高等數(shù)學(xué)第十三周講義（商學(xué)院）

1、1第六章第六章定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用2一、定積分的幾何應(yīng)用一、定積分的幾何應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用1:平面圖形的面積平面圖形的面積依據(jù)依據(jù):定積分的幾何意義定積分的幾何意義求函數(shù)求函數(shù))(xf與與)(,abbxax及及x軸圍成圖形的面積軸圍成圖形的面積 badxxfs| )(|3abcxbaoy)(xfy dxxfab)(sdxf(x)dxf(x)sbcca badxxfs| )(|4例求橢圓例求橢圓12222 byaxxdxbsaax 02)1(422a所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積ab 例例:求半徑為求半徑為r的圓面積。的圓面積。5求函數(shù)求函數(shù))(xf圍成圖形的面積圍成圖形的面積)(xg)(,

2、abbxax與與dxxgxfba| )()(|s6yobxa)(xgy )(xfy f(x)g(x)abdxxgxfab)()(sdxxfxgdxxgxfbcca)()()()(scdxxgxfba| )()(|s7例例:求由求由xyxyxxcos,sin, 0 所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。 4/ xysin xycos dxxxdxxxs 44)cos(sin)sin(cos08yxy=f (x)cddyysdc)(另一種曲邊梯形：另一種曲邊梯形：y=f(x)與與y=c,y=d和和y軸圍成的圖形的面積軸圍成的圖形的面積)(yx 1 iyiyi ),(ii 9求橢圓求橢圓12222

3、 byaxxydyasbby 02)1(422b所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積10cd)(1yx)(2yxdyyysdc)()(21)(1xfy )(2xfy 求函數(shù)求函數(shù))(1xf圍成圖形的面積圍成圖形的面積)(2xf)(,cddycy與與11cd)(1y )(2y dyyydyyysdccc*12*21)()()()(C*dyyysdc| )()(|2112 求平面圖形的面積：求平面圖形的面積：作出圖形很重要！作出圖形很重要！13所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積和和求求由由 422 xyxy4-2dyyys 42221)4(14體體積積。軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的的

4、的曲曲邊邊梯梯形形繞繞所所圍圍成成與與直直線(xiàn)線(xiàn)xbxaxxfxfy,)0)()(應(yīng)用應(yīng)用2 2：旋轉(zhuǎn)體的體積：旋轉(zhuǎn)體的體積dxxfVba 2)( ix1ixixi)(if15求半徑為求半徑為r的球的體積。的球的體積。16體體積積。軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞所所圍圍成成與與直直線(xiàn)線(xiàn)ydycyxfy,)0)(dyyVdc 2)( )()(yxxfy17例：底面半徑例：底面半徑r，高為，高為h的圓錐的圓錐的體積。的體積。18例：求由曲線(xiàn)例：求由曲線(xiàn)22xy 和和xy2 所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞x和和y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。所得到的旋轉(zhuǎn)體的

5、體積。19)()(bxaxfy所求弧長(zhǎng)所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(12應(yīng)用應(yīng)用3：平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)：平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)20例：計(jì)算曲線(xiàn)例：計(jì)算曲線(xiàn)2332xy 上上x(chóng)從從0到到1的一段弧的長(zhǎng)度。的一段弧的長(zhǎng)度。xy xxsd110 21定積分幾何應(yīng)用的方法總結(jié)：微元法定積分幾何應(yīng)用的方法總結(jié)：微元法xbaoy)(xfy 面積微元：用于近似小曲邊梯面積微元：用于近似小曲邊梯形的長(zhǎng)方形的面積形的長(zhǎng)方形的面積x dxxfab)(sds22dxxfVba 2)( 體積微元：用于近似不規(guī)則立體積微元：用于近似不規(guī)則立體的圓柱體的體積。體的圓柱體的體積。dV)(xfx 23xysbad12弧長(zhǎng)微元：

6、用于近似小弧長(zhǎng)度的線(xiàn)段的長(zhǎng)度。弧長(zhǎng)微元：用于近似小弧長(zhǎng)度的線(xiàn)段的長(zhǎng)度。ds24微微 元元 法法1、選取積分變量，確定其變化區(qū)間。、選取積分變量，確定其變化區(qū)間。2、計(jì)算所求微元（如面積微元、體積微元）、計(jì)算所求微元（如面積微元、體積微元）3、將所求化為定積分。、將所求化為定積分。25微微 元元 法法 應(yīng)應(yīng) 用用求如圖示的極坐標(biāo)下的圖形的面積求如圖示的極坐標(biāo)下的圖形的面積 。 )( rr drs )(221ds面積微元：小扇形的面積面積微元：小扇形的面積26a2sin2a例例. 求雙紐線(xiàn)求雙紐線(xiàn)所圍圖形面積所圍圖形面積 . 2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0解解

7、: 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性 ,則所求面積為則所求面積為42ayox4427xxAVbad)(xabxxxd)(xA求用垂直于坐標(biāo)軸的截面去截立體求用垂直于坐標(biāo)軸的截面去截立體,當(dāng)截面面當(dāng)截面面積已知時(shí)的立體體積。積已知時(shí)的立體體積。所求體積為所求體積為: :注意體積微元注意體積微元dVdV28例例. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成與底面交成 角角,222Ryx解: 如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRRxxRVdtan)(2122tan323R計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積計(jì)算該平面截圓柱體

8、所得立體的體積 .Rxoyx),(yx29Rxoy思考思考: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時(shí)截面是什么？面積函此時(shí)截面是什么？面積函 數(shù)又是什么數(shù)又是什么 ?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yAtan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd2230參數(shù)方程下曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)參數(shù)方程下曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)xysbad12)()(tytx, tdtttdtttt 222)()()( )()(131例、求擺線(xiàn)的一拱與例、求擺線(xiàn)的一拱與x軸圍成軸圍成的拱的長(zhǎng)度。的拱的長(zhǎng)度。)cos1()sin(tayttax 20 txyoa2 2022)cos1()sin(dt

9、tattaL32題型題型填空填空20%、選擇、選擇20% 、計(jì)算、計(jì)算20% 、解答題解答題20% 、應(yīng)用題、應(yīng)用題18%、證明、證明4% 期末復(fù)習(xí)期末復(fù)習(xí)33第五、六章：定積分及其應(yīng)用第五、六章：定積分及其應(yīng)用 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)一、了解（知道并能簡(jiǎn)單地應(yīng)用）一、了解（知道并能簡(jiǎn)單地應(yīng)用）1、定積分的基本性質(zhì)和積分中值定理。、定積分的基本性質(zhì)和積分中值定理。 34二：理解二：理解1、定積分的概念和幾何意義、定積分的概念和幾何意義2、理解限可變的定積分函數(shù)的概念及其求導(dǎo)法則理解限可變的定積分函數(shù)的概念及其求導(dǎo)法則 三、掌握及會(huì)求三、掌握及會(huì)求3、會(huì)求定積分（牛頓一萊布尼茨公式、會(huì)求定積分（牛頓一萊布尼茨

10、公式 、分項(xiàng)積分法、分項(xiàng)積分法、換元積分法、分部積分法、利用偶倍奇零。）換元積分法、分部積分法、利用偶倍奇零。）4、會(huì)求平面圖形的面積，會(huì)求旋轉(zhuǎn)體的、會(huì)求平面圖形的面積，會(huì)求旋轉(zhuǎn)體的體積，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用。體積，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用。1、會(huì)用變限定積分求導(dǎo)公式求導(dǎo)。、會(huì)用變限定積分求導(dǎo)公式求導(dǎo)。2、會(huì)用積分中值定理。、會(huì)用積分中值定理。35第四章第四章 不定積分不定積分1、理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不、理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。 2、掌握不定積分的基本公式，、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的分項(xiàng)

11、積分法、掌握不定積分的分項(xiàng)積分法、換元積分法和分部積分法。換元積分法和分部積分法。3、會(huì)求不定積分（含有理函數(shù)的不定積分）、會(huì)求不定積分（含有理函數(shù)的不定積分）36第三章第三章 微分定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、熟記中值定理的條件與結(jié)論（羅爾、拉、熟記中值定理的條件與結(jié)論（羅爾、拉格朗日和柯西中值定理），能利用中值定理格朗日和柯西中值定理），能利用中值定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和判斷方程根的個(gè)數(shù)。進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和判斷方程根的個(gè)數(shù)。3、理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系；會(huì)利用導(dǎo)、理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系；會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、拐點(diǎn)、凹凸區(qū)間、數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、拐點(diǎn)、凹凸區(qū)間、極值（駐點(diǎn)）與最值

12、。會(huì)求漸近線(xiàn)。極值（駐點(diǎn)）與最值。會(huì)求漸近線(xiàn)。2、會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求各種類(lèi)型不定式的極限，、會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求各種類(lèi)型不定式的極限，掌握冪指函數(shù)極限的求法。掌握冪指函數(shù)極限的求法。37第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分1、會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義判斷導(dǎo)數(shù)的存在性（左導(dǎo)、會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義判斷導(dǎo)數(shù)的存在性（左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)。知道可導(dǎo)、可微、連續(xù)的關(guān)系。數(shù)與右導(dǎo)數(shù)。知道可導(dǎo)、可微、連續(xù)的關(guān)系。2、會(huì)用求導(dǎo)法則（四則運(yùn)算法則、復(fù)合函、會(huì)用求導(dǎo)法則（四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、反函求導(dǎo)法則）求初等函數(shù)數(shù)求導(dǎo)法則、反函求導(dǎo)法則）求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、會(huì)求參變量的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、會(huì)求參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、會(huì)求二

13、階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求常見(jiàn)函函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求常見(jiàn)函數(shù)的數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，掌握取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。階導(dǎo)數(shù)，掌握取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。3、能進(jìn)行簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。（求切線(xiàn)方、能進(jìn)行簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。（求切線(xiàn)方程、瞬時(shí)速度等，會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算）程、瞬時(shí)速度等，會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算）38第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限1、熟記函數(shù)與數(shù)列極限的性質(zhì)、熟記函數(shù)與數(shù)列極限的性質(zhì)2、熟記常見(jiàn)的極限（含兩類(lèi)特殊極限）、熟記常見(jiàn)的極限（含兩類(lèi)特殊極限）3、掌握無(wú)究小的性質(zhì)、無(wú)窮小與無(wú)窮大的、掌握無(wú)究小的性質(zhì)、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，熟記常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小。關(guān)系，熟記常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小。4、會(huì)求極限（換元法、無(wú)窮小替換法以及與洛比達(dá)法會(huì)求極限（換元法、無(wú)窮小替