江西理工大學(xué)2017級研究生計算方法習(xí)題討論

1、1.求一個次數(shù)不超過求一個次數(shù)不超過3 3的代數(shù)多項式的代數(shù)多項式P3(x),P3(x),滿足下列插值條件滿足下列插值條件并給出余項表達(dá)式并給出余項表達(dá)式。 xi123yi2412yi3解解: :這是一個非標(biāo)準(zhǔn)的插值問題這是一個非標(biāo)準(zhǔn)的插值問題, ,可以有多種解法可以有多種解法, ,其結(jié)果惟一其結(jié)果惟一 參考解法參考解法1:1:用構(gòu)造重節(jié)點的差商表法用構(gòu)造重節(jié)點的差商表法ix0 0階差商階差商一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商122422431312852 則則: : 61592) 3)(2)(1( 2) 2)(1() 1( 22)(233xxxxxxxxxxP其余項其余項 )3

2、()2)(1(! 4)()()()(2)4(xxxfxHxfxR參考解法參考解法2 2先求滿足插值條件的二次拉格朗日多項式先求滿足插值條件的二次拉格朗日多項式)23)(13()2)(1()3()32)(12()3)(1()2()31)(21 ()3)(2() 1 ()(2xxfxxfxxfxL6732)2)(1(121) 3)(1(42) 3)(2(22xxxxxxxx設(shè)所求的三次多項式為設(shè)所求的三次多項式為:) 3)(2)(1()()(23xxxAxLxL3)2(3L代代入入得得, 2A且滿足條件且滿足條件求得求得: :61592)3)(2)(1(2673)(2323xxxxxxxxxLba

3、xiiiiiiiiiiiyxyabxxx69 . 62223ab9 . 0, 1 . 2ba9 . 01 . 22xy2.2.用最小二乘法找出形如用最小二乘法找出形如的拋物型方程的拋物型方程, ,使之最佳使之最佳x-101y3.10.92.9解解: :法方程法方程 即即: : 解得解得: :, ,所以最小二乘所得的拋物型方程為所以最小二乘所得的拋物型方程為。表示表表示表2.12.1的數(shù)據(jù)。的數(shù)據(jù)。 表表2.12.13. 3. 給定數(shù)據(jù)給定數(shù)據(jù) x x1.301.301.321.321.341.341.361.361.381.38 f(x) f(x) 3.

4、602103.602103.903303.903304.255604.25560 4.673444.67344 5.177445.17744用復(fù)合辛普森方法計算用復(fù)合辛普森方法計算38. 130. 1)()(dxxffI的近似值，并估計誤差。的近似值，并估計誤差。 解解:51224231043224210022420041432101027. 0)(151)(:3439864. 0)()(2)()( 4)(604. 0)()(*4)(6)()(*4)(63440259. 017744. 525560. 4*460210. 3 630. 138. 1)()(4)(638. 1,36. 1,34.

5、 1,32. 1,30. 1SSSfIxfxfxfxfxfxfxfxfxxxfxfxfxxSxfxfxfxxSxxxxx誤誤差差210,ttt555556. 0,774597. 0,888889. 0, 0,555556. 0,774597. 0221100AtAtAt4.4.用復(fù)化梯形公式（取用復(fù)化梯形公式（取n=2n=2）和高斯）和高斯勒讓德公式勒讓德公式, ,取三個高斯點取三個高斯點。查表。查表:,計算如下積分計算如下積分dxxex1021)1 (解解: :由于被積函數(shù)在由于被積函數(shù)在x=0 x=0有奇點有奇點, ,故令故令t=t=xe1, ,則有則有1102221021)1ln() 1

6、(2)1 (exttdttdxxe所以所以8483. 1)1()21(2)0(221112efeffeTx其中其中: : 2)1ln() 1(2lim)0(2220tttft高斯高斯- -勒讓德求積勒讓德求積令令 1 , 1 1 , 0,2121txtx積分為積分為dttet11)5 . 05 . 0(11由高斯積分公式由高斯積分公式 672063. 1)774597. 0(555556. 0)0(888889. 0)774597. 0(555556. 0)()()(1122110011)5 . 05 . 0(ffftfAtfAtfAdttet5.5.求積公式求積公式) 0() 1 () 0(

7、)(01100fBfAfAdxxf設(shè)其誤差設(shè)其誤差R,R,試確定系數(shù)試確定系數(shù)010,BAA指出代數(shù)精度并確定誤差表達(dá)式。指出代數(shù)精度并確定誤差表達(dá)式。 解解: :依題意要確定依題意要確定 , ,令令 2, 1)(xxxf, ,代入積分公式兩端得代入積分公式兩端得: :010,BAA3121110110ABAAA解得解得: : 故故有有,61,32,31001BAA) 0(61) 1 (31) 0(32)(10fffdxxf再令再令: : 3)(xxf則則 41103dxx而而 右右邊邊左左邊邊,31) 0(61) 1 (31) 0(32fff所以該求積公式的代數(shù)精度最高為所以該求積公式的代數(shù)

8、精度最高為2 2確定誤差計算公式確定誤差計算公式, ,令令 即即),1 , 0(),( kfR)() 0(61) 1 (31) 0(32)( 10kffffdxxf令令 3)(xxf, ,則有則有: :416061131032)() 0(61) 1 (31) 0(32 103kkffffdxx解得解得: : )(721,721 fRk6.6.用列主元高斯消去法求下列方程組的解用列主元高斯消去法求下列方程組的解: :21 . 0301045132321321321xxxxxxxxx7.7.用追趕法求解三對角方程組用追趕法求解三對角方程組 12111131124321xxxx0221 8.8.給定

9、方程給定方程 01)(3xxxf(1)(1)分析該方程在分析該方程在1,21,2內(nèi)根的情況內(nèi)根的情況; ;(2)(2)用牛頓迭代法求用牛頓迭代法求x=1.5x=1.5附近的根附近的根, ,保留保留6 6位有效數(shù)字位有效數(shù)字. .Tn21)x,x,x(Xn1ii1xX212XnXXA1A19.證明：證明：a)對于向量對于向量, ,實值函數(shù)實值函數(shù)確定了向量確定了向量X X的一個范數(shù)；的一個范數(shù)；c)Ac)A為為n n階非奇異矩陣，則階非奇異矩陣，則b)b)要證明要證明n1ii1xX確定為一個范數(shù)確定為一個范數(shù), ,只需證明滿足向量范數(shù)的只需證明滿足向量范數(shù)的三個條件三個條件顯然顯然, , nii

10、xX11a,0 x, 0有有另另對對于于任任意意實實數(shù)數(shù)時時等等式式成成立立且且只只有有niininiXaxaxxxaaxaX111211)(又又: :1111111)(YXyxyxyxYXninininiiiiiii所以根據(jù)向量范數(shù)的定義所以根據(jù)向量范數(shù)的定義 n1ii1xX確定了向量確定了向量x x的一個范數(shù)的一個范數(shù). .(2)(2)22221221)(1,22221)(1,222222122221222212222122)(2)()(1()()(nnnjijijinnjijijinnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnxxxxxxnXn即即: :222122XXXn,從而有從而

11、有212XnXX(3)(3)由矩陣范數(shù)的的性質(zhì)有由矩陣范數(shù)的的性質(zhì)有AAIAAAA1111110.10.應(yīng)用改進(jìn)的歐拉方法求二階常微分方程的初值問題應(yīng)用改進(jìn)的歐拉方法求二階常微分方程的初值問題, ,在在h=0.1,x=0.1h=0.1,x=0.1的值的值. .102 . 0) 0 (y, 1 . 0) 0 (222 xyeyyyx2 . 0)0(, 1 . 0)0(222zyyzezzyx)(2)(2211211LLhzzKKhyynnnn解解: :令令: :改進(jìn)的歐拉公式為改進(jìn)的歐拉公式為其中其中)(2)(22211)(2212211hKyhLzeLhLzKyzeLzKnnhxnnnxnnn

12、代入數(shù)據(jù)得代入數(shù)據(jù)得: :0994829. 0) 1 . 0(116. 0) 1 . 0(zy11.11.均勻橫截面梁的撓度方程是均勻橫截面梁的撓度方程是: :10)1 ()(1 (2 . 0232 xxyy0)0(, 0)0(yy)(xyy ihxi2.0h取取步步長長)2 . 0(y設(shè)初始條件設(shè)初始條件, ,試求梁的撓度試求梁的撓度在結(jié)點在結(jié)點處的值處的值,，試用四階龍格試用四階龍格-庫塔方法庫塔方法 。 計算計算二分法求根函數(shù)二分法求根函數(shù)function bisect(fun,a,b,tol)function bisect(fun,a,b,tol)if nargin4,tol=5if

13、nargintol %while abs(a-b)tol %循環(huán)循環(huán)( (二分二分) )條件條件x=(a+b)/2; x=(a+b)/2; fx=feval(fun,x);fx=feval(fun,x);12.12. 試編寫一個二分法求根程序試編寫一個二分法求根程序, ,求下列非線性方程求下列非線性方程在在1,21,2內(nèi)的一個根。初值內(nèi)的一個根。初值x0=1,x0=1,精度精度5 5* *1010-6.-6. .2sin)(2xxxf語言可選用語言可選用matlabmatlab或或c c或你最熟悉的或你最熟悉的程序設(shè)計語言程序設(shè)計語言. .if sign(fx)=sign(fa) %fxif sign(fx)=sign(fa) %fx與與fafa同號同號 a=x;a=x; fa=fx; fa=fx;else if sign(fx)=sign(fb) %fxelse if sign(fx)=sign(fb) %fx與與fbfb同號同號 b=x;b=x; fb=fx; fb=fx;else return;else return;endendendendfunction v=fun(x)function