第三講三角形的等面積變形

1、第三講三角形的等面積變形第一個模型：面積比例關系模型在這個模型中，有“同高模型”、“鳥頭模型”等需要同學們掌握。例1. 如圖，BDA長12厘米，DC長4厘米，B、C和D在同一條直線上。（1）求三角形ABC的面積是三角形ADC面積的多少倍？（2）求三角形ABC的面積是三角形ADC面積的多少倍？分析：AB H D C(1)三角形ABC和三角形ABD共用一個頂點、并且這個頂點的對邊分別在同一條直線上，因此，這樣的兩個三角形是高是相同的三角形,都是AH線段的長度。我們簡單記為“同高模型”。顯然三角形ABC的面積與三角形ADC的面積之比為他們的底邊BC與DC長度之比。BC=12+4=16厘米，即：=16

2、：4=4：1.因此，三角形ABC的面積是三角形ADC的4倍。（2）分析方法同上，=BD:DC=12:4=3:1.所以，三角形ABC的面積是三角形ADC面積的三倍?？偨Y：“同高模型”的三角形面積之比等于底邊長之比，像例1就是“同高模型”。拓展1如右圖，AE在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米。DE=3厘米。求三角形ABC的面積是三角形EBC面積的幾倍？EBDC分析：三角形ABC的面積=BC×AD÷2，而三角形EBC的面積=BC×ED÷2,所以面積之比為AD:ED=12:3=4:1?？偨Y：這是典型的“同底模型”，面積之比等于高之比。拓展2，如圖，在三角形A

3、BC中，D是BC中點，E是AD中點，連結BE、CE,那么與三角形ABE等積的三角形一共有哪幾個三角形？AEBDC分析：D是中點，所以=BD:DC=1:1.即，三角形ABD面積等于三角形ADC的面積；E是AD的中點，所以三角形AEB等于三角形BED的面積都等于三角形ABD面積的一半，也就是三角形ABC面積的四分之一，同理三角形AEC的面積等于三角形EDC的面積都等于三角形ADC面積的一半，即等于三角形ABC面積的四分之一。所以，與三角形ABE面積相等的有三個：三角形AEC,BED,DEC.轉化為“同高模型”的“鳥頭模型”。例2，（第四屆“迎春杯”試題）如圖，三角形ABC的面積為1，其中AE=3A

4、B,BD=2BC,三角形BDE的面積是多少？ A B EC分析：方法一：連結CE.此時出現(xiàn)兩個“同高”模型，D因為AE=3AB，所以AB:BE=1：2，所以三角形ABC面積：三角形BCE面積=1：2，三角形ABC面積為1，所以三角形BCE的面積為2，又因為BD=2BC，所以BC:CD=1：1，所以三角形BCE的面積：CDE的面積=1：1，所以三角形CDE的面積是2，所以三角形BDE的面積是4.方法二：AB ECD如圖，連接AD,因為BC:CE=1：1，所以三角形ACD的面積：三角形ABC的面積=1：1，所以三角形ACD的面積=1，三角形ABD的面積=2，因為AB:BE=1:2,所以三角形ADE

5、的面積為4.拓展1，三角形ABC被分成了甲、乙兩部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面積是甲部分面積的幾倍？A甲乙EBCD方法一：連接EC，因為BD:DC=1:1,設甲部分面積是1個單位，那么三角形EDC的面積為1個單位，所以三角形BCE的面積為2個單位，因為BE:AE=3:6=1:2,所以三角形ACE的面積為4個單位，所以乙部分的面積為4+1=5個單位，所以乙部分面積是甲部分面積的5倍。方法二：A乙甲EBDC連接AD.因為BE=3,AE=6,所以BE:AE=3:6=1:2,設甲部分的面積為1個單位，那么三角形AED的面積為2個單位，這樣ABD的面積為3個單位，因為BD:CD=1:

6、1,所以三角形ADC的面積也為3個單位，這樣乙部分的面積為3+3-1=5個單位，所以乙部分是甲部分面積的5倍。注意：B拓展1中的模型我們稱為“鳥頭模型”。D ACE“鳥頭定理”：如圖三角形ABC中CD:BC=a:b,EC:AC=c:d，那么鳥頭部分即三角形CED的面積與三角形ABC的面積之比為：（a×c）：（a+b）×(c+d)。這個證明我們會在暑假班講解。第二個模型：平行線間等面積模型。例3，正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長為10厘米，則圖中三角形BDF面積為多少平方厘米？ADGFHBEC分析:連接CF.則CFBD。則三角形BCD與三角形BDF就是這兩

7、條平行線之間的等積模型。因為他們有一條公共的底邊BD，而他們的高的長度正好是這兩條平行線之間的距離，兩條平行線之間的距離處處相等（這個是平行線之間距離的性質(zhì)），所以這兩個三角形的高相等。所以面積相等，而三角形BDC的面積為10×10÷2=50（平方厘米）。拓展1，下圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，求三角形ABC的面積。ABFED C分析：連接AD。則ADBC，而三角形BCD與三角形BCA就是這兩條平行線之間的等積模型。所以面積相等，都是4×4÷2=8平方厘米?？偨Y：一般，兩個正方形像例3或者像拓展1這樣放置時候，我們可以考慮連接對角

8、線。例4，圖中三角形AOB的面積為15平方厘米,線段OB的長度為OD的3倍，求梯形ABCD的面積。ADO BC三角形AOB的面積為15平方厘米，OB:OD=3：1，所以三角形AOD的面積為5平方厘米，而梯形中ADBC,所以三角形ADC與三角形ADB是平行線間的等積模型，所以他們面積相等，而他們的重疊部分是三角形AOD，所以都減去這部分之后就剩下三角形AOB與三角形DOC,所以面積也相等，所以三角形DOC的面積為15平方厘米。同樣因為OD:OB=1:3,所以三角形DOC面積：三角形BOC的面積=1：3，所以三角形BOC的面積為45平方厘米。所以梯形面積為15+15+5+45=80平方厘米。 拓展

9、1如下圖，在平行四邊形ABCD中，直線CF交AB于E，交DA延長線于F,若三角形ADE的面積為1，求三角形BEF的面積。 C BED A F分析：連接AC，因為DCAB,所以三角形ADE和三角形ACE的面積相等，這樣把三角形ADE的面積轉化成求ACE的面積，又因為AFBC,所以三角形ABC的面積與三角形BCF的面積相等，而他們的重疊部分為三角形CBE的面積，所以都去掉它之后剩下的面積也相等，即三角形ACE與三角形BEF的面積相等。所以三角形BEF的面積為與三角形ADE的面積也相等，即是1個單位。拓展2，三個正方形ABCD、BEFG、FHKP如圖排列，正方形BEFG的邊長是3厘米，求三角形DEK

10、的面積。DCG F PHKAB E連接FK 、GE、 DB，則這三條線段所在直線平行，所以三角形GEK與三角形GEF是GE 與FK之間的等積模型，所以三角形GEK與三角形GEF的面積為3×3÷2=4.5（平方厘米），同理GE 與DB平行，所以三角形GEB與三角形GEB的是這兩條平行線之間的等積模型，所以三角形GED的面積為3×3÷2=4.5（平方厘米）?！耙话肽Ｐ汀痹陂L方形中或者平行四邊形中，三角形AEB的面積是長方形或者平行四邊形面積的一半如下圖：注意：E點是在對邊DC上任意取的點。EDCDECAB ABAD EBCADEBC另外一類“一半模型”如下圖

11、所示：三角形AEB與三角形DEC的面積之和為平行四邊形或者長方形面積的一半兒。DCDCEEABAB例5.如圖所示，四邊形ABCD與四邊形AEGF都是平行四邊形，請你說明它們的面積相等。FABGDCE證明：連接EB。則三角形AEB的面積為平行四邊形ABCD的一半，并且也為平行四邊形AEGF面積的一半，即這兩個平行四邊形的面積都等于三角形AEB的二倍，所以他們相等。E例6，將右圖長方形的長和寬都分成三等份，長方形內(nèi)任意一點與長方形頂點及所有分點連接，已知長方形的面積是20平方厘米，求陰影部分面積。651423陰影部分的1、2、4、5部分面積和=長方形的長×寬÷2=長方形面積的倍

12、，而3、6部分的面積=長×寬÷2=長方形面積的，所以陰影部分的面積為長方形面積的+=倍，所以陰影部分的面積是×20=10（平方厘米）。學案1如圖，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面積等于1，那么三角形ABC的面積是多少？ADEBC分析：連接BE。因為AD:AB=1：5 ,所以三角形ADE的面積為1個單位，那么三角形ABE的面積為5個單位，因為AE:AC=1：3，所以三角形ABE的面積：三角形ABC的面積=1：3，所以三角形ABC的面積為：3×5=15.另外一種做輔助線的方法：請同學們自己試一試吧。學案2， FABBC

13、DE如上圖，已知三角形ABC的面積為1，延長AB至D,使BD=AB,延長BC至E,使CE=2BC,延長CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面積。分析：連接CD,AE.因為AB:BD=1:1,所以三角形DBC的面積：三角形ABC的面積=1：1，所以也是1個單位，因為BC:CE=1:2,所以三角形DCE的面積為2個單位，同理三角形ACE的面積也是2個單位，因為AC:AF=1:3,所以三角形AEF的面積為6個單位，因為三角形ADC的面積為2個單位，而AC:AF=1:3,所以三角形ADF的面積為6個單位，這樣DEF的面積為6+6+2+2+1+1=18個平方單位。學案3AEDFGHOBC如圖所示，

14、長方形ABCD的長是12厘米，寬是8厘米，三角形CEF的面積是32平方厘米，則OG是多少厘米？分析：方法一：作EHFG,三角形EFO的面積=FO×EH÷2,三角形CFO的面積=FO×CG÷2,而三角形CEF的面積=三角形EFO的面積+三角形CFO的面積，即32= FO×EH÷2+ FO×CG÷2=FO×(EH+CG)÷2=FO×CD÷2=FO×8÷2,所以FO=32×2÷8=8(厘米)，所以OG=12-8=4(厘米)；方法二：如下圖，E

15、DOFGC連接FD、OD,則三角形OFD與三角形OFE是等積三角形，所以面積相等，所以凹四邊形CFDO的面積等于三角形CEF的面積，都是32平方厘米，而CDF的面積為長方形面積的一半模型，所以等于長方形面積的一半，即12×8÷2=48（平方厘米），所以三角形CDF的面積=48-32=16（平方厘米），所以OG=16×2÷8=4（厘米）。學案4如下圖所示，已知三角形BEC的面積等于20平方厘米，E是AB邊上靠近B點的四等分點。三角形AED的面積是多少平方厘米？平行四邊形DECF的面積是多少平方厘米？EABDCFAE:EB=3:1,而三角形AED與三角形BE

16、C的高相等，都等于平行四邊形ABCD的高，所以面積之比等于AE:CE=3:1,所以三角形ADE的面積=3×20=60（平方厘米）。而三角形DEC的面積又是平行四邊形DECF的一半，所以DECF的面積等于60×2=120（平方厘米）。家庭作業(yè)：1. 如圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC,連接BE、AE、CF、BF，那么與三角形BEC等積的三角形一共有哪幾個？AFDEBC答案：三角形AEC、三角形AFC、三角形ABF。2，如圖，在梯形ABCD中，共有八個三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對？ADOBC答案：三角形ABD與三角形ACD、三角形ABC與三角形BCD、三角形A

17、BO與三角形DCO.2. 如圖，三角形ABC的面積為1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面積是多少？ BEACD方法一：連接CE.(請同學們自己試一試)。方法二：ABECD連接AD.因為BC:BD=1:2,所以三角形ABC的面積：三角形ADB=1：2，所以三角形ADB的面積等于2個單位；因為BE:AB=2:1,所以三角形BED的面積：三角形ADB的面積=2：1，所以三角形BDE的面積為4個單位。4， 如圖，把四邊形ABCD改成一個等積的三角形。DACB方法一：DACEB方法二：EDACB仍然連接BD,過A做BD的平行線交CD的延長線于點E,連接BE.則三角形EBC的面積等于四邊形ABCD的面積。方法三：DACBE三角形AED即為所作的三角形。方法四：E DACB三角形ABE即為所做的三角形。方法五：DACBE三角形ADE即是所作的三角形。方法六：DAECB三角形DCE即是所作的三角形。方法七：DAEBC三角形ABE即是做作的三角形。方法八：EDACB三角形BCE即是所作的三