【中考數(shù)學(xué)壓軸題專題突破48】綜合實(shí)踐與創(chuàng)新問題(4)

1、【中考?jí)狠S題專題突破 48】綜合實(shí)踐與創(chuàng)新問題（4）1 .綜合與實(shí)踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖 1,在矩形ABCD中，AD = 2AB, E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 BE=AB,連接DE ,交BC于點(diǎn)M,以DE為一邊在 DE的左下方作正方形 DEFG ,連接AM .試判斷線段 AM與DE的位置關(guān)系.探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE,并展示了如下的證明方法：證明： BE = AB, AE=2AB. . AD=2AB,，AD=AE. .四邊形ABCD是矩形，AD/BC. .國（依據(jù)1）DM AB. BE=AB, .圖L=i. EM= DM. DM 1即AM是 AD

2、E的DE邊上的中線，X / AD=AE, AM IDE .（依據(jù) 2） AM垂直平分DE.反思交流：（1）上述證明過程中的“依據(jù) 1” “依據(jù)2”分別是指什么？試判斷圖1中的點(diǎn)A是否在線段GF的垂直平分線上，請(qǐng)直接回答，不必證明；（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2,連接CE,以CE為一邊在CE的左下方作正方形 CEFG,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明； 探索發(fā)現(xiàn)：（3）如圖3,連接CE,以CE為一邊在CE的右上方作正方形 CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn) C, 點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪

3、條邊的垂直平分線上，請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并 加以證明.2 .綜合與實(shí)踐問題情境在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們“以三角形的旋轉(zhuǎn)” 為主題進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)， 如圖（1）, 在三角形紙片 ABC中，AB=AC, / B=/ C= a.操作發(fā)現(xiàn)（1）創(chuàng)新小組將圖（1）中的 ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 a,得到 DBE , 再將 ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 a,得到 AFG，連接DF ,得到圖（2）, 則四邊形AFDE的形狀是.（2）實(shí)踐小組將圖（1）中的 ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針逆轉(zhuǎn)90° ,得到 DBE, 再將 ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°

4、; ,得到 AFG,連接DF、DG、AE,得 到圖（3）,發(fā)現(xiàn)四邊形 AFDB為正方形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.拓展探索（3）請(qǐng)你在實(shí)踐小組操作的基礎(chǔ)上，再寫出圖（3）中的一個(gè)特殊四邊形，并證明你的結(jié)論.圖（I）圖（2）回（3）第2頁（共13頁）3 .綜合與實(shí)踐問題情境在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1,將一張菱形紙片 ABCD (/BAD>90° )沿對(duì)角線 AC剪開，得到 ABC和4ACD. 操作發(fā)現(xiàn)(1)將圖1中的 ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 ”，使“=/ BAC,得到如 圖2所示的 AC' D,分別延長(zhǎng)BC和DC&

5、#39;交于點(diǎn)E,則四邊形ACEC '的形狀是 ;(2)創(chuàng)新小組將圖1中的4ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角" 使“=2/BAC,得到如圖3所示的 AC' D,連接DB, C' C,得到四邊形BCC' D,發(fā)現(xiàn)它是矩 形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論； 實(shí)踐探究(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖 3中BC=13cm, AC=10cm,然后 提出一個(gè)問題：將4AC' D沿著射線DB方向平移acm,得到AA' C D',連接BD ', CC使四邊形BCC D'恰好為正方形，求 a的值.請(qǐng)你解答此問題.第4頁

6、(共13頁)4 .綜合與實(shí)踐問題情境如圖1, ACB和4DCE均為等邊三角形，點(diǎn) A, D, E在同一條直線上，連接 BE; 探究發(fā)現(xiàn)(1)善思組發(fā)現(xiàn)： ACDA BCE,請(qǐng)你幫他們寫出推理過程；(2)鉆研組受善思組的啟發(fā)，求出了/AEB度數(shù)，請(qǐng)直接寫出/ AEB等于 度；(3)奮進(jìn)組在前面兩組的基礎(chǔ)上又探索出了CD與BE的位置關(guān)系為 (請(qǐng)直接寫出結(jié)果)； 拓展探究(4)如圖2, 4ACB和 DCE均為等腰直角三角形，/ ACB = /DCE=90°，點(diǎn)A, D, E在同一條直線上， CM為4DCE中DE邊上的高，連接 BE,試探究CM, AE , BE之間 有怎樣的數(shù)量關(guān)系.創(chuàng)新組

7、類比善思組的發(fā)現(xiàn)， 很快證出 ACDA BCE,進(jìn)而彳#出AD=BE.請(qǐng)你寫出CM, AE, BE之間的數(shù)量關(guān)系并幫創(chuàng)新組完成后續(xù)的證明過程.5 .綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1,在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上， 老師讓同學(xué)們畫了等腰 RtABC和等腰RtADE, 并連接CE, BD.操作發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)?shù)妊黂tADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2,勤奮小組發(fā)現(xiàn)了：線段CE與線段BD之間的數(shù)量關(guān)系是 .直線CE與直線BD之間的位置關(guān)系是 .類比思考：（2）智慧小組在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考，如圖 3,若 ABC與 ADE都為 直角三角形，ZBAC=Z DAE= 90° ,且AC=2AB, AE=2AD,請(qǐng)你寫出CE與B

8、D的數(shù) 量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.拓展應(yīng)用：（3）創(chuàng)新小組在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步拓展研究，當(dāng)點(diǎn) E在直線AB 上方時(shí)，若 DE /AB,且AB=-/S, AD=1,其他條件不變，試求出線段 CE的長(zhǎng).（直 接寫出結(jié)論）第12頁（共13頁）6 .綜合與探究問題情境：在綜合實(shí)踐課上，李老師讓同學(xué)們根據(jù)如下問題情境，寫出兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論：如圖（1）,正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)。，點(diǎn)。又是正方形 OEFG的一個(gè)頂點(diǎn)（正方形 OEFG的 邊長(zhǎng)足夠長(zhǎng)），將正方形 OEFG繞點(diǎn)O做旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，OE與BC交于點(diǎn)M, OG與DC交 于點(diǎn)N.“興趣小組”寫出的兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是: Sa OMC + Sa ON

9、C =S 正方形 ABCD；4 BM2+CM2=2OM2.問題解決：（1）請(qǐng)你證明“興趣小組”所寫的兩個(gè)結(jié)論的正確性. 類比探究：（2）解決完“興趣小組”的兩個(gè)問題后，老師讓同學(xué)們繼續(xù)探究，再提出新的問題；“智 慧小組“提出的問題是：如圖（2）,將正方形OEFG在圖（1）的基礎(chǔ)上旋轉(zhuǎn)一定的角度， 當(dāng)0E與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M, 0G與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) N,則“興趣小組”所寫的 兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.【中考?jí)狠S題專題突破 48】綜合實(shí)踐與創(chuàng)新問題（4）參考答案與試題解析解：（1）依據(jù)1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例（或平行線分 線段成比例）.依據(jù)2:等腰三角形頂

10、角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高互相重合（或等腰三角形的“三線合一”）.答：點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上.理由：由問題情景知，AM ± DE , 四邊形DEFG是正方形，DE / FG, 點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上.(2)證明：過點(diǎn)G作GHLBC于點(diǎn)H, 四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上, ./ CBE=/ ABC = /GHC= 90° , ./ BCE+/ BEC=90° . 四邊形CEFG為正方形， .CG = CE, / GCE = 90° , ./ BCE+Z BCG = 90° . ./ BEC=/ BCG. . G

11、HCQCBE. HC = BE, 四邊形ABCD是矩形， . AD= BC. . AD=2AB, BE = AB, BC=2BE=2HC, HC = BH. GH垂直平分BC. 點(diǎn)G在BC的垂直平分線上.（3）答：點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上（或點(diǎn) F在AD邊的垂直平分線上） 證法一：過點(diǎn) F作FMLBC于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作ENXFM于點(diǎn)N. ./ BMN = /ENM = / ENF = 90° . 四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，CBE=Z ABC =90° ,四邊形BENM為矩形. .BM=EN, / BEN = 90° .1 + 72=90°

12、; .四邊形CEFG為正方形， EF= EC, / CEF= 90° .2+/ 3=90° .1 = / 3. . / CBE=Z ENF = 90° , . ENFA EBC.NE= BE.BM = BE. 四邊形ABCD是矩形， AD= BC. . AD=2AB, AB=BE.BC= 2BM.BM =MC. FM垂直平分BC. 點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上.2. (1)證明： DBE是由4ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到的， AFG是由 ABC繞 點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的.DE=AC = AF, /BAF=a, /DBE = /ABC= a, /D

13、EB = /C= a, ./ DEB = Z BAF, DE / AF, .DE= AF, 四邊形AFDE是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；(2)證明： DBE是由 ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的， AFG是由 ABC繞 點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的， .Z DBA=Z FAB = 90° , DB=AB = AF, ./ DBA+Z FAB= 180° ,DB / AF, .DB= AF, 四邊形DBAF是平行四邊形， . / DBA =90 °，平行四邊形 DBAF是正方形.(3)四邊形AEDG是平行四邊形.證明：:四邊形 ABDF是正方形， .

14、Z DFA=Z DBA = 90° , AB = DF又. / DBE = Z AFG= a, ./ EBA=Z GFD .在人8£和4 DFG 中，* ZEBA=ZGFDBE 二 GFABEADFG , . AE= DG ,又 DE=AG= AB,四邊形DEAG是平行四邊形.3.解：（1）如圖（2）對(duì)圖形進(jìn)行角標(biāo)注, D圖（2）AC= AC由題意可得：/ 1 = /2, / 2=/3, /1 = /4, .AC' / EC, AC / C' E, 四邊形ACEC'是平行四邊形.,. AC=AC',，四邊形ACEC'的形狀是菱形；(2

15、)證明：如圖3,作AELCC'于點(diǎn)E,由旋轉(zhuǎn)得：AC' = AC,則/ CAE=Z C' AE=-la= / BAC, 四邊形ABCD是菱形，BA= BC, ./ BCA=Z BAC, ./ CAE=Z BCA, .AE/BC,同理可得： AE/DC',BC / DC '.又 BC=DC', 四邊形BCC' D是平行四邊形. AE/ BC, / CEA= 90° ,. /BCC' =90° =180° /CEA=90° ,四邊形BCC' D是矩形；(3)如圖(3),過點(diǎn)B作BFXAC

16、,垂足為F, BA= BC,.-.CF= AF = -LaC=-Lx 10=5,22在 RtBCF 中，BF=fiC2_Cp2= 12,在 ACE和 CBF中，. Z CAE=Z BCF, Z CEA=Z BFC = 90° , ACEA CBF,CE_ 10.罵_=空1,即上L=BFBC12 13解得：EC =120| 13. AC=AC' , aelcc ,.CC' = 2CE = 2X120 2401313當(dāng)四邊形BCC D'恰好為正方形時(shí)，分兩種情況:點(diǎn)C在邊 C' C 上，a=C' C- 13 =2401313=7113點(diǎn)C在C

17、9; C的延長(zhǎng)線上，a=C' C+13240IT+13 =409綜上所述：a的值為:包或細(xì)13134. (1)證明：ACB和 DCE均為等邊三角形， .CA=CB, CD=CE, Z ACB = Z DCE = 60° , ./ ACB - Z DCB = Z DCE-/ DCB,即/ ACD = / BCE, 在 ACD和 BCE中，irCA=C&4 ZACU=ZBCE,tCD=CE：ACDA BCE (SAS);(2)解：. DCE為等邊三角形， ./ CDE = Z CED = 60° , ./ CDA= 120° , ACDA BCE, .

18、/ CEB=Z CDA= 120° , ./AEB=/CEB - / CEA=60° ,故答案為：60;(3)解：. / CDE=/AEB=60° , .CD / BE,故答案為：CD/BE;(4)解：AE= BE+2CM ,理由如下： ACB和 DCE均為等腰直角三角形， .CA=CB, cd=ce, . CD = CE, CM IDE,DM = ME , . / DCE= 90° , DM =ME, DE= 2CM, ./ ACB=Z DCE=90° , ./ ACD = Z BCE, 在 ACD和 BCE中， ；CA=C&，ZAC

19、D=ZBCE,CD=CE：ACDA BCE (SAS), AD= BE, . AE= AD + DE= BE+2CM .5.解：（1）如圖2中，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)O,交EC于H. AE=AD, AC = AB, / EAD = / CAB = 90° , ./ EAC=Z DAB,EACA DAB (SAS),EC= BD, / ECA = Z ABD, . Z ABD+Z AOB = 90° , /AOB = /COH, ./ ECA+Z COH= 90° , ./ CHO = 90° ,BD± EC,故答案為 EC=BD, BDXEC.（2

20、）結(jié)論：CE = 2BD, CE± BD .理由：如圖3中，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)O,交EC于點(diǎn)H. / BAC=Z DAE, ./ BAD = Z CAE,. AC=2AB, AE=2AD,，鯉=迪=1,ACAEABDA ACE,型=延=工，AE第14頁（共13頁） .CE=2BD, /ABD = /ACE,. Z ABD+Z AOB = 90° , /AOB = /COH, ./ ECA+Z COH= 90° , ./ CHO = 90° ,BD± EC.(3)如圖4中，當(dāng)DE/ AB時(shí)，設(shè) DE交AC于H,易證 AC± DE.,. AC=2AB, AB = >/5,.CH = AC-AH =在 RtAECH 中，EC =4.L/eh2k;h2=6.解：（1）二.正方形 ABCD的對(duì)角線相交于 O, Saboc = 's 正方形 ABCD, OB=OC, /BOC=90° , / OBM = Z OCN , 4 四邊形OEFG是正方形， ./ MON =90° , / BOC - / MOC = / MON -