概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講1概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講21 o0)(xf2 o1)(dxxf1. 連續(xù)型連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義及其密度函數(shù)的定義一一、連續(xù)型隨機變量及其概率密度、連續(xù)型隨機變量及其概率密度3 o( )baP aXbf x dx 設(shè)設(shè)X是隨機變量，如果存在定義在整個實是隨機變量，如果存在定義在整個實數(shù)軸上的函數(shù)數(shù)軸上的函數(shù)f(x) ,滿足條件滿足條件(),ab且對于任意兩個實數(shù)且對于任意兩個實數(shù)a, ,b ba可以為可以為,b可以為可以為,則稱則稱 X為連續(xù)型為連續(xù)型r.v,稱稱 f(x)為為 X 的概率密度函的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度數(shù)，簡稱概

2、率密度.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講3 故故 X的密度的密度f (x) 在在 x 這一點的值，恰好是這一點的值，恰好是X落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度上的概率與區(qū)間長度 之比的極限之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量，這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當(dāng)于線密度相當(dāng)于線密度.x ,(xxx 若若 x 是是 f (x) 的連續(xù)點，則：的連續(xù)點，則：0()limxP xXxxx 0 x( )limxxxxf t dt = f (x)對對 f(x)的進一步理解的進一步理解:概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講4 要注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處在某點處a的的值，并不反映值，

3、并不反映X取值取值a的概率的概率. 若不計高階無窮小，有：若不計高階無窮小，有：xafxaXaP )( 但是，這個高度越大，則但是，這個高度越大，則X取取a附近的值附近的值的概率的概率就越大就越大. 即在某點密度曲線的高度反映即在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度了概率集中在該點附近的程度. xxxXxPx )(lim0 = f(x) f (x)xoaxa 概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講5連續(xù)型連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為取任一指定值的概率為0.即：即：, 0)( aXPa為任一指定值為任一指定值因為：因為：)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00注意注

4、意:由此得由此得，)()(bXaPbXaP)(bXaP1） 對連續(xù)型對連續(xù)型 r.v X,有有)(bXaP概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講62) 由由P(X=a)=0 可推知可推知 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件aRX稱稱A為為幾乎不可能事件幾乎不可能事件，B為為幾乎必然事件幾乎必然事件.可見，可見，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講7若若 r.vX的概率密度為：的概率密度為：則稱則稱X服從區(qū)間服從區(qū)間( a, b)上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作：X U

5、(a, b) 它的實際背景是：它的實際背景是： r.v X 取值在區(qū)間取值在區(qū)間(a, b)上，并且取值在上，并且取值在(a, b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比與這個小區(qū)間的長度成正比.)(xfab其它, 0,1)(bxaabxf1. 均勻分布均勻分布二二、三種重要的連續(xù)型隨機變量、三種重要的連續(xù)型隨機變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講8例例1 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時起，每時起，每15分鐘來分鐘來一班車，即一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻等時刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時間有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時間 X

6、是是7:00 到到 7:30 之間的均勻隨機變量之間的均勻隨機變量, 試求他候車試求他候車時間少于時間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解：解：依題意，依題意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00為為起點起點0，以分為單位，以分為單位 其它其它, 0300,301)(xxf概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講9 為使候車時間為使候車時間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到之間到達(dá)車站達(dá)車站.所求概率為：所求概率為：從上午從上午7時起，每時起，每15分鐘來一班車，即分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時刻

7、有汽車到達(dá)汽車站，等時刻有汽車到達(dá)汽車站，30251510XPXP其它, 0300,301)(xxf3130130130251510dxdx即乘客候車時間少于即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講10則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命（無記憶性）元件的壽命（無記憶性）. 若若 r.v X具有概率密度具有概率密度 其它其它001)(/xexfx 0 常簡記為常簡記為 XE( ) . 2. 指數(shù)分布指數(shù)分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講11 若若 r.v X的的概率

8、密度為概率密度為),(2NX記作記作 f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.xexfx,)()(22221 其中其中 和和 都是常數(shù)，都是常數(shù)， 任意，任意， 0，則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. 2 1)(dxxf可證可證3.正態(tài)分布正態(tài)分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講12標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布xexx,21)(221, 0的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .其密度函數(shù)用其密度函數(shù)用 表示表示)(x)(x 概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講13 為了對離散型的和非離散型的為了對離散型的和非離散型的 r.v以及以及更廣泛類型的更廣泛類型的

9、r.v給出一種統(tǒng)一的描述方法，給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們引進我們引進分布函數(shù)分布函數(shù)的概念的概念.三、隨機變量的分布函數(shù)三、隨機變量的分布函數(shù)1、定義、定義： 設(shè)設(shè) X 是一個是一個 r.v，x是任意實數(shù)，稱是任意實數(shù)，稱)()(xXPxF為為 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 記作記作 X F(x) 或或 FX(x). |xX x概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講14 由定義，對任意實數(shù)由定義，對任意實數(shù) x1x2，隨機點落在，隨機點落在區(qū)間（區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：的概率為：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了隨機變量因此，只要知道了

10、隨機變量X的分布函的分布函數(shù)，數(shù)， 它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.xxXPxF),()(X, x 皆為變量皆為變量. 二者有什么區(qū)別？二者有什么區(qū)別？概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講152、分布函數(shù)、分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)：的性質(zhì)：1）F(x)是一個單調(diào)不減函數(shù)是一個單調(diào)不減函數(shù). 2）0101( ),(),()F xFF 且且3）)()0(xFxF3、離散型、離散型 r.v的分布函數(shù)的分布函數(shù)設(shè)離散型設(shè)離散型r.v X 的分布律是的分布律是P X = x k = p k , k =1,2,3,xxkkp則則 F(x) = P(X x) = 由于由于F(x) 是是 X

11、 取取 的諸值的諸值 xk 的概率之和，的概率之和，故又稱故又稱 F(x) 為累積概率函數(shù)為累積概率函數(shù).x概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講16試說明試說明F(x)能否是某個能否是某個r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù).例例2 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) F(x)其它00sin)(xxxF解：解： 注意到函數(shù)注意到函數(shù) F(x)在在 上下降，上下降，不滿足性質(zhì)不滿足性質(zhì)(1)，故，故F(x)不能是分布函數(shù)不能是分布函數(shù).,2不滿足性質(zhì)不滿足性質(zhì)(2)， 可見可見F(x)也不能是也不能是r.v 的的分布函數(shù)分布函數(shù).或者或者0)(lim)(xFFx概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講17當(dāng)當(dāng) x0 時，時， X x = ， 故故 F(

12、x) =0例例3212613110X，求，求 F(x).當(dāng)當(dāng) 0 x 1 時，時， F(x) = P(X x) = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解:當(dāng)當(dāng) 1 x 2 時，時， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =316121當(dāng)當(dāng) x 2 時，時， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講18故故注意右連續(xù)注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下下面我們從圖形上來看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講19212121103100 xxxxxF,/,/,)(分布律圖分布

13、律圖31120 x)(xXP612113121120 x612161OOO1)(xF分布函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫分布畫分布函數(shù)圖函數(shù)圖212613110X概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講20例例4 設(shè)設(shè)r.v X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f (x)其它0,11,12)(2xxxf求求 F(x).F(x) = P(X x) = xdttf)(解：解：對對x 1， F (x) = 121112 xarcsinxx xdttdtxF121120)(, 11x對對概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講22 例例5 在區(qū)間在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個質(zhì)點，上任意投擲一個質(zhì)點，以以 X 表示這個質(zhì)點的坐標(biāo)表示這個質(zhì)點的坐標(biāo). 設(shè)這個

14、質(zhì)點落在設(shè)這個質(zhì)點落在 0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比長度成正比，試求，試求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 解：解： 設(shè)設(shè) F(x) 為為 X 的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，當(dāng)當(dāng) x a 時時，F(xiàn)(x) =1當(dāng)當(dāng) 0 x a 時時， P(0 X x) = kx (k為常數(shù)為常數(shù) ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講23由于由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / aaxaxaxxxF, 10,0, 0)( 這就是在區(qū)間這就是在區(qū)間 0，a上服從均勻分布的上服從均勻分布的

15、隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù).當(dāng)當(dāng) 0 x a 時時， P(0 X x) = kx (k為常數(shù)為常數(shù) ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講24xdttfxF)()(求求 F(x).其它, 021,210,)(xxxxxfX例例6 設(shè)設(shè)由于由于f(x)是分段是分段表達(dá)的，求表達(dá)的，求F(x)時時注意分段求注意分段求.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講25=01xtdt0 xdtttdt110)2(0 x10 x21 x2xF(x)其它, 021,210,)(xxxxxfX2, 121,21210,20, 0)(22xxxxxxxxF概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講261110002xxxxxF,)(例例7 設(shè)設(shè)r.vX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為（1） 求求X取值在區(qū)間取