2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題（寧夏卷含答案）

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題（寧夏卷，含答案）第I卷一， 選擇題：（本大題共12題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中 ，中有一項是符合題目要求的。（1） 已知集合,則 (A) (B) (C) (D) （2） 復(fù)數(shù)（A） （B） （C） (D)（3）對變量 有觀測數(shù)據(jù)（，）（），得散點(diǎn)圖1；對變量有觀測數(shù)據(jù)（，）（i=1,2,，10）,得散點(diǎn)圖2. 由這兩個散點(diǎn)圖可以判斷。（A）變量x 與y 正相關(guān)，u 與v 正相關(guān) （B）變量x 與y 正相關(guān)，u 與v 負(fù)相關(guān)（C）變量x 與y 負(fù)相關(guān)，u 與v 正相關(guān) （D）變量x 與y 負(fù)相關(guān)，u 與v 負(fù)相關(guān)（4）有四個關(guān)于三角函

2、數(shù)的命題： ：xR, += : , : x, : 其中假命題的是（A）， （B）， （3）， （4），（5）已知圓：+=1，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（A）+=1 （B）+=1（C）+=1 （D）+=1（6）設(shè)滿足則（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，無最大值（C）有最大值3，無最小值 （D）既無最小值，也無最大值（7）已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（A） （B） （C） （D）（8）等比數(shù)列的前n項和為，已知，,則（A）38 （B）20 （C）10 （D）9（9） 如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是 （A） （B） （C）三棱錐的體積為

3、定值 （D）（10）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入，那么輸出的各個數(shù)的和等于 （A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5（11）一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：）為 （A） （B） （C） （D）（12）用mina,b,c表示a,b,c三個數(shù)中的最小值。設(shè) (x0),則的最大值為（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13題）第（21）題為必考題，每個試題考生都必須做答。第（22題）第（24）題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二 填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為 。（14）已知拋物線C的

4、頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為 。（15）等比數(shù)列的公比, 已知=1，則的前4項和= 。（16）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則 。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測量，已知，于A處測得水深，于B處測得水深，于C處測得水深，求DEF的余弦值。 （18）（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，PAC=PBC=90 º（）證明：ABPC（）若，且平面平面， 求三棱錐體積。（19）（本小題滿分12分） 某

5、工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）.（）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？（）從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2表1：生產(chǎn)能力分組人數(shù)4853表2：生產(chǎn)能力分組人數(shù) 6 y 36 18（1） 先確定，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更?。浚ú挥糜嬎?，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）(ii

6、)分別估計類工人和類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）。（20）(本小題滿分12分)已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個項點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離分別是7和1（I） 求橢圓的方程（II） 若為橢圓的動點(diǎn)，為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，（e為橢圓C的離心率），求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù).(1) 設(shè)，求函數(shù)的極值；(2) 若，且當(dāng)時，12a恒成立，試確定的取值范圍.請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時用2B鉛筆在答題卡上

7、把所選題目對應(yīng)的題號涂黑。（22）（本小題滿分10分）選修41；幾何證明選講如圖，已知ABC中的兩條角平分線和相交于，B=60，在上，且。（1）證明：四點(diǎn)共圓； （2）證明：CE平分DEF。 （23）（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。 已知曲線C： （t為參數(shù)）， C：（為參數(shù)）。（1）化C，C的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（2）若C上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為，Q為C上的動點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線 （t為參數(shù)）距離的最小值。（24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講如圖，為數(shù)軸的原點(diǎn)，為數(shù)軸上三點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，設(shè)表示與原點(diǎn)的距離， 表示到距離4倍與到距離的6倍的和.

8、（1）將表示為的函數(shù)；（2）要使的值不超過70， 應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題參考答案一 選擇題 （1）D（2）C（3）C（4）A（5）B(6)B （7）A（8）C（9）D（10）B（11）A(12)C二 填空題(13) (14)(15)(16)0三 解答題(17) 解：作交BE于N，交CF于M，6分在中，由余弦定理，. 12分（18）解：（）因?yàn)槭堑冗吶切危?所以,可得。如圖，取中點(diǎn)，連結(jié),則,所以平面,所以。 6分（）作，垂足為，連結(jié)因?yàn)?，所以，由已知，平面平面，?分因?yàn)?，所以都是等腰直角三角形。由已知，得?的面積因?yàn)槠矫?，所以三角錐的體積

9、 12分（19）解：（）類工人中和類工人中分別抽查25名和75名。 4分（）()由，得， ，得。頻率分布直方圖如下 8分從直方圖可以判斷：類工人中個體間的差異程度更小。 9分 （ii） ， ， A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計值分別為123，133.8和131.1.（20）解：（）設(shè)橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得 解得a=4,c=3,所以橢圓C的方程為（）設(shè)M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故 由點(diǎn)P在橢圓C上得 代入式并化簡得所以點(diǎn)M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段.（21）解：（）當(dāng)a=1時，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得 令 列表

10、討論的變化情況：（-1，3）3+00+極大值6極小值-26所以，的極大值是，極小值是（）的圖像是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a對稱.若上是增函數(shù)，從而上的最小值是最大值是由于是有由所以若a>1,則不恒成立.所以使恒成立的a的取值范圍是（22）解：（）在ABC中，因?yàn)锽=60°，所以BAC+BCA=120°.因?yàn)锳D,CE是角平分線，所以HAC+HCA=60°，故AHC=120°.于是EHD=AHC=120°.因?yàn)镋BD+EHD=180°，所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓。（）連結(jié)BH，則BH為的平分線，得30°由（）知B，D，H，E四