實變函數(shù)(復(fù)習資料,帶答案)

1、實變函數(shù)試卷一一、單項選擇題(3分X 5=15分)1、下列各式正確的是()(A) 17mAi1k A； (B) Jim A.1k Ak；n n n 1k nn n n 1k n(C) limAnAk；(D) lim AnA;nn 1k nnn 1k n2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是()(A) P c (B) mP 0(C) P P (D) P P3、下列說法不正確的是()(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測(B)可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可測4、設(shè)fn(x)是E上的a.e.有限的可測函數(shù)列，則下面不成立的是()(A)若 fn(x)f(x),則

2、fn(x)f(x) (B)sup fn(x)是可測函數(shù)(C) inf fn(x)是可測函數(shù)；(D)若 nnfn(x)f(x)，則 f(x)可測5、設(shè)f(x)是a,b上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是()(A) f(x)在a,b上有界 (B) f (x)在a,b上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)b(C) f'(x)在a,b上 L 可積(D) f'(x)dx f (b) f (a) a二.填空題(3分X 5=15分)1、(CsA CsB) (A (A B) 2、設(shè)E是0,1上有理點全體，則 0E =, E =, E =.3、設(shè)E是Rn中點集，如果對任一點集T者B則稱E是L可測的4、f (x)可測的條

3、件是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù).(填“充分”，“必要”，“充要”)5、設(shè)f(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果對于a,b的一切分劃，使 SU稱f(x)為a,b上的有界變差函數(shù)。三、下列命題是否成立？若成立，則證明之;若不成立，則舉反例(第3頁,共17頁)1、(8分)設(shè) f (x)x2,x為無理數(shù)1,x為有理數(shù)題，則f(x)在0,1上是否R(第2頁,共17頁)說明.(5分X 4=20分)1、設(shè)E R1,若E是稠密集，則CE是無處稠密集。2、若mE 0,則E一定是可數(shù)集.考 3、若| f(x)|是可測函數(shù),則f(x)必是可測函數(shù)生4 .設(shè)f(x)在可測集E上可積分，若 x E,f(x) 0,則E

4、f(x) 0 四、解答題(8分X 2=16分).可積，是否L可積，若可積，求出生分值。2、(8 分)求 limln(-x-n)e xcosxdxn 0 n得五、證明題(6分X 4+10=34 分) 1、(6分)證明0,1上的全體無理數(shù)作成的集其勢為c.超2、(6分)設(shè)f(x)是，上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)a,E x|f(x) a是閉集。過3、(6分)在a,b上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為兩個增函數(shù)之差。4、(6分)設(shè)mE/他)在£上可積，e E(| f | n),則lim n men 0. n5、(10 分)設(shè) f (x)是E上a.e.有限的函數(shù)，若對任意0,存在閉子

5、集FE ,使f(x)在F上連續(xù)，且m(E F ),證明：f (x)是E上的可測函數(shù)。(魯津定理的逆定理試卷一(參考答案及評分標準)一、1.C 2 D3.B 4.A5.D二、1 .2、0,1;0,13、* * * _ mT m (T E) m (T CE)n4、充要 5、|f(x) f(x)|成一有界數(shù)集。i 1三、1 .錯誤2分例如：設(shè)E是0,1上有理點全體，則E和CE都在0,1中稠密5分2 .錯誤2分例如：設(shè)E是Cantor集，則mE 0,但E c,故其為不可數(shù)集5分3 .錯誤例如：設(shè)E是a,b上的不可測集，x, x E;f(x)h 匚x, x a,b E;則|f(x)|是a,b上的可測函數(shù)

6、，但f(x)不是a,b上的可測函數(shù)一4 .錯誤mE 0時，對E±任意的實函數(shù)f(x)都有 f(x)dx 0E四、1 . f(x)在0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x 1處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集.3分因為f(x)是有界可測函數(shù)，f(x)在0,1上是L可積的6分1 O 1因為f (x)與x a.e.相等，進一步， f (x)dx x dx 一8 0,103分2 .解：設(shè) fn(x) lnx一"excosx,則易知當 n 時， nfn(x)02 分又因14nl 0, (t 3),所以當n 3,x 0時,t tln(x n) n x ln(x n) n x ln 3 ln

7、 3 “-(1 x)4 分n n x n n 33從而使得 |fn(x)| (1 x)ex 6分3但是不等式右邊的函數(shù)，在 0, 上是L可積的，故有l(wèi)im ° fn(x)dx° lim fn(x)dx 0 8 分五、1 .設(shè) E 0,1, A E Q,B E (E Q).Q B是無限集，可數(shù)子集M B 2分QA是可數(shù)集，A M : M.分.3QB M (B M), E A B A M (B M ), 且(A M ) (B M ) ,M (B M ),E : B, B c. 6 分Qxn E, f(xn) a .3分.22. x E ,則存在E中的互異點列xn,使lim xn

8、 x nQ f(x)在x點連續(xù)，f(x) limf() anx E 5 分E是閉集.6分3. 對 1 ,0 ,使對任意互不相交的有限個據(jù)積分的絕對連續(xù)性，0,0, e E,me ，有J f (x) |dx .4分對上述0, k, n k, mE(|f| n),從而n men| f (x) | dx ,即 lim n men 0 6分enn(d,bi)(a, b)nn當(bi ai)時，有f (b)if (ai) 1 2 分i 1i 1n將a,b m等分，使 xi為1 ，對 i 1kT: xi 1 Z0 4 LZk xi ,有 f (Zi) f (z 1) 1 ,所以i 1f(x)在xi 1,x

9、i上是有界變差函數(shù) .5分xib所以V(f) 1,從而V(f) m,因此，f(x)是a,b上的有界 x 1a變差函數(shù).6分4、f(x)在E上可積lim mE(| f | n) mE(| f |) 0 2 分1 , 一5. n N,存在閉集 匕 E,m E % , f (x)在匕連2續(xù)2分令 F UI Fn，則 x F k,xFn, n k,x Fnf (x)n kk 1n k在F連續(xù)4分又對任意 k,mE F mE ( Fn) m (E Fn) n kn k1m(E Fn)下.6分n k2故 m(E F) 0, f(x)在 F E 連續(xù).8 分 又m(E F) 0,所以f(x)是E F上的可測

10、函數(shù)，從而是E上的可測函數(shù).10分實變函數(shù)試卷二一.單項選擇題(3分X 5=15分)1 .設(shè)M,N是兩集合，則 M (M N)=()(A) M (B) N (C) M N (D)2.下列說法不正確的是()(A) P0的任一領(lǐng)域內(nèi)都有E中無窮多個點，則P0是E的聚點(B) P0的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個E中異于Po的點，則P0是E 的聚點(C)存在E中點列Pn ,使P0 ,則Po是E的聚點(D)內(nèi)點必是聚點3.下列斷言()是正確的。(A)任意個開集的交是開集；(B)任意個閉集的交是 閉集；(C)任意個閉集的并是閉集；(D)以上都不對；4.下列斷言中()是錯誤的。(B)可數(shù)個零測集的并是(A)零測集是

11、可測集；零測集；(C)任意個零測集的并是零測集；(D)零測集的任意子集是可測集；5.若f(x)是可測函數(shù)，則下列斷言()是正確的(A)f (x)在a,b L可積|f(x)| 在a,b L可積;(B)f (x)在a,b R可積| f(x)| 在a, b R可積(C)f (x)在a,b L可積|f(x)| 在a, b R可積；(D) f(x)在a, R 廣義可積f(x)在a,+ L可積二.填空題(3分X 5=15分)111、設(shè) An -,2 -, n 1,2,L，則血 An 。 n nn=o2、設(shè) P 為 Cantor 集，則 P , mP , P=-(第11頁,共17頁)3、設(shè)Si是一列可測集，

12、則m SmSii 1. di 14、魯津定理：是否L可積，若可積，求出積分值。2、求極限limn101nx _._32 2 sin n xnxdx .五.證明題(6分X 3+ 8 2 =34分) 1.(6分)1、設(shè)£僅)是(，)上的實值連續(xù)函數(shù)，則對任意常5、設(shè)F(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果 W 稱F(x)為a,b上的絕對連續(xù)函數(shù)。三.下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則說明原因或舉出反例.(5分X 4=20分)1、由于0,10,10,1，故不存在使 0,1和01之間1 1對應(yīng)的映射。2、可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集。3、a.e.收斂的函數(shù)列必依測度收斂。4、連續(xù)

13、函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。四.解答題(8分X 2=16分)X, X為無理數(shù)口 * l日/ rm1、設(shè)f(x) - s ，則f(x)在0,1上是否R 可積, 1,x為有理數(shù)數(shù) c, E x| f(x) c 是一一開集.2. (6分)設(shè) 0,開集G E,使m*(G E)，則E是可測3. (6分)在a,b上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為 兩個增函數(shù)之差。4. (8分)設(shè)函數(shù)列fn(x) (n 1,2,L )在有界集E上“基本上” 一致收斂于f (x),證明：fn(x)a.e收斂于f (x)。5. (8分)設(shè)f(x)在E a,b上可積，則對任何0,必存在E上的連續(xù)函數(shù) (x),使b|f(x) (

14、x)|dx .a(答案及評分標準)一、1 ,C 2, C 3, B 4, C 5,A二、1 , 0,22, c ; 0 ;3,4,設(shè) f(x)是 E上ae有限的可測函數(shù)，則對任意 0,存在閉子集E E , 使得 “*)在£上是連續(xù)函數(shù)，且 m(E E )。5,對任意 0,0,使對a,b中互不相交的任意有限個3.錯誤。例如：取一、1,x (0,n fn(x)0,x (n,顯然fn(x)1,當xE| fn 1|(n,(0,)，作函數(shù)歹:1,2,L但當01時,n開區(qū)間 ai,bi ,i 1,2,L ,n,只要bi aii 1且 m(n, )這說明fn(x)不測度收斂到1.5分n|F(b)

15、F(aJ i 14.錯誤2分例如:f(x)xcos0,x2?°0.x 1 一一一x1,顯然是0,11 .錯誤 記(0,1)中有理數(shù)全體的連續(xù)函數(shù)。R 1,r2,L(0)12(n) 72,n 1,2L(x) x,x為0,1中無理數(shù),如果對0,1取分劃T : 012n12n 12n明 |f(xi) f(x)|i 1四、1 . f(x)在0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x 1處顯然是0,1惻(0,1)上的1 1映射。5分連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集2 .正確設(shè)Ei為零測度集，0 m*(U Ei)m*E0,所i 1i 1.6分以，m*(UEi) 0因此，U Ei是零測度集。因為f(x)是

16、有界可測函數(shù)，所以f(x)在0,1上是L可積,r 乙乙II11因為f(x)與xa.e.相等，進一步，f(x)dx xdx 8o,io2分2設(shè))一nx2 2 sin3 nxdx ,則易知當n 時， 1 n xfn(x)0 2分nx又 |fn(x)| -2T 4分1 n x但是不等式右邊的函數(shù)，在 0, 上是L可積的6分故有 limfn(x)dxlim fn(x)dx 0 8分n 00 n五、1 . x E, f (x) c .1 分Q f(x)在 x 點連續(xù)，對 f (x) c 0, U(x,)，當y U(x,)時，有 f (y) f (x) 3 分f (x) c f (y) f (x) f (

17、x) c f (y) c , y E 5 分因此U(x, ) E ,從而E為開集.6分2 .對任何正整數(shù)n,由條件存在開集GnE,使* ,m (GnE)J. . 1 分n令GIn 1Gn ,則G是可測集3分*又因m(G*1E) m (Gn E)一對一切正整數(shù)n成立，因而 n* _m (GE)0 ,即M G E是一零測度集，所以也可測.5分由E G (G E)知，E可測。6分x3、易知g(x) V(f)是a,b上的增函數(shù) 2分a令 h(x) g(x) f (x),則對于 a x1 x2 b 有h(x2) h(x1) g(x2) g(x) f (x2) f (Xi)x2V(f) f(X2) f(X

18、1) |f(X2) f(X1)| f(X2) f(X1) 0 x1所以h(x)是a,b上的增函數(shù)4分因此f (x) g(x) h(x),其中g(shù)(x)與h(x)均為a,b上的有限增函數(shù).6分4、因為fn(x)在E上“基本上” 一致收斂于f(x),所以對于任意的k Z，存在可測集Ek E, fn(x)在Ek上一致收斂于一1一八f(x),且 m(E Ek) 3分k令E* UEk,則fn(x)在E*上處處收斂到f(x)5分k 1b| f (x)(x) |dx | f(x) (x) |dx B | f (x)(x) |dxaeNBN| f(x)|dx | (x)|dx eNeN| f(x)(x)|dxB

19、N FNN meN 2 N 44N 4 4 2.8 分(C) E=0,1(D) mE 1(D)凡開集、閉集皆可測_*_ _1m(EE )m(EUEk)m(E Ek)- ,k=1,2 L二kr r*> v所以m(E E ) 0 8分 5、證明：設(shè)等E| f n,由于f (x)在E上a.e.有限，故men0,( n ).2 分由積分的絕對連續(xù)性，對任何0, N ,使N meN| f (x) | dx 4 分eN4令Bn E eN ,在Bn上利用魯律定理，存在閉集FnBn和在R1上的連續(xù)函數(shù)(x)使(1) m(BN Fn) ；(2) x Fn時, 4Nf (x)(x),且 sup | (x)

20、| sup | f (x) | N 6分1x Rx Fn所以實變函數(shù)試卷三(參考答案及評分標準)一、單項選擇題(3分X 5=15分)11、設(shè) An -,2 ( 1)n,n 1,2,L，則(B ) n(A) lim An 0, 1(B) lim An (0, 1nn(C) lim An (0, 3(D) lim An (0, 3)nn2、設(shè)E是0,1上有理點全體，則下列各式不成立的(D )o，一、 ' (A) E 0,1(B) E 3、下列說法不正確的是(C )(A)若A B,則m*A m* B (B)有限個或可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集(C)可測集的任何子集都可測4、設(shè)En是一列可

21、測集，EiE2En，且mEi，則有(A )(A)mEnlim mEn (B) m En limmEnn 1nn 1n(C)mEnlim mEn； (D)以上都不對n 1n5、設(shè)f(x)是a,b上絕對連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的(B )(A) f (x)在a,b上的一致連續(xù)函數(shù)(B) f(x)在a,b上處處可導(dǎo)(C) f (x)在a,b上L可積(D) f(x)是有界變差函數(shù)二.填空題(3分X 5=15分)1、設(shè)集合 N M,則 M (M N) N2、設(shè) P 為 Cantor 集，則 P c, mP _0, oP= o3、設(shè)E是Rn中點集，如果對任一點集T都有m T m (T E) m (T CE)，

22、則稱 E是 L可測的4、葉果洛夫定理：設(shè)m(E) ,fn是E上一列ae收斂于個a.e.有限的函數(shù)f的可測函數(shù)，則對任意0,存在子集E E,使fn在E上一致收斂且 m(E E )。5、設(shè)f(x)在E上可測，則f(x)在E上可積的充要 條件是| f (x) |在E上可積.(填“充分”，“必要”，“充要”)三、下列命題是否成立？若成立，則證明之;若不成立，則舉反例說明.(5分X 4=20分)1、任意多個開集之交集仍為開集。解：不成立2分11反例：設(shè)Gn=(1 , 1 ),n=1,2,每個Gn為開集nn但Gn 1,1不是開集.5分n 12、若mE 0,則E一定是可數(shù)集.解：不成立 反例:設(shè)E是Cant

23、or集，則mE 0,但E c ,故其為不可數(shù)集.5分(第#頁，共17頁)3、a.e.收斂的函數(shù)列必依測度收斂。解：不成立2分例如：取 E (0,)，作函數(shù)列：fn(x)1，X (0，n n 1,2,L0.x (n,)顯然fn(X)1,當X E。但當01時，E| fn 1| (n,)且m(n,) 這說明fn(x)不測度收斂到1巧分4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。解：不成立2分可積，是否L可積，若可積，求出積分值。解：f(x)在0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x 0處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集.3分因為f(x)是有界可測函數(shù)，f (x)在0,1上是L可積因為f(x)與x2a.e.相等，進一步

24、,1 20,1 f (x)dx 0 x dx例如:f(x)xcos,0 x2x0,x 0.1,顯然是0,1的連續(xù)函數(shù)。如果對0,1取分劃T:0 L 1 1 1,則容易證2n 2n 13 22nn 11明 |f(x) f(xi 1) |:，從而得到V(f) 5分0 i 1i 1四、解答題(8分X 2=16分)1、(8分)設(shè) f (x)x2,x為無理數(shù)0,x為有理數(shù)，則f(x)在0,1上是否R2、求極限lim n解：記fn(x)131一 2nx23.sin nxdx292nx _._3_-sin nx2 21 n x則fn(x)在0,1上連續(xù)，因而在0,1上(R)可積和(L)可積.211m fn

25、(x) 0,x n0,11一 2nx23| fn(x) | |-一2"sin nx1 n x1nx21| | 71 n x2(第13頁,共17頁)x Q1,n 1,2,.6分因f (x)連續(xù)，故(第21頁，共17頁)0, x(x0,)時，有 f (x) c.4分L 11且3 x 2在0,1上非負可積，故由Lebesgue控制收斂止理得10dx 00.8分1 11 nx23lim( R)fn(x)dx lim sin nxdxn 0n 01 n2x2即徇)E.所以X0是E的內(nèi)點.由Xo的任意性,E的每一個點都是內(nèi)點，從而E為開集.五、證明題(6分X 4+10=34分).1、(6 分)試

26、證(0,1) 0,13、(6分)設(shè)f(x)是可測集E的非負可積函數(shù)，g(x)是E的證明：記(0,1)中有理數(shù)全體Q1,r2,L ，令可測函數(shù)，且|g(x)| f(x),則g(x)也是E上的可積函數(shù)。(x)(0)1(1)2(rn) %2,n 1,2L(x) x,xJ 0,1# 無理數(shù),顯然是0,1惻(0,1)上的1 1映射證明：Q |g(x) | f(x),g (x) f (x), g (x) f (x)g (x) ndx f (x) ndxf (x)dxEnEnEQ f(x)是可測集E的非負可積函數(shù)所以(0,1) 0,12、(6分)設(shè)外)是(數(shù) c, E x| f(x) c)上的實值連續(xù)函數(shù)，

27、則對任意常 題是一開集.lim g (x) dx f (x)dx nnEnEg (x)是E上的可積函數(shù).4分同理，g (x)也是E上的可積函數(shù).證明:x0 E, 即 f(x。).1分g(x)是E上的可積函數(shù)。4、(6分)設(shè)f (x)在E上積分確定，且f(x) g(x)a.e于E,則g(x)在E上也積分確定，且 e f (x)dx e g(x)dx證明：Q f (x) g(x)a.e于 EmEf g 0f (x)dx g(x)dx 0E f g ' ，Ef gD '，Ef(x)dx Ef gf(x)dx Ef gf(x)dxg(x)dx g(x)dx g(x)dxE f g &#

28、39;Ef g ，e » ' ，Q f(x)在E上積分確定，g(x)在E上也積分確定，且Ef(x)dx E g(x)dx5、(10 分)設(shè)在 E上 fn(x)f(x)，而 fn(x) gn(x)ae成立,n 1,2,，則有 gn(x) f (x)證明：記EnE fngn,由題意知mEn 0由m( En) mEn 0知m( En) 0分n 1n 1對任意0,由于 E|gnf | ( En) E| fn f |n 1從而有mE|gn f | m( En) m(E| fn f | ) m(E| fn f | )n 1又因為在E上fn(x)f(x)，故lim m(E| fn f |)

29、 08 分所以 0 limm(E|gnf |) lim m(E| fn f |) 0nn于是：lim m(E| gn f |) 0故在E上有g(shù)n(x) f (x)10分實變函數(shù)試卷四(參考答案及評分標準)一.單項選擇題(3分X 5=15分)1 .設(shè)P為Cantor集，則 C(A) P 0(B) mP 1(C) P P (D) P P2.下列說法不正確的是(C )(A) Po的任一領(lǐng)域內(nèi)都有E中無窮多個點，則Po是E的聚點(B)B的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個E中異于B的點，則Po是E的聚點(C)存在E中點列Pn ,使PnPo,則Po是E的聚(D)內(nèi)點必是聚點3.設(shè)f (x)在E上L可積,則下面不成立的

30、是(C )(A) f(x)在E上可測 (B) f(x)在E上a.e.有限(C) f(x)在E上有界 (D)|f(x)在E上L可積4.設(shè)En是一列可測集，EiE2LEn L ,則有(B )(A) m Enn 1lim mEn (B) m En lim mEn nn 1n(C) m En lim mEn; (D )以上都不對 n 1n5.設(shè)f (x)為a,b上的有界變差函數(shù)，則下面不成立的(D )(A) f(x)在a,b上 L 可積 (B) f(x)在a,b上 R 可積(C) f (x)在a,b上L可積 (D) f (x)在a,b上絕對連續(xù)填空題(3分X 5=15分)111、設(shè) An -,2 -,

31、 n 1,2,L，則 lmAn _ (0,2)。 n nn02、設(shè)E R,若E E,則E是閉 集；若E E,則E是互集；若E E，則E是 完備集.3、設(shè)S是一列可測集，則m §mSii 1 i 14、魯津定理：_設(shè)f(x)是E上ae有限的可測函數(shù)，則對任意 0,存在閉子集E E,使得“*)在£上是連續(xù)函 數(shù)，且m(E E ),則稱f(x)為a,b上的有界變差函數(shù)。5、設(shè)f(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果對于a,b的一切劃分， n使|f(xi) f (xi 1)|成一有界數(shù)集，則稱f(x)為a,b上的i 1有界變差函數(shù)。三.下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則說明

32、原因或舉出反例.(5分X 4=20分)1、A為可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則A B是可數(shù)集.解：成立2分3、若| f(x)|是可測函數(shù)，則f(x)必是可測函數(shù)因A可數(shù)，所以可設(shè)A=a1,a2,an,解：不成立2分又B至多可數(shù)，設(shè)B=bi,b2,bn(當B有限時)，或x, x E;例如：設(shè)E是a,b上的/、可測集，f (x)x, x a, b E;B=bi,b2, ,bn, (當 B 可數(shù)時)則| f (x)|是a,b上的可測函數(shù)，但f(x)不是a,b上的當B有限時，可測函數(shù)5分A Bbi,b2, ,bn；ai,a2, ,an,4.設(shè)f (x)在可測集E上可積分，若 x E,f(x) 0,則當 B

33、可數(shù)時，A Bb1,a1,b2,a2,bn ;an,Ef(x) 0所以A B可數(shù).5分解：不成立 2分(注:可分A B 和A B 討論,沒討論不扣分，主要考察mE 0寸，對E上任意的實函數(shù)f(x)都有f(x)dx 0巧分排序方法).E2、若 mE 0 ,則 mE 0.四.解答題(8分X 2=16分)八、x,x>理數(shù)t 口解：不成立.2分1、(8分)設(shè)f(x)小行工田初，則f(x)在0,1上是否1,跳有理數(shù)反例：E為0,1中的全體有理點集，則有 mE 0,而R可積，是否L可積，若可積，求出積分值。mE 15分解：f(x)在0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x 1處連注：其余例只要止確即

34、可。續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集 .3分因為f (x)是0,1上的有界可測函數(shù)，f (x)在0,1上是L 可意常數(shù)a, E x|f(x) a是閉集。證明：x E ,則存在E中的互異點列4,使啊 x；2分1、(6分)設(shè)f (x)是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任,r 乙乙II11因為 f(x)與 xa.e.相等，進一步，f (x)dx xdx , , 80,1o2分2、(8 分)求 limln(n)e x cosxdxn 0 n解：設(shè)fn(x) x"e xcosx ,則易知當n 時，fn(x)0n.2分又因書號蟲0, (t 3),所以當n 3,x 0時,ln(x n) n x ln( x n) n x ln 3 ln 3。)