三角函數(shù)論文

1、 三角函數(shù) 摘 要三角函數(shù)具有公式多、思想豐富、變化靈活、滲透性強等特點，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在教學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。本文將對一些關(guān)于三角函數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用做簡單的討論。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 三角函數(shù) 定義 運用1 引言 三角學(xué)的發(fā)展，由起源迄今差不多經(jīng)歷了三四千年之久，在古代，由于古代天文學(xué)的需要，為了計算某些天體的運行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時，往往把解球面三角形的問題歸結(jié)成解平面三角形，這些問題的積累便形成了所謂古代球面三角學(xué)古代平面三角學(xué)；雖然古代球面三角學(xué)的發(fā)展早于古代平面三角學(xué)，但古代平面三角學(xué)卻是古代球面三角學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)。在古希臘，為了便

2、于觀察天體的運行及解球面三角形著名天算家托勒密(Ptolemy,約87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,約公元前180-125)的基礎(chǔ)上，也編制了所謂“弦表”，他藉助于幾何知識，編制了弦長表，在編制中，也曾發(fā)現(xiàn)一些球面三角學(xué)與平面三角學(xué)的關(guān)系式，并且計算過弧的弦長；可是，希臘人卻未引用“余弧的弦”或“余弦”這類名稱。 世紀，希臘文化傳入印度以及阿拉伯在這些國家里，不但提出“正弦”一詞還以幾何方法定義了“余弦線”“正切線”“余切線”以及“正矢線”的意義并編制了各種三角表；其編制方法雖不相同，但編制的數(shù)值卻相當精密，對三角學(xué)提供了不少貢獻；阿拉伯天文學(xué)家納速拉丁(Nasir al-D

3、in al-Tusi,1201-1274)在他的著作論四邊形里，首先把三角學(xué)從天文學(xué)中分割出來，看作為一門獨立的學(xué)科。2三角函數(shù)定義三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們本質(zhì)上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數(shù)具有周期性，所以并不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有重要的應(yīng)用，在物理學(xué)中也是常用的工具。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。3銳角三角函數(shù)在直角三角形ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，C為直角。則定義以下運算方式： sin A=A

4、的對邊長/斜邊長，sin A記為A的正弦；sinAa/c cos A=A的鄰邊長/斜邊長，cos A記為A的余弦；cosAb/c tan A=A的對邊長/A的鄰邊長， tanAsinA/cosAa/ b tan A記為A的正切； 當A為銳角時sin A、cos A、tan A統(tǒng)稱為“銳角三角函數(shù)”。 sinAcosB sinBcosA 4常見三角函數(shù)在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)OP=r，P點的坐標為(x,y)。 在這個直角三角形中，y是的對邊，x是的鄰邊，r是斜邊，則可定義以下六種運算方法： 圖一 表一基本函數(shù)表達式語言描述正弦函數(shù)sin =y/r角的對邊比

5、斜邊余弦函數(shù)cos =x/r角的鄰邊比斜邊 正切函數(shù)tan =y/x角的對邊比鄰邊余切函數(shù)cot =x/y角的鄰邊比對邊正割函數(shù)sec =r/x角的斜邊比鄰邊余割函數(shù)csc =r/y角的斜邊比對邊 、5 實際應(yīng)用在實際生活中，有許多周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來模擬，如物理中簡諧振動、交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題；很多最值問題都可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決，如天氣預(yù)報、建筑設(shè)計、航海、測量、國防中都能找到神奇的三角函數(shù)的影子。因而三角函數(shù)解決實際問題應(yīng)用極廣、滲透能力很強。6最值問題三角函數(shù)的最值問題不僅與三角自身的所有基礎(chǔ)知識密切相關(guān),而且與代數(shù)中的二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識的聯(lián)系也很密切。因此,三角函數(shù)的最值問題的求解,不僅需要用到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、圖象以及三角函數(shù)的恒等變形,還經(jīng)常涉及到函數(shù)、不等式、方程以及幾何計算等眾多知識。這類問題往往概念性較強,具有一定的綜合性和靈活性。 總之，設(shè)“角”求解的應(yīng)用題一般涉及到角與邊之間的相互關(guān)系，對這類問題，有的雖然可以用邊為變量建立函數(shù)關(guān)系，但往往求解比較困難。用“角變量”建立函數(shù)關(guān)系后的求解過程是這類問題的另一難點，一般可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識，如正弦、