象交軸于三點(diǎn)，且的坐標(biāo)為,求線段的長度的取值范圍.解：（）由題意可知在-1，0和0，2上有相反的單調(diào)性，所以是的一個(gè)極值點(diǎn).故，即是的一個(gè)解，所以. （）因?yàn)樵?和上有相反的單調(diào)性，所以在上必有一根.又，易知方程一根為，另一根為，所以，假設(shè)存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)的切線斜率為，則，即有解.而=，因?yàn)椋?，與有解矛盾。故不存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)的切線斜率為. （）依題意有，又，所以，所以=，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的兩根，所以=，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，=.所以的取值范圍是. 3由切線位子確定待定參數(shù)7、設(shè)函數(shù)(其中)的圖象在

9、處的切線與直線y=5x+12平行. ()求的值；()求函數(shù)在區(qū)間0,1的最小值；()若, ,且,試根據(jù)上述()、()的結(jié)論證明:. 解：()因?yàn)? 所以解得m=1或m=7(舍),即m=1()由,解得 列表如下:x0(0,)(,1)1f(x)22(7分)所以函數(shù)在區(qū)間0,1的最小值為()因?yàn)橛?)知,當(dāng)x0,1時(shí),所以,所以當(dāng),且時(shí),所以(14分) 又因?yàn)? 所以 故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號) 8、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中。設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同。（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值。解（1）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同由題意知，由得，或（舍去）即有（2）設(shè)與在公共點(diǎn)處的

10、切線相同由題意知，由得，或（舍去）即有令，則，于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，故在的最大值為，故的最大值為4由切線位子確定參數(shù)的取值范圍9、已知、b為函數(shù)的極值點(diǎn)()求證:;()判斷函數(shù)上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；()若曲線處的切線斜率為4，且方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解() 依題設(shè)方程的兩根分別為,由題意可知： 即則即()由()：()由，的變化情況如下：(,3)31（1，0）00+0極小值極大值15由切線求解切線斜率及其他參數(shù)的取值范圍10、已知函數(shù)，在處取得極值為2。（）求函數(shù)的解析式；（）若函數(shù)在區(qū)間（m，2m1）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（）若P（x0，y0）為圖象上的任

11、意一點(diǎn)，直線l與的圖象相切于點(diǎn)P，求直線l的斜率的取值范圍.解：（）已知函數(shù)，又函數(shù)在處取得極值2，即（）由，得，即所以的單調(diào)增區(qū)間為（1，1）因函數(shù)在（m，2m1）上單調(diào)遞增，則有，解得即時(shí)，函數(shù)在（m，2m1）上為增函數(shù)分（）直線l的斜率分 即 令則 即直線l的斜率k的取值范圍是.11、已知函數(shù)f(x)=ax3+bx23x在x=±1處取得極值. （）求函數(shù)f(x)的解析式； （）求證：對于區(qū)間1，1上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若過點(diǎn)A（1，m）（m2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（I）f(x)=3ax2+2bx

12、3，依題意，f(1)=f(1)=0， 即 解得a=1，b=0. f(x)=x33x. （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，當(dāng)1<x<1時(shí)，f(x)<0，故f(x)在區(qū)間1，1上為減函數(shù)，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=2 對于區(qū)間1，1上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)| |f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=4 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲線方程為y=x33x，點(diǎn)A（1，m）不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y

13、0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足因，故切線的斜率為，整理得.過點(diǎn)A（1，m）可作曲線的三條切線，關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根. 設(shè)g(x0)=，則g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.函數(shù)g(x0)=的極值點(diǎn)為x0=0，x0=1 關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是，解得3<m<2.故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是3<m<212、已知函數(shù)（）的圖象為曲線（1）求曲線上任意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍；（2）若曲線上存在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）試問：是否存在一條直線與曲線C