圓錐曲線的極坐標方程、焦半徑公式、焦點弦公式

1、圓錐曲線的極坐標方程知識點精析 橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個定點 （焦點）的距離 和一條定直線（準線）的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡.以橢圓的左焦點（雙曲線的右焦點、拋物線的焦點）為極點，過點F作相應準線的垂線，垂足為K,以FK的反向延長線為極軸建立極坐標系.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標方程為:ep1 ecos-可編輯修改-當e=1時，方程表示開口向右的拋物線.ep1+ecos其中p是定點F到定直線的距離，p>0 當0<e<1時，方程表示橢圓;當e>1時，方程表示雙曲線，若p > 0,方程只表示雙曲線右支，若允許P <0 ,方程就表示整個雙

2、曲線;引論（1）若則0<e<1當時，方程表示極點在右焦點上的橢圓 當e=1時時，方程表示開口向左的拋物線當e>1方程表示極點在左焦點上的雙曲線(2 )若ep1-esin0<e<1時，方程表示極點在下焦點的橢圓e=1時，方程表示開口向上的拋物線e>1時!方程表示極點在上焦點的雙曲線 一1+esin0<e<1時，方程表示極點在上焦點的橢圓e=1時，方程表示開口向下的拋物線e>1時!方程表示極點在下焦點的雙曲線例題選編(1)二次曲線基本量之間的互求例1.確定方程105 3cos表示曲線的離心率、焦距、長短軸長。解法3 cos5103 105 33

3、 cos525a b2105-a 31015方程表示橢圓的離心率e 3,焦距紋，長軸長25,短軸長5544解法二：根據(jù)極坐標的定義，對右頂點對應點的極角為 0,因此只需令 0,右頂點的極徑，同理可得左頂點的的極徑。根據(jù)左右頂 點極徑之和等于長軸長，便可以求出長軸。點睛，解法一采用待定系數(shù)法比較常規(guī)，解法二利用極坐標的定義,簡潔而有力，充分體現(xiàn)了極坐標處理問題的優(yōu)勢。 下面的弦長問題的解決使極坐標處理的優(yōu)勢顯的淋漓盡致。(2)圓錐曲線弦長問題 若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過焦點F,1、橢圓中,2,2a bp c c cMNep1 ecosep1 ecos( )2ab2 * * 5-2 2 2a c co

4、s3、拋物線中，MNP 1 cosepep2ab1 ecos1 ecos()222a c cos?epep2ab21 ecos1 ecos2 c22 .cos ap2P21 cos( ) sin2、雙曲線中，(注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解。)若M、N在雙曲線同一支上，MN若M、N在雙曲線不同支上，MN即得2 3cos所以 A( i,-),B( 2,3)又由AB | 12|I 551 80得11 7r 2 3cos § 2 3cos(-)7注釋：求橢圓和拋物線過焦點的弦長時，無需對 v加絕對值，但求雙曲線的弦長時，一定要加絕對值，這是避免討論做好的方法。點睛由于橢圓，

5、拋物線的弦的兩個端點極徑均為正值，所以弦長都是12 ；對于兩個端點都在雙曲線右支上的弦，其端點極徑均為正值所以弦長也是1對下兩個端點分別在雙曲線左、右支上的弦，其端點極徑一個為正值一個為負值，所以弦長是 1或2為統(tǒng)一起見，求雙曲線時一律加絕對值，使用| 12變式練習：等軸雙曲線長軸為2,過其右有焦點，引傾斜角為 石的直 線，交雙曲線于A,B兩點，求|AB求 | AB |解：d O1 - 2 cosAB |IA( 1,-),B( 2, -)I 1221 &co s(一)1 72cos( )2 762v666附錄直角坐標系中的焦半徑公式設P (x,y)是圓錐曲線上的點，1、若Fi、F2分別

6、是橢圓的左、右焦點，則PF1a ex, PF2a ex;o2、若Fl、F2分別是雙曲線的左、右焦點,當點P在雙曲線右支上時，PFi ex a, PF2 ex a； 當點P在雙曲線左支上時，PFia ex, PF2 a ex；3、若F是拋物線的焦點，|PF| x衛(wèi).2利用弦長求面積224高考題（08年海南卷）過橢圓 二 匕1的焦點F作一條斜率為2 54的直線與橢圓交于A, B兩點，O為坐標原點，求AOB的面積.簡解首先極坐標方程中的焦點弦長公式|AB| -2eJ 求弦長，然后1 e cos利用公式Saob 11 AB |OF | sin AFO直接得出答案。 2變式（2005年全國高考理科）已知

7、點F為橢圓與y2 1的左焦點.過點 F的直線li與橢圓交于P、Q兩點，過F且與li垂直的直線12交橢圓于 M、N兩點，求四邊形PMQN面積的最小值和最大值.解析以點F為極點，建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為：、221 cos2設直線11的傾斜角，則直線12的傾斜角為 900 ,由極坐標系中焦點弦長公式知：22.2|PQ| , |mn| -1cos21cos2（900） 1 sin2222用他們來表示四邊形的面積c 1-S -| PQ |g|MN |111 2 - 2-sin gcos sin2 2 16即求彳2112sin 216的最大值與最小值0時,由三角知識易知：當sin2 1時，面積取

8、得最小值 竺；當sin29面積取得最大值2利用弦長公式解決常量問題22x y2 4 1 (a b 0) 例一.過橢圓a b的左焦點F,作傾余角為60的直線1交橢圓于A、B兩點，若FA 2FB ,求橢圓的離心率.簡解，建立極坐標系，然后利用等量關系，可很快求出離心率。設橢圓的極坐標方程為ep1 ecos2 ",解得 eee31 -1 -2 2變式求過橢圓 2一的左焦點,3 cos點到左準線的距離。解：先將方程化為標準形式：則離心率e 工，ep 2 ,33P 21 ecos601 ecos 240且傾斜角為z的弦長AB和左焦23 1 1cos 所以左焦點到左準線的距為2。設“ 1,-),

9、B( 2,、)，代入極坐標方程，則弦長AB3 cos 3 cos442417(3)定值問題例1.拋物線y_1_1 二 2-e2AB| |CD| - 2ep 注釋。此公式對拋物線也成立，但對雙曲線不成立。注意使用的范圍 推廣1若經(jīng)過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦， 倒數(shù)和也為定值。需要以原點為 2Px(p 0)的一條焦點弦被焦點分為a,b的兩段，證明：1 1定值。 a b解：以焦點F為極點，以FX軸為極軸建立極坐標系，則拋物線的極坐標方程為.P ,設A(a, ),B(b,)1 cos將A,B兩點代入極坐標方程，得a -,bP1 cos 1 cos( )則1 1=3 3s)=2 (定值) a b p

10、pp點睛，引申到橢圓和雙曲線也是成立的。112推論：若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過焦點F,則有,工例二：經(jīng)過橢圓的的焦點作兩條相互垂直的弦 AB和弦CD,求證1AB1二為定CDMF NF ep值。證明：以橢圓的左焦點建立極坐標系，此時橢圓的極坐標方程為一虹1 ecos又設 A 1, 1 ,B 2, + ,C 3, + ,D 4, -+ 則代入可得2 2|AB| . 2ep 2, |AB| 彳 2ep 2 則1 e cos1 e sin極點建立極坐標方程。推廣2若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。2 2例三（2007重慶理改編）中心在原點o的橢圓上 言 1 ,點F是其左焦占八、在橢圓上任取三個不同點P,P2

11、,P3使Z P1FP2 Z P2FP3 /P3FP1 1200 .證明:1FP1FP2FP3為定值，并求此定值.解析:以點92 cos1200、為極點建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為:設點Pi對應的極角為，則點B與E對應的極角分別1200 , P1、P2與P3的極徑就分別是|FPl|9、2 cosIFP2I902 cos( 120 )與 I FP319-02 cos( 120 )FPiFP2FP3角函數(shù)的學習中,FPiFP2FP32 cos9我們知道3為定值2 cos(1200) 2 cos(1200)99cos cos(1200) cos(1200)0,因此點睛：極坐標分別表示|FP1 |、|FP2|與|FP3| ,這樣一個角度對應一個 極徑.就不會象解析幾何那樣，一個傾斜角，對應兩個點，同時 對應兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標表示圓錐曲線的優(yōu)點.推廣1若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？推廣2設P1P2P3L Pn是橢圓上的n個點，且FP1FP2FP3L FPn圓周角等分n 1則工也為定值i=1 OPi作業(yè)22(2003年希望杯競賽題)經(jīng)過橢圓X2 22 1(a b 0)的焦點F1作傾斜 a b角為60°的直