數(shù)列常見解題方法

1、數(shù)列解題方法一、基礎(chǔ)知識:數(shù)列：1 .數(shù)列、項的概念：按一定的魚排列的一列數(shù)，叫做數(shù)列,其中的 每一個數(shù)叫做數(shù)列的項.2 .數(shù)列的項的性質(zhì)：有序性,；1隹性-；可重復(fù)隹,.3 .數(shù)列的表示：通常用字母加右下角標表示數(shù)列的項，其中右下角標表 示項的位置序號，因此數(shù)列的一般形式可以寫成a , Q2 , Q3 ,Qn , (.),簡記作.其中如是該數(shù)列的第旦項，列表圖氧技符號法、列舉法、解析法、公式法(通項公式、遞推公式、求和公 式)都是表示數(shù)列的方法.4 .數(shù)列的一般性質(zhì)：單調(diào)性：周期性.5 .數(shù)列的分類：按項的數(shù)量分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列；夠相鄰項的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列

2、、 其他；按項的變化規(guī)律分：差一數(shù)列、.比數(shù)列、其他；按項的變化范圍分：有界數(shù)列、無界數(shù)列.6 .數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列兩的第萬項商與它的序號n之間的函數(shù) 關(guān)系可以用一個公式(“).,5國上速會釗版集£1 ,2二L n)來表示,那么這個公式叫做這個委攵列的.通項公式.數(shù)列的項是 蓿藪列中一個確定的數(shù)，是函數(shù)值，而序號是指數(shù)列中項的位置,是自 變量的值.由通項公式可知數(shù)列的圖象是更醺_，點的橫坐標是 項 的序號值，縱坐標是各項的值.不是所有的數(shù)列都有通項公式讖列的通項公式在形式上未必唯一.7 .數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列6的第一項(或前幾項)，且任一項 Q/7與它的前一項Qn-1

3、(或前幾項0.1 , On-2，)間關(guān)系可以用一個公式 ( a- ) ( c=2 3)(或 %( q a)m=3,4,5 ,)、)猱關(guān),那么這個公式叫做這個數(shù)別的 遞罹公式一8 .數(shù)歹!I的求和公式：設(shè)Sn表示數(shù)歹lQn和前n項和，即S產(chǎn)二Qi+Q2+. i=l+如，如果Sn與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式Sn=/(n)(n=1 f2, 3,)來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的盅畛五.9.通項公式與求和公式的關(guān)系：通項公式如與求和公式的關(guān)系可表示為：),、 3“一，T(n2 2)等差數(shù)列與等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列文 字 定 義一般地，如果一個數(shù)列從第二 項起，每一項與它的刖一項的 差是同

4、一個常數(shù)，那么這個數(shù) 列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫 等差數(shù)列的公差。一般地，如果一個數(shù)列從第二 項起，每一項與它的前一項的 比是同一個常數(shù)，那么這個數(shù) 列就叫等比數(shù)列，這個常數(shù)叫 等比數(shù)列的公比。符 號 定 義必二q(q工0)分 類遞增數(shù)列：d>。 遞減數(shù)列：d<0 常數(shù)數(shù)列：d =。遞增數(shù)列：0, q > 1 或a V 0,0 < g < 1遞減數(shù)列：q < 0, q < 1 或 > 0,0 < < 1擺動數(shù)列：”0 常數(shù)數(shù)列：，/ = i通項an =+ (n - i)d = pn + q = am +(n- m)d 其中 p = d

5、,q = q_dn-ln-m ,八、冊=%q = amq (#0)1 i 刖n項和s = "m*；"1') = + "(")" = pn2 + qn 其中 p=，q=q-gs J-(3)s=，l-qlq (q = i)中項a,8c成等差的充要條件:2b = o + c凡b,c成等比的必要不充分條件：b2=ac主 要 性質(zhì)等和性：等差數(shù)列嗎若777 + 7?= p + q貝J%+%=%,+%推論：若m+n=2p則 a,n+an=2aPan+k + an-k 2。ai + an = % + an-l = % + an-2 = 即：首尾顛倒相

6、加，則和相等等積性：等比數(shù)列叫若m+H = p + q貝!J推論：若m + n = 2p則 冊,%=3)2a+k n-k (。)ai，an a2 an-l a3 ,。-2 二即：首尾顛倒相乘，則積相等其1、等差數(shù)列中連續(xù),項的和， 組成的新數(shù)歹I是等差數(shù)歹I。即：SmCzm S?”，S3/ $2，/ Z差為 m2d 則有 s31n = 3(s2w-5/m) 2、從等差數(shù)列中抽取等距離的1、等比數(shù)列中連續(xù)項的和， 組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。即： S,”占-%,S3,”76,等比，公比為2、從等比數(shù)列中抽取等距離項組成的數(shù)列是一個等差數(shù) 列。如.al9a4,a7,al09-(下標成等差的項組成的數(shù)列

7、是一個等比數(shù) 列。如.%,%,哈 (下標成等差它數(shù)歹1)數(shù)歹1)3、也畿，則& ,*,3、4，也等比，則/，*，機+可，/%+處也等差。也4、等差數(shù)列嗎的通項公式是也等比。其中心。的一次函數(shù),即：4. =曲+ C ( d00 )4、等比數(shù)列的通項公式類似等差數(shù)歹1m的前項和公式于的指數(shù)函數(shù)，是一個沒有常數(shù)項的的二次即：a = cqn ,其中 c = 5 q函數(shù)，即：Sn = An2 +. 0)等比數(shù)列的前項和公式是 一個平移加振幅的的指數(shù)函性5、項數(shù)為奇數(shù)2一1的等差數(shù)歹1有：數(shù)，即:sn=cqn-c(ql)5、等比數(shù)列中連續(xù)相同項數(shù)S有 ,S偶一q一。中S偶 1的積組成的新數(shù)列是等比

8、數(shù)質(zhì)S?”T=(2 1招”項數(shù)為偶數(shù)2的等差數(shù)列有：工-/ s偶 _ s奇=nds偶4+1%=(q+4.)6、%=加4 = 則4+“ =。% = %則%+” =。("% =見 s,” = 貝！J %+“ = + n)列。證 明 方 法證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的方法：1、定義法：磯-d（常數(shù)）2、中項法：% + /+ =2/（之 2）證明一個數(shù)列為等比數(shù)列的方 法：1、定義法:以=式常數(shù)）2、 中項法：0T ,凡+1 =（凡5 之 2M“ ¥ 0）設(shè)元技巧一數(shù)等差.a-d,a9a+dP.。-3dM-+ 3d二數(shù)等比：9政或見在收？ q四數(shù)等比：42M夕3聯(lián)系1、若數(shù)列也是等差數(shù)

9、列，則數(shù)列仁”是等比數(shù)列，公比為C", 其中C是常數(shù)，d是仇的公差。2、若數(shù)列也是等比數(shù)列，且“。，則數(shù)列g(shù)叫是等差數(shù)列, 公差為log”夕，其中是常數(shù)且。0,"1 , q是q的公比。數(shù)列的叫與前項和S”的關(guān)系：苜；U數(shù)列求和的常用方法：1、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊 數(shù)列求和。2、錯項相減法：適用于差比數(shù)列（如果的等差，低等比，那么地叫 做差比數(shù)列）即把每一項都乘以也的公比夕，向后錯一項，再對應(yīng)同次項相 減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限6幾項，可求和。適用于數(shù)列上:阿十（其中的等差）

10、可裂項為：丁=90一巳）I11=-4（5/+?- M） 回+后d等差數(shù)列前項和的最值問題:1、若等差數(shù)列處的首項外 。，公差d0 ,則前項和S”有最大值。 （i ）若已知通項。.，貝！k最大。二;（ii ）若已知s” = p/+w ,則當取最靠近-產(chǎn)的非零自然數(shù)時s.最大;2P2、若等差數(shù)列也的首項。，公差d。，則前項和s”有最小值（i ）若已知通項。.，貝！k最小。廠;1%+；°（ii ）若已知s” = .J+w ,則當取最靠近-產(chǎn)的非零自然數(shù)時s.最小； 2P數(shù)列通項的求法：（1）公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。已知S.（即+凡=/（）求知 ,用作差法：/=+、?（之

11、2）。已知 an =“）求?！?，用作商法：«,=/（）52）。已知條件中既有S.還有勾，有時先求S.，再求 ；有時也可直接求八若%+% = /（）求應(yīng)用累加法： 4=a- %）+m”T - %-2）+（生）+（心2）。已知&£ = /（）求知 ,用累乘法：.包”（之2）。 an% a-2%已知遞推關(guān)系求一用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1 ）形如。lMt+以見=姐"/ （ »為常數(shù)）的遞推數(shù)列求數(shù)列通項公式的常用方法：1、公式法2、由s”求劣(n=l時，a=Sj n 之 2時，an = Sn -S)3、求差(商)法如：aj滿足;a+：a

12、2 + aa=2n + 5<1>解：n=l時，=2x1 + 5, *.al = 14nN2時，+-a2 + TTTan-i = 2n-1 + 5<2><1>一<2> 得： -an = 2 G n+1 a = 2 C14 (n = 1)-an =12n+i (nN 2)練習數(shù)列aj滿足Sn+S"| =gan+】，a1=4,求an4、疊乘法例如：數(shù)列aJ中，a】=3, '生an 12n-1. an1 , =3 n a】n2-_3乂a=3， * ann5.等差型遞推公式由an-2時1 = f(n)，a, =a0,求a。，用迭加法n &

13、gt; 2時,a2 -at = f(2)23 a2 = f(3)兩邊相加，得:an-an-l = f(n)Sn-ai = f(2) + f(3)+f(n)Aan =a0 + f(2) + f(3) +f(n)練習數(shù)列aj，a1=1, a0=(11N2),求a06.等比型遞推公式a0= cai+d (c、d為常數(shù)，cwO, cwl, d . 0) 可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)+X= cEt + x) na= caT+(c l)x令(c-l)x = d, .'.x = 0+31是首項為與+旦，C為公比的等比數(shù)列9練習數(shù)列aj滿足a1=9,3an+l+an=4» 求7、倒數(shù)法例如：a1=1

14、, an+1由已知得：1 1 _ 1an+lan 2, 為等差數(shù)列，-=1,公差為1 anJ312j=l + (n1) 1 = 1(n+l) n,_ 2，an - nTT數(shù)列前n項和的常用方法：1.公式法：等差、等比前n項和公式2、裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的 項。n 1如：aj是公差為d的等差數(shù)列，求£- k=l kk+1解：由-511(d * 0)Vak ak+i/練習求和:1 H1F H1+2 1+2+31+2+3+n3.錯位相減法：若aj為等差數(shù)列，bj為等比數(shù)列，求數(shù)列agj （差比數(shù)列）前n項和，可由Sn-qSn求Sn，其中q為bj的公比。如：Sn = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 +iix11-1< 1 >x Sn = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 +(n- l)xn-1 + nx11 < 2 >< 1 > - <2 > ： (1- x)Sn = 1 + x+ x2 +xn-1 - nxXW1時，Sn =11X(1-X