博弈論第2次作業(yè)

1、第2次作業(yè)1.在三寡頭的市場(chǎng)中，市場(chǎng)的逆需求函數(shù)p=a_Q,Q為三家產(chǎn)量之和，每家企業(yè)的不變邊際成本為c,固定成本為0。如果企業(yè)1首先選擇 產(chǎn)量，企業(yè)2和企業(yè)3觀察到企業(yè)1的產(chǎn)量后同時(shí)選擇產(chǎn)量，則均衡 時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格。給定企業(yè)1的產(chǎn)量q1，企業(yè)2和企業(yè)3的最優(yōu)化問(wèn)題分別為mqx a q1 q2 q3 -c q2， mqx a - q1 - q2 q c q3 從而得到企業(yè) 2 和企 業(yè)3的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為q2 = Hr ,q 3 = H1 72 ,聯(lián)立得納什均衡2 2為：q2 = a一C寶,q N = C蟲.給定企業(yè)2和企業(yè)3的最優(yōu)反應(yīng)，企業(yè)1的最33優(yōu)化問(wèn)題為:/Nmaxa -q1 -q2N-q

2、3 一 C q1，由此得企業(yè)1的最優(yōu)產(chǎn)量為a cEh2、兩個(gè)寡頭企業(yè)進(jìn)行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)博弈，企業(yè) 1的利潤(rùn)函數(shù)是 二=-（p - aq c）2 q ， 企業(yè) 2 的利潤(rùn)函數(shù)是 二2二-q - b）2 p，其中p是企業(yè)1的價(jià)格，q是企業(yè)2的價(jià)格。 求：-1）兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決策的純策略納什均衡；-2）企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡；-3）企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡；-4）是否存在參數(shù)a,b, c的特定值或范圍，使兩個(gè)企業(yè)都希望 自己先決策？(1) :( a b-c， b)(2) :( a b-c，b)(3):( a2 /2+ab-c, a/2+b)(4)： a<0, b>-a/2, c

3、<a b3、考慮一個(gè)有窮的動(dòng)態(tài)博弈：兩人在桌前面對(duì)面坐著，桌上有貨幣x，仁*2，貨幣x隨時(shí)期t=0,1，,T而增長(zhǎng)，t期的貨幣量為xt 在每一期，每個(gè)參與人必須在“搶奪”貨幣與“等待”兩種策略之間 作出抉擇。只要至少有一人“搶奪”貨幣，則博弈就結(jié)束。如果在t期 只有一個(gè)人搶走貨幣，則他就獲得xt ;如果兩人在t期同時(shí)出手搶貨t幣，則各得冷。請(qǐng)找出該博弈的納什均衡，并寫出證明過(guò)程。該博弈是有限期完全信息動(dòng)態(tài)博弈，用反向歸納法求該博弈的納什均衡 在T期，博弈未結(jié)束，這表明在之前各期都選擇等待，雙方的收益矩陣為 搶奪等待TTT搶奪 ，0222T等待0，寧0，0在最后一期，都搶奪是唯一的納什均衡

4、 在T-1期，因?yàn)閄T/2<XT，所以在T-1期雙方等待都不是均衡，T-1期博弈方的收益矩陣為T',0xT搶奪等待搶奪等待 0, x因?yàn)閮蓞⑴c者都是完全信息的，并且博弈結(jié)構(gòu)是公共信息，因此兩者在 T-1期 都選擇等待時(shí)，其收益就是在最后一期將獲得的收益， 而在第T期，（搶奪，搶奪）是唯一的納什均衡，貝U改期收益（即為等待等待的收益4T因?yàn)?<x<2,那么宀廠1，得到匸宀，所以在T-1期，搶奪都是嚴(yán)格占優(yōu)策略，(搶奪，搶奪)是唯一的納什均衡，由此可得出在任意 t期, 兩參與者都會(huì)選擇搶奪，博弈在第一輪就結(jié)束，均衡為(搶奪，搶奪)兩參與人收益為(x，-)2 24、假定在一

5、個(gè)博弈模型中，有兩個(gè)參與者，一個(gè)是政府，一個(gè)是私人部門。私人部門選擇的是預(yù)期的通貨膨脹率，政府選擇的是給定預(yù)期通貨膨脹的情況下所采取的實(shí)際通貨膨脹率。并且政府不僅關(guān)心通貨膨脹問(wèn)題，還關(guān)心失業(yè)問(wèn)題。政府的效用函數(shù)為：U = -c 2 -(y-ky*)2其中二是通貨膨脹，y*是自然失業(yè)率下的均衡產(chǎn)量，丫是實(shí)際產(chǎn)量，c 0, k 1同時(shí)假定產(chǎn)出與通貨膨脹率之間的關(guān)系是由含有通貨膨脹預(yù)期的菲力普斯曲線來(lái)決定，也就是說(shuō)菲力普斯曲線是：y =y*(二-7：e)其中/是預(yù)期的通貨膨脹率，1 0如果私人都有理性預(yù)期，試運(yùn)用博弈論的相關(guān)知識(shí)來(lái)證明在短期內(nèi)政府所采取的通貨膨脹政策不能增加產(chǎn)出。這道題是完全信息動(dòng)態(tài)

6、博弈，因?yàn)閷?shí)在給定私人部門通貨膨脹預(yù)期的情況 下制定貨幣政策，政府面臨的最大化冋題就是：2 * 2Max U =c二-(y-ky)5. t . y =y* ：(二-:e)運(yùn)用拉格朗日函數(shù)解這一問(wèn)題，n =(c+ B 2) ' B Bn +(k-1)y,這是政府的反應(yīng)函數(shù)，又由于假設(shè)私人部門具有理性預(yù)期，也就是說(shuō)預(yù)期的通貨膨脹 率等于n ”，所以n =n =c 1 (k-1)y,由于私人部門具有理性預(yù)期，實(shí)際產(chǎn)出水平將于通貨膨脹率無(wú)關(guān)而等于自然失業(yè)率下的產(chǎn)出水平，另一方面卻要忍 受通貨膨脹的痛苦，得證。5、在市場(chǎng)進(jìn)入模型中，市場(chǎng)逆需求函數(shù)為p= 13-Q,進(jìn)入者和在位者生產(chǎn)的邊際成本都為

7、1,固定成本為0,潛在進(jìn)入者的進(jìn)入成 本為4。博弈時(shí)序?yàn)椋涸谖徽呤紫葲Q定產(chǎn)量水平；潛在進(jìn)入者在觀察 到在位者的產(chǎn)量水平之后決定是否進(jìn)入；如果不進(jìn)入，則博弈結(jié)束， 如果進(jìn)入，則進(jìn)入者選擇產(chǎn)量水平。求解以上博弈精煉納什均衡。6、假設(shè)一個(gè)家長(zhǎng)和他的孩子進(jìn)行如下的博弈：第一，小孩選擇一個(gè)行動(dòng)A,可以使孩子獲得收入I c(A),并使得家長(zhǎng)得到收入I p(A)(可以認(rèn)為I c(A)為孩子減去因?yàn)锳發(fā)生的各種成本后的凈收益)；第 二，家長(zhǎng)觀察到收入Ic(A)和I p(A)，然后選擇給孩子的獎(jiǎng)勵(lì)或者懲 罰B。孩子的收益為U(lc+B),，家長(zhǎng)的收益為V(I p-B)+k(I c+B)，其中 k>0反映出家長(zhǎng)關(guān)心孩子的福利。假定行動(dòng)是一個(gè)非負(fù)數(shù)字，A> 0,收入函數(shù)I c(A)和I p(A)為嚴(yán)格凹且分別能夠達(dá)到最大值；獎(jiǎng)勵(lì)或懲 罰B為正或?yàn)樨?fù)的數(shù)字；且效用函數(shù) U和V遞增并嚴(yán)格凹。證明：孩 子選擇可使全家收入I c(A)+ I p(A)最大化的行為。用逆向歸納法求解，首先給定 A,最大化家長(zhǎng)的收益 VlpA-B+Klc