復(fù)變函數(shù)與積分變換答案(馬柏林、李丹橫、晏華輝)修訂版,習(xí)題1

1、.n;i -解:設(shè) z=x+iyz ax 亠 iy _ax a)亠iyz 亠ax 亠iy亠ax 亠ay|.-x a i 亠iy： x ：卜a - iy |X 亠 a 2- y2解:解:z aRe I+a設(shè) z=x+iyIm2xyx 亠 a $- y2.3222.=x 亠iy x 亠iy j x 亠iy = x y 亠 2xyi Jx 亠iy-y+2x2y li=x x2 - y32=x 3xy2-2xy亠 j3x2 y-y3 i.332Re z x 3xy ,Im181蔦8 P "(-1 j 血-習(xí)題一i n/4 廠;3 5i；(27i - 1解：寸(n i i (n _三.j2j-

2、11 '11 1 -14丿I4 2解：3 5i3 5i 1 -7i1613亠i7i -11+7i1 -7i2525解：2 i 4 3i =8 -3 4i6i =510i解：133 1 -=i35ii 1 i22 22求下列各復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部(z=x+ iy)1.用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+ib表示下列復(fù)數(shù)z a i)(43i)；-i2J解:解:0+/3、Im卜 1 +宀|I 2丿I 2丿.Re23_1_3 _1112k1_(88 '+0i戸ReJ+iQ、I2)I 2J8=0 .-1n -2k.nik.(_1+i 屈當(dāng)-1n =2 k時(shí)，Re in = -1Im i 0 ;n =2 k-

3、1 時(shí)，Re in =0 ,c nIm i3求下列復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)-2 i;-3;(2 - i)(3 - 2i); 解：丄“=疥廠r*5.-2 i - -2 -i 解：-3 =3弓=_3 解：2 i 3 2i = 2 i 3 2i = .5 .13 = . 65 .3 - 2i=2 對(duì) 3 2i = 2 - i 3 - 2i =4 -7i1 +ih+il22解:24、證明：當(dāng)且僅當(dāng)z=z時(shí)，z才是實(shí)數(shù).證明：若z=z，設(shè)z=x iy ,則有 x iy =x -iy，從而有 2y i =0，即 y=0 z=x為實(shí)數(shù).若 z=x, x :，貝 y Z=x=x . - z =z .命題成立.5、設(shè)

4、 z,w :,證明： z - w < z|2 證明：Z亠w Z亠W - Z亠w - Z亠w Z亠w=Z Z亠Z W亠w z亠w w-2-.-|w -2 Re z w亠w 亠2 |zZ -.-W6、設(shè)z,w :，證明下列不等式.2z -w亠2 Re z w2z w2 R e z w-z - w2 z+ w2并給出最后一個(gè)等式的幾何解釋.2 2 2證明：Z - w z -2 Re z w w在上面第五題的證明已經(jīng)證明了.F面證 |z -w = z|-2 Re z wz2-zw - w二 z 2 R e z w w2 .從而得證.=2 z2 w2幾何意義：平行四邊形兩對(duì)角線平方的和等于各邊的平

5、方的和.7.將下列復(fù)數(shù)表示為指數(shù)形式或三角形式解：7i3 5ii ；) 1 )7i - 1-1;_8 砧3i);2 n cos -i sinI 93 5i 3 5i 1 _7i1 - 7i 17i38 _16i19 -8i5n250258 其中-i = n arctan19解:=ei解:解:解:解:i=e_8 n 1 ；3i(cosrI cosrcos=16=16 n-8 n 12n isin92 n：u'i sin92 ni sin9=1i n.3e 9匕i=e 38計(jì)算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)3、3i的平方根i的三次根.n2n32kncos2)3n2k n 十

6、一-i sin 23k =0,1,2解：Vi =. cos +i sinI 2nn-3155-.31 z - cos 亠 i sini .z2 二 cos n 亠 isin n 一 -662 266 2 29931z3 =cos n i sin n = 一 i6 6 2 2-1的三次根解:cos n i sin12 k n+ n2 k n'nk =0,1, 2二 cos - i sin 33nn1v3乙二cos isin 二 i3322z?二 cos 冗 i sin 冗二 一15.513 .z3 =cos 兀亠 i sin 代二一i3322.3 . 3i的平方根.解:.3l3i= ,6

7、 .ne41fn、 nni212 k n + 2 k n +（V6 J ）cos4 +isin242丿2十i；2 - . 一3 .3i =k =0,1z11=6：f I cosn8is.上8丿1 二=64 e81/19f99-nz2=64J cosn 亠 i sinn 二 64 e8I88J2 n9設(shè) z =e' n , n _2 .證明：1 - z zn“=0證明: - zn =1，即 zn -1=0 .z _1 j1 z 亠亠 Zn 丄=0又 n2. zm 1從而1 z Z2+*2=011. 設(shè)】是圓周 z: |z c = r, r - 0, a =c re*.令其中b =ei ：

8、.求出L 在a切于圓周的關(guān)于1的充分必要條件解：如圖所示.D因?yàn)長(zhǎng)=T =0表示通過(guò)點(diǎn)a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與 圓相切，貝U CA丄Lp.過(guò)C作直線平行Lp，則有/ BCD= 3, / ACB=90°故 a- 3=90所以L :在a處切于圓周T的關(guān)于3的充要條件是 a 3=90°.12. 指出下列各式中點(diǎn)z所確定的平面圖形，并作出草圖.(1) arg z = n； z 一1 = z ；(3) 1 ：: z i |2;(4) R e z - Im z;(5) Im z 1且 1 ；： 2.解：(1)、argz= n.表示負(fù)實(shí)軸.1、|z-1|=|z|.表示直線z=.、1<|z