重點中學高三第二輪-復數(shù)

1、高三第二輪復習 復數(shù)一本章知識結構數(shù)的概念的發(fā)展復數(shù)的概念復數(shù)的向量表示復數(shù)的代數(shù)形式復數(shù)的幾何意義共軛復數(shù)與復數(shù)的模復數(shù)的四則運算二學習內容和要求（一）學習目標1了解引進復數(shù)的必要性，數(shù)集的擴展過程及復數(shù)的分類表；2理解復數(shù)的有關概念；3掌握復數(shù)的代數(shù)形式；4掌握復數(shù)的代數(shù)形式的運算法則；5能進行復數(shù)的加、減、乘、除運算；6掌握某些特殊復數(shù)的運算特征7能在復數(shù)集中因式分解、解一元二次方程等。（二）本章知識精要1復數(shù)的概念：（1）虛數(shù)單位i；（2）復數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi，(a, bR)；（3）復數(shù)的實部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)。2復數(shù)集 3復數(shù)的四則運算 若兩個復數(shù)z1=a1+b1i，z2=a

2、2+b2i，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）減法：z1z2=(a1a2)+(b1b2)i；（3）乘法：z1·z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i；（4）除法：；（5）四則運算的交換率、結合率；分配率都適合于復數(shù)的情況。（6）特殊復數(shù)的運算： (n為整數(shù))的周期性運算； (1±i)2=±2i； 若=+i，則3=1，1+2=0.4共軛復數(shù)與復數(shù)的模（1）若z=a+bi，則，為實數(shù)，為純虛數(shù)(b0).（2）復數(shù)z=a+bi的模，|a|=, 且=a2+b2.三學習方法與指導（一）學習方法點撥：1數(shù)的概念是從實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起

3、來的。隨著生產(chǎn)和科學的發(fā)展，書的概念也不斷的被擴大和充實，從自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集到實數(shù)集的每一次擴充，推動了生產(chǎn)的進一步發(fā)展，也使數(shù)的理論逐步深化和發(fā)展，復數(shù)最初是由于解方程得需要產(chǎn)生的，后來由于在科學技術中得到應用而進一步發(fā)展。要求熟悉我們已經(jīng)學過的各種數(shù)集之間的內在聯(lián)系。理解復數(shù)在其中所起到的重要作用，和各種數(shù)集之間的包含關系，即.2復數(shù)a+bi(a, bR)由兩部分組成，實數(shù)a與b分別稱為復數(shù)a+bi的實部與虛部，1與i分別是實數(shù)單位和虛數(shù)單位，當b=0時，a+bi就是實數(shù)，當b0時，a+bi是虛數(shù)，其中a=0且b0時稱為純虛數(shù)。應特別注意，a=0僅是復數(shù)a+bi為純虛數(shù)的必要條件

4、，若a=b=0，則a+bi=0是實數(shù)。3根據(jù)兩個復數(shù)相等的定義，設a, b, c, dR，兩個復數(shù)a+bi和c+di相等規(guī)定為a+bi=c+di. 由這個定義得到a+bi=0.兩個復數(shù)不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。兩個復數(shù)相當?shù)亩x實際上給出了將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題的方法，是求復數(shù)值、在復數(shù)集中解方程得重要依據(jù)。4復數(shù)a+bi的共軛復數(shù)是abi，若兩復數(shù)是共軛復數(shù)，則它們所表示的點關于實軸對稱。若b=0，則實數(shù)a與實數(shù)a共軛，表示點落在實軸上。5復數(shù)的加法、減法、乘法運算與實數(shù)的運算基本上沒有區(qū)別，最主要的是在運算中將i2=1結合到實際運算過程中去。如(a+bi)(abi)=

5、a2(bi)2=a2b2i2=a2+b2. 6復數(shù)的除法是復數(shù)乘法的逆運算將滿足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0)的復數(shù)x+yi叫做復數(shù)a+bi除以復數(shù)c+di的商。由于兩個共軛復數(shù)的積是實數(shù)，因此復數(shù)的除法可以通過將分母實化得到，即.7復數(shù)a+bi的模的幾何意義是指表示復數(shù)a+bi的點到原點的距離。（二）典型例題講解1復數(shù)的概念例1實數(shù)m取什么數(shù)值時，復數(shù)z=m+1+(m1)i是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？（4）對應的點Z在第三象限？解：復數(shù)z=m+1+(m1)i中，因為mR，所以m+1，m1都是實數(shù)，它們分別是z的實部和虛部， （1）m=1時，z是實數(shù)； （2）m

6、1時，z是虛數(shù)；（3）當時，即m=1時，z是純虛數(shù)；（4）當時，即m<1時，z對應的點Z在第三象限。例2已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y.解：根據(jù)復數(shù)相等的意義，得方程組，得x=, y=4.例3已知x與y實部相等，虛部互為相反數(shù)，且(x+y)23xyi=46i，求x, y.解：由題意設x=a+bi，y=abi (a, bR)，則代入原式得(2a)23(a2+b2)i=4bi，或或或， 或或或.例4當m為何實數(shù)時，復數(shù)z+(m2+3m10)i；（1）是實數(shù)；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù) 解：此題主要考查復數(shù)的有關概念及方程（組）的解法 （1）z為實數(shù)，則虛部m2

7、+3m10=0，即，解得m=2， m=2時，z為實數(shù)。（2）z為虛數(shù)，則虛部m2+3m100，即，解得m2且m±5. 當m2且m±5時，z為虛數(shù)，解得m=, 當m=時，z為純虛數(shù) 詮釋：本題應抓住復數(shù)分別為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時相應必須具備的條件，還應特別注意分母不為零這一要求例5計算：ii2i3+i2005. 解：此題主要考查in的周期性ii2i3+i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003i2004)i2005 =(i1i+1)+ (i1i+1)+(i1i+1)+i 000+ii. 或者可利用等比數(shù)列的求和公式來求解（略） 詮釋：本題應抓

8、住in的周期及合理分組例6當為何值時，z1z2，其中：z11sinicos，z2=.解：此題主要考查復數(shù)相等的充要條件及有關三角函數(shù)的知識 z1z2, 1sinicos=, 即， ， 無解，即不存在。詮釋：本題應抓住復數(shù)相等的充要條件例7已知x、y、tR，t1且 t0，求滿足xyi=時，點(x, y)的軌跡方程。解：此題主要考查復數(shù)相等的充要條件，軌跡方程的求法 xyi=， ， xy=1, 點(x，y)的軌跡方程為xy1，它是以x軸、y軸為對稱軸，中心在(0，0)的等軸雙曲線詮釋：本題應抓住復數(shù)相等的充要條件及消參數(shù)來求點的軌跡方程。例8使不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立的實數(shù)

9、m .解：此題主要考查復數(shù)能比較大小的條件及方程組和不等式的解法 m2(m23m)i(m24m3)i10, 且虛數(shù)不能比較大小，解得， m=3.當m3時，原不等式成立詮釋：本題應抓住復數(shù)能比較大小時必須都為實數(shù)這一條件。例9已知z=xyi(x，yR)，且 ，求z解：本題主要考查復數(shù)相等的充要條件及指數(shù)方程，對數(shù)方程的解法 ，解得或, z2i或z12i詮釋：本題應抓住復數(shù)相等的充要條件這一關鍵，正確、熟練地解方程（指數(shù)，對數(shù)方程）例10已知x為純虛數(shù)，y是實數(shù)，且2x1iy(3y)i，求x、y的值解：本題主要考查復數(shù)的有關概念，實數(shù)與i的運算，復數(shù)相等的充要條件，方程組的解法設xti (tR，且

10、t0），則2x1iy(3y)i可化為2ti1iy(3y)i，即(2t1)i1=y(3y)i，, y=1, t=, x=i.2復數(shù)的四則運算例1計算：（1），nN+； （2）若=+i，3=1，計算；（3）；（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99.解：（1）= =.（2）= =2.（3）由于, , = =8.（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(97+98i99100i)=25(22i)=5050i.例2已知復數(shù)z滿

11、足|z2|=2，z+R，求z.解：設z=x+yi, x, yR，則z+=z+， z+R， =0， 又|z2|=2, (x2)2+y2=4,聯(lián)立解得，當y=0時, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此時z=0)，當y0時, , z=1±, 綜上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1i.例3設z為虛數(shù)，求證：z+為實數(shù)的充要條件是|z|=1.證明：設z=a+bi (a, bR，b0)，于是z+=(a+bi)+,所以b0, (z+)Rb=0a2+b2=1|z|=1.例4復數(shù)z滿足(z+1)(+1)=|2，且為純虛數(shù)，求z.解：設z=x+yi (x, yR)，則(z+1)(+1)=|2+z+

12、1=|2， z+1=0，z+=1，x=.=為純虛數(shù)， x2+y21=0, y=±, z=+i或z=i.例5復數(shù)z滿足(1+2i)z+(310i)=434i，求z.解：設z=x+yi (x, yR)，則(1+2i)(x+yi)+(310i)(xyi) =434i，整理得(4x12y)(8x+2y)i=434i. , 解得, z=4+i.例6設z是虛數(shù)，=z+是實數(shù)，且1<<2，（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；（2）設u=，求證u為 純虛數(shù)；（3）求u2的最小值。解：（1）設z=a+bi (a, bR, b0)，則=，由于是實數(shù)且b0， a2+b2=1，即|z|=1，

13、由=2a, 1<<2, z的實部a的的取值范圍是(, 1).（2）u=，由于a(, 1), b0， u是純虛數(shù)。（3）u2=2a+ =, 由于a(, 1)， a+1>0，則u22×23=1，當a+1=, 即a=0時，上式取等號，所以u2的最小值為1.例7證明：1 解：此題考查復數(shù)的運算、模的定義，共軛復數(shù)的性質等 設zabi，(a, bR)，則 =. 解2： ， =.詮釋：此題抓住模的定義或共軛復數(shù)的性質來求解例8(2002年高考)已知復數(shù)z1i，求實數(shù)a，b使az+2b(a2z)2 解：此題主要考查共軛復數(shù)，復數(shù)的四則運算，復數(shù)的相等 z1i，az+2b(a2b)

14、(a2b)i， (a2z)2(a2)244(a2)i=(a24a)4(a2)i ，解得.例9若復數(shù)z滿足z=(tR)，求z的對應點Z的軌跡方程 解：此題主要考查復數(shù)的四則運算，點的軌跡方程的求法等 設zxyi，(x, yR)， z=， ，消去參數(shù) t，得x2y2= 1，且x1 所求方程為x2y21（x1） 詮釋：解此題應抓住復數(shù)相等的充要條件，從而得到參數(shù)方程，消去參數(shù)，或者利用模的定義和性質，求出|z|即可例10已知復數(shù)z滿足|z|5，且(3+ 4i)z是純虛數(shù)，求z 解：此題主要考查復數(shù)的有關概念，復數(shù)的運算，模的定義及計算 設 zxyi（x, yR）, |z|5，x2y225, 又(34

15、i)z=(34i)(xyi)(3x4y)+(4x3y)i是純虛數(shù)， ， 聯(lián)立三個關系式解得， z=43i或z43i詮釋：解此題應抓住純虛數(shù)的定義和模的定義而得到方程組，正確解方程組即可例11設是純虛數(shù)，求復數(shù)z對應的點的軌跡方程 解：此題主要考查復數(shù)的有關概念及性質，四則運算和點的軌跡方程的求法 是純虛數(shù)， ，即, ， 2z+z+=0，(z0，z1)， 設z=xyi，(x，yR)，2(x2y2)2x0（y0） (x)2y2（y0）它為復數(shù)z對應點的軌跡方程 詮釋：解此題應抓住虛數(shù)的定義和共扼復數(shù)的性質，利用運算法則進行求解。（三）單元檢測一、選擇題：1設f(a)=(nN)，則集合f(n)中元素

16、的個數(shù)為（ ） A4 B3 C2 D12已知等比數(shù)列的第100項為2i，第300項為200i，則它的第200項為（ ） A20 B± 20 C198i D 202i3設條件甲：x=0，條件乙：xyi（x，yR）是純虛數(shù)，則（ ） A甲是乙的充分非必要條件 B甲是乙的必要非充分條件 C甲是乙的充分必要條件 D甲是乙的既不充分，又不必要條件4已知關于x的方程x2(2i1)x3mi0有實根，則實數(shù)m應取的值是（ ） Am Bm Cm= Dm=5有下列命題： 若zC，則z20； 若z1，z2C，z1z2>0，則z1>z2； 若a>b，則ai>bi其中，正確命題的個數(shù)為

17、（ ） A3 B2 C1 D06設R+，R，M分別表示正實數(shù)集，負實數(shù)集，純虛數(shù)集，則集合加m2| mM是（ ） AR+ BR CR+R DR07等于（ ） A0 B1 C1 Di8設f(z)|1+z|，若f()103i，則z等于（ ） A53i B53i C53i D53i9方程x2(k+2i)x2ki0至少有一實根的條件是（ ） A2k2 Bk2或k2 Ck=±2 Dk210若23i是方程x2+mx+n0的一個根，則實數(shù)m，n的值為（ ） Am4，n=3 Bm=4，n13 Cm4，n=21 Dm=4，n511在復平面上，復數(shù)z所對應的點在二、四象限的角平分線上，則z2所對應點的軌

18、跡是（ ） Ay軸 By軸正半軸 Cy軸負半軸 Dx軸二、填空題：12計算：i29+i30+ i31i32+i250 .13設mR，z(2i)m23(1i)m2(1i)，當m= 時，zR；當m= 時，z為純虛數(shù)14已知下列命題： （1）在復平面中，x軸是實軸，y軸是虛軸； （2）任何兩個復數(shù)不能比較大?。?（3）任何數(shù)的偶次冪都是非負數(shù)； （4）若 tsi=34i，則 t=3、s=4 其中真命題為 15若復數(shù)z滿足z+|=12i，則z= .16設zC，|z|=1，則|z+i|的最大值為 .三、解答題：17設z=(a2ab)+，試判斷復數(shù)z能否為純虛數(shù)？并說明理由18關于x的方程a(1+ i)x2+(1+a2i)x+a2i=0 (aR）有實根，求a的值及方程的根19已知關于t的一元二次方程 t2(2i)t2xy(xy)i=0（x、yR），當方程有實根時，求點(