概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1、一、分布函數(shù)的概念一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質(zhì)二、分布函數(shù)的性質(zhì)三、例題講解三、例題講解四、小結(jié)四、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量X, 我們不僅要知道我們不僅要知道X 取哪些值取哪些值, 要知道要知道 X 取這些值的概率取這些值的概率 ; 而且更重要的是想知而且更重要的是想知道道 X 在任意有限區(qū)間在任意有限區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率內(nèi)取值的概率.21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函數(shù)函數(shù) ).()(12xFxF ?一、分布函數(shù)的概念一、分布函數(shù)的概念例如例如.,(21內(nèi)的概率內(nèi)的概率落在區(qū)間落在區(qū)

2、間求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量xxX1.概念的概念的引入引入2.分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義說(shuō)明說(shuō)明(1) 分布函數(shù)主要研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值分布函數(shù)主要研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況的概率情況.)(,的分布函數(shù)的分布函數(shù)稱為稱為函數(shù)函數(shù)是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)設(shè)定義定義XxXPxFxX .)()2(的一個(gè)普通實(shí)函數(shù)的一個(gè)普通實(shí)函數(shù)是是分布函數(shù)分布函數(shù)xxF實(shí)例實(shí)例 拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;0 0)( xXPxF

3、 0 1x,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP;21 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 證明證明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 二、分布函數(shù)的性質(zhì)二、分布函數(shù)的性質(zhì), 0)(lim)()3( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo; 1)(lim)( xFFx證明證明,越越來(lái)來(lái)越越小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x

4、,的的值值也也越越來(lái)來(lái)越越小小xXP 有有時(shí)時(shí)因因而而當(dāng)當(dāng), x.),(, ),(,內(nèi)內(nèi)必然落在必然落在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)而而的值也不會(huì)減小的值也不會(huì)減小增大時(shí)增大時(shí)當(dāng)當(dāng)同樣同樣 XxxXxXPx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函數(shù)處處即任一分布函數(shù)處處右連續(xù)右連續(xù). ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxF. 1lim)(lim xXPxFxx所以所以xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 證明證明,bXaaXbX 因?yàn)橐驗(yàn)? bXaaX,bXaPaXPbXP 所以所以

5、).()(aFbFbXaP 故故因此分布律為因此分布律為818383813210pX解解則則三、例題講解三、例題講解.31,5 . 5,31, XPXPXPXX列概率值列概率值并求下并求下的分布律及分布函數(shù)的分布律及分布函數(shù)求求”出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)表示“三次中正面表示“三次中正面將一枚硬幣連擲三次將一枚硬幣連擲三次例例1,反面反面正面正面設(shè)設(shè) TH,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH;218381 ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x求分布函數(shù)求分布函數(shù))(xXPxF x o 1 2 3)(xXPxF 0 XP;810 ixip)(xXPxF 1ixip0 XP1 XP; 0 ,

6、21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,32時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;87838381 ,3時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF )(xXPxF 2ixip0 XP1 XP2 XPx o 1 2 3. 1 3ixip0 XP1 XP2 XP3 XP31 XP3 13 XPXPXP) 1 () 3(FF 81841 . 3 , 1, 32 ,87, 21 ,84, 10 ,81, 0 , 0)(xxxxxxF所所以以3 XP.83 5 . 5 XP5 . 51 XP31 XP 13 XPXP) 1 () 3(FF 5 . 55 . 51 XPXP011 . 0 841 .21 的分布律為的分布律為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XXkp321 41

7、2141解解,)(, 03, 2, 1xXPxFxX 且且處概率不為處概率不為僅在僅在由于由于例例2.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求 . 3, 1, 32,21, 21,1, 1, 0)(xxXPXPxXPxxF得得 . 3, 1, 32,43, 21,41, 1, 0)(xxxxxF即即, )(xXPxF 由由,41 )23()25(2523FFXP ,214143 2)2()3(32 XPFFXP21431 .43 )21(21FXP 得得請(qǐng)同學(xué)們思考請(qǐng)同學(xué)們思考不同的隨機(jī)變量不同的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)一定也不相同嗎它們的分布函數(shù)一定也不相同嗎?

8、答答不一定不一定. . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF函數(shù)函數(shù)但它們卻有相同的分布但它們卻有相同的分布同的隨機(jī)變量同的隨機(jī)變量是兩個(gè)不是兩個(gè)不則不同則不同在樣本空間上的對(duì)應(yīng)法在樣本空間上的對(duì)應(yīng)法與與,21XX ., 1;, 1., 1;, 121出反面出反面出正面出正面出反面出反面出正面出正面XX例如拋均勻硬幣例如拋均勻硬幣, 令令 xxkkpxXPxF)(分布函數(shù)分布函數(shù)分布律分布律kkxXPp 離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)演示演示例例3 一個(gè)靶子是半徑為一個(gè)靶子是半徑為2m的圓盤的圓盤

9、,設(shè)擊中靶上任設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶并設(shè)射擊都能中靶,以以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.,02是常數(shù)是常數(shù)kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因而因而; 0)( xXPxF于是于是于是于是)(xXPxF ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x故故 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其圖形為一連續(xù)曲線其圖形為一連續(xù)曲線 ., 0, 20,2)(其它其它若記若記tttf.d)()(ttfxFx 則則,()()(上的積分上的積分在區(qū)間在區(qū)間恰是非負(fù)函數(shù)恰是非負(fù)