波函數(shù)和薛定諤方程

1、第二章 波函數(shù)和薛定諤方程本章討論問題1引進(jìn)描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，并討論其性質(zhì)。2建立薛定諤方程3薛定諤方程在簡單量子力學(xué)體系中的應(yīng)用§2-1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋一、波函數(shù)定義：描述微觀粒子的函數(shù)叫波函數(shù)經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點的模型，僅有粒子性而無波動性，通常用坐標(biāo)與動量（）描述其運動狀態(tài)。而微觀粒子具有波粒二重性，坐標(biāo)與動量不能同時準(zhǔn)確測量，因此，量子力學(xué)中用波函數(shù)來描述微觀粒子狀態(tài)。自由粒子的波函數(shù)（平面波）自由粒子的能量是常量，與其聯(lián)系的波是平面波，對非自由粒子受有力場作用，不再是常量，因此描述其狀態(tài)的波函數(shù)將比較復(fù)雜，不再是平面波。量子力學(xué)的基本原理（假設(shè)）微觀粒子的運動狀態(tài)可用一個

2、波函數(shù)來描寫，這就是量子力學(xué)的基本原理之一（假設(shè)），這一假設(shè)是否正確將由實驗檢驗。說明：（1）量子力學(xué)描述微觀粒子狀態(tài)的方法與經(jīng)典力學(xué)描述宏觀物體的方法完全不同。（2）經(jīng)典力學(xué)用坐標(biāo)與動量，量子力學(xué)用波函數(shù)。二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋用波函數(shù)描述微觀粒子的狀態(tài)是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)，那么波函數(shù)的物理意義是什么？究竟如何將粒子性和波動性這兩個似乎對立的性質(zhì)統(tǒng)一起來呢？歷史上關(guān)于這一問題有各種不同的看法。1歷史上幾個錯誤的看法：波是由一群粒子構(gòu)成的，衍射圖樣是由粒子之間相互作用產(chǎn)生的。所以在前面介紹的電子衍射實驗中，產(chǎn)生的衍射條紋是由于組成波的電子相互作用而產(chǎn)生的，但從實驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電子槍中電子幾乎一個

3、個通過狹縫，當(dāng)電子數(shù)目通過較小時，圖上只有一些無規(guī)則的點，當(dāng)經(jīng)歷很長時間，則出現(xiàn)規(guī)則的條紋。這說明，單個電子也具有波動性，波不是由粒子構(gòu)成，若單個電子無波動性，則電子一個個通過時就不會出現(xiàn)是的衍射條紋。一個電子就是一個經(jīng)典概念下的波如若真是這樣。當(dāng)一個電子通過后在圖上應(yīng)有條紋出現(xiàn)，但實驗并非如此。所以上述結(jié)論是錯誤的。2波恩（Born）對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋。統(tǒng)計解釋：波函數(shù)在空間某一點的強(qiáng)度（振幅絕對值的平方）與t 時刻在點（）處單位體積找到粒子的幾率成正比。統(tǒng)計解釋對電子衍射實驗結(jié)果的解釋：a)明條紋地方，波的強(qiáng)度大，說明每一個電子投射在此的幾率越大。b)暗條紋的地方，波的強(qiáng)度最小為零，說明每

4、個粒子投射在此的幾率為最小或為零。三、波函數(shù)的性質(zhì)波函數(shù)可以完全描述體系的量子狀態(tài)由于微觀粒子具有波粒二象性，粒子的坐標(biāo)和動量不可能同時具有確定的值，當(dāng)粒子處于某一量子態(tài)時，它的力學(xué)量（坐標(biāo)與動量）一般有許多個可能值，這些可能值各以一定的幾率出現(xiàn)，而由波恩解釋，這些幾率可由波函數(shù)全部給出。波函數(shù)滿足歸一化條件因為由統(tǒng)計解釋，要求粒子（不產(chǎn)生，不湮滅）在空間各點的幾率之和為1。與c（c為常數(shù)）作所描述的相對幾率分布是完全相同的，即波函數(shù)有一個常數(shù)因子的不定性。原因：是某一時刻粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率和為1，因而粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)空間各點的相對強(qiáng)度，而不決定于其絕對大小，若將波

5、函數(shù)在各點振幅的同時加大一倍，并不影響粒子在空間各點的幾率，所以與描述的是同一狀態(tài)。量子力學(xué)中波函數(shù)的性質(zhì)是其它波動過程所沒有的，如光波、電磁波，例將光波的強(qiáng)度到處增加一倍其狀態(tài)就發(fā)生了變化。波函數(shù)乘以（是實數(shù)），不影響空間各點找到粒子的幾率，也不影響函數(shù)的歸一化，這個因子叫相因子（相角不定性）也就是波函數(shù)可以含任一相因子。例1設(shè)表示某一時刻某一粒子的狀態(tài)，則在t時刻在任一點找到粒子的幾率與成比例。若給乘以則成，則其表示的狀態(tài)在t時刻在任一點找到粒子的幾率與成比例，而即乘以后不影響空間找到粒子的幾率也不影響波函數(shù)的歸一化。例2 與是否同一狀態(tài)； 與是否同一狀態(tài)是否同一狀態(tài)；是同一類；與是否同一

6、狀態(tài)答案：否定，肯定四、波函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)表示：（1）幾率密度設(shè)是t時刻在 無限小區(qū)域找到粒子的幾率： （按波函數(shù)統(tǒng)計解釋在區(qū)域找到粒子的幾率與成比例）表示在點附近單位體積找到粒子的幾率，我們稱這個幾率為幾率密度。（2）波函數(shù)的歸一化在全空間對上式積分，則在整個空間找到粒子的幾率應(yīng)為1，（歸一化條件）若原函數(shù)為乘上，而得它與表示同一幾率波，它不改變所描寫的狀態(tài)。與描述同狀態(tài)則我們滿足上式的波函數(shù)叫歸一化波函數(shù)，把換成的步驟叫歸一化，把叫歸一化常數(shù)，應(yīng)特別指出，這種歸一化條件要求有限，若發(fā)散，則，這是無意義的。例：自由粒子波函數(shù)就不滿足這種函數(shù)怎樣歸一化，下章再討論。注：波函數(shù)不能按歸一化時，仍能

7、和幾率成比例，但它被稱為相對幾率密度。例3設(shè)粒子作一維運動，波函數(shù)為 ， A為歸一化常數(shù)，求A=？幾率分布函數(shù)與幾率密度幾率密度在內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率§2.2 態(tài)迭加原理 量子力學(xué)描述微觀粒子的量子狀態(tài)的方式與經(jīng)典力學(xué)不同（用坐標(biāo)與動量），它是用波函數(shù)描述。其原因是微觀粒子的波粒二象性。這種二象性，一方面體現(xiàn)了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，另一方面體現(xiàn)了量子力學(xué)的另一基本原理（基本假設(shè)）態(tài)迭加原理1態(tài)迭加原理在經(jīng)典力學(xué)中的聲波與光波均遵從迭加原理，例如光波，若與是兩個可能的光波動過程，則也是一個可能的光波動過程。光波的干涉現(xiàn)象是用上述原理來解釋的。光在空間任一點的強(qiáng)度可由前一時刻波列上各點傳播出來的

8、光波在P點的線性迭加得到。在上節(jié)，已經(jīng)通過用描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)成功地解釋了微觀粒子的干涉衍射現(xiàn)象，這說明在量子力學(xué)中態(tài)的迭加原理仍然成立。即：若分別是所描體系的兩個可能狀態(tài)，則它們的線性迭加。，也是體系的一個可能狀態(tài)。這個結(jié)論可推廣：若是體系的可能狀態(tài)，則也是體系的可能狀態(tài)。2如何理解態(tài)迭加原理（1）它是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)。（2）它與經(jīng)典波的迭加原理含義不同，當(dāng)粒子處于態(tài)和態(tài)的迭加態(tài)時，粒子即處于態(tài)，又處于態(tài)，這是經(jīng)典波所沒有的。例4假設(shè)在狀態(tài)中測量體系的某一力學(xué)量A（如動量）結(jié)果得到P1，而在態(tài)只能測得一特定值P2，那么在這種情況下，態(tài)迭加原理的意義是：在狀態(tài)為復(fù)常數(shù)）中，測到力學(xué)

9、量A（動量）的值，有可能是P1，也可以是P2，不會是其它值，也就是說在態(tài)時，測量A時，P1與P2均以一定的幾率出現(xiàn)，這是經(jīng)典波所沒有的，按經(jīng)典波，兩波迭加后所形成態(tài)的動量應(yīng)是完全確定的。例5另外，若 ，則，則 與是同一狀態(tài)，而對于經(jīng)典波而言與=（C1+C2），則完全不同（參張懌慈，P35）3量子態(tài)表象任何一個波函數(shù)都可看作是各種不同動量的平面波的迭加，即（） （例電子在晶體表面的衍射，參周P23）式中： 將代入有： 顯然式是一復(fù)數(shù)形式的付立葉積分是函數(shù)的付立葉變換式。 (參考梁昆淼數(shù)學(xué)物理方法P136)、都可描述粒子的量子態(tài)由前面討論可看出，粒子的量子態(tài)，即可用表示也可用描述（當(dāng)然也可用其它方

10、式），它們之間有確定的關(guān)系，彼此是等價的，它們描述的是同一狀態(tài)，只不過是表象不同而已，這就象一個矢量可在不同坐標(biāo)系中描述一樣。a) 是粒子在坐標(biāo)表象（表象）中的描述，表示粒子出現(xiàn)在處的幾率密度。b) 是粒子在動量表象中的表示，表示粒子動量是的幾率密度（參曾P39-40）一維情況下思考題：1如何理解態(tài)迭加原理？2的動量幾率分布如何，位置幾率分布又如何？能否歸一化3試述動量幾率密度的意義§ 23 薛定諤方程（S.E）經(jīng)典力學(xué)：描述粒子狀態(tài)用（坐標(biāo)動量）遵從牛頓定律 知道某一時刻狀態(tài)，由定律就能知道以后時刻的狀態(tài)量子力學(xué)：描述粒子狀態(tài)用或（波函數(shù)）它遵從什么規(guī)律？（不再是牛頓方程）同經(jīng)典力

11、學(xué)，不同處是描述方式不同一、建立薛定諤方程的兩個條件建立的薛定諤方程就是描述波函數(shù)隨時間的變化方程1方程應(yīng)是線性微分方程這是態(tài)迭加原理的要求，若與是方程的解，那么是方程的解。這是一種線性迭加，所以要求方程是線性方程。2這個方程的系數(shù)不應(yīng)包括狀態(tài)參量（如動量、能量）因為方程的系數(shù)如含有狀態(tài)的參量，則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，而不能被各種狀態(tài)所滿足。二、薛定諤方程的建立（這里用了建立，而不用推導(dǎo)，參趙敏光配位場理論P4）1方法：先建立自由粒子方程，然后推廣到一般情況2建立：自由粒子的波函數(shù)是它應(yīng)是所要建立的方程的解： （）這不是我們要求的方程，雖是線性的（及都是一次）但系數(shù)中含有E（能量）

12、同理 +，得 （仍含參量P2） （）其中又對自由粒子 而由（）有 a. 自由粒子薛定諤方程即自由粒子的薛氏方程b.能量算符與動量算符由（） （）由此可以看出 自由粒子的薛氏方程可看作兩邊乘上，然后將E與P換成算符c. 力場中粒子的薛定諤方程，力場中的粒子能量上式兩邊同乘有將E用，用代替，則有上式即薛定諤波動方程也即薛定諤方程（方程由薛定諤1926建立）關(guān)于薛定諤方程的幾點說明：薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程（基本假設(shè)），我們上面用了“建立”二字，是建立方程，不是用基本假設(shè)推導(dǎo)方程。薛氏方程的正確性由實驗驗證。它在量子力學(xué)中的地位相當(dāng)牛頓定律在經(jīng)典力學(xué)中的地位。多粒子體系的薛定諤方程。， 三、動

13、量表象中的波函數(shù)（表象概念作介紹）具有確定動量的自由粒子波函數(shù)為 任意粒子的波函數(shù)可看作是具有各種可能動量的平面波的線性迭加因動量一般連續(xù)，所以，其中由復(fù)數(shù)付立葉變換 四、與關(guān)系1是坐標(biāo)表象中的波函數(shù)，是動量表象中以動量為變量的波函數(shù)，它們描述同一狀態(tài)。2與的意義§2-4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律一、粒子在空間出現(xiàn)的幾率隨t的變化規(guī)律假設(shè)描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)是，則由前面討論知，在時刻t在點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率（幾率密度）為（設(shè)是歸一化的），因此，幾率密度隨時間變化率為： (1)由薛氏方程 (2)上式的共軛復(fù)數(shù)方程為 （是實數(shù)） (3)將(2)和(3)代入(1)式得： 令則

14、(4)這個方程具有連續(xù)性方程形式，即幾率密度隨t的變化規(guī)律與流體力學(xué)中連續(xù)性方程形式一樣。這個方程即幾率守恒定律的微分形式。二、矢量的物理意義將(4)在空間任一體積V內(nèi)求積分有：由矢量分析中高斯定理（將體積分轉(zhuǎn)換成面積分） （5）而積分是對包圍體積V的封閉曲面S的積分。表示單位時間在閉域v中找到粒子的總幾率（即幾率在單位時間的增加量）而 表示單位時間內(nèi)通過封閉曲面S而流入V的幾率（注意負(fù)號，參曾P48）所以具有幾率密度的意義（可與電流密度比較，P180，電磁學(xué)，梁燦彬，叫做電流密度）表示單位時間流過S面上單位面積的幾率表明：單位時間內(nèi)V中增加幾率應(yīng)等于從體積V外穿過V的邊界面流進(jìn)V的幾率，所以

15、式也叫實域幾率守恒方程。若在無限遠(yuǎn)處波函數(shù)為零，則將V擴(kuò)大到整空間區(qū)域時即整個空間找到粒子的幾率與時間無關(guān)。三、質(zhì)量守恒與電荷守恒定律1質(zhì)量守恒定律是粒子質(zhì)量，上式是t時刻在（）點粒子的質(zhì)量密度。是質(zhì)量流密度。因此有：上式表明：單位體積V內(nèi)質(zhì)量的改變，等于穿過V邊界面S流入或流出的質(zhì)量，這是量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律。2電荷守恒定律+兩邊乘以e，則令 則這是量子力學(xué)中的電荷守恒定律，它說明粒子的電荷總量不隨時間發(fā)生變化，也就是單位時間V體積內(nèi)電荷總量的改變，就等于穿過S流入流出V的電荷量。四、波函數(shù)在其變量變化區(qū)域應(yīng)滿足的條件1有限性原因：是t時刻在（）點找到粒子的幾率密度，所以波函數(shù)應(yīng)是有限的。

16、2單值性原因：在t 時刻（）點找到粒子的幾率密度應(yīng)是唯一的。這就要求具有唯一性即單值性。3連續(xù)性描述粒子運動規(guī)律的方程是薛氏方程，它是一個偏微分方程，這就要求的二階微商存在。而微商存在的一個重要條件就是波函數(shù)連續(xù)性。思考題：1波函數(shù)應(yīng)滿足什么條件？為什么？2知道粒子的波函數(shù)，能得到粒子的什么統(tǒng)計知識？3如何理解波函數(shù)歸一化條件不隨t變化？§25定態(tài)薛氏方程一、薛定諤方程的解 （1）這是偏微分方程，當(dāng)場不含時間t時，可用分離變量法求解（參川大P146-147，參梁昆淼：方法P200。設(shè)上式特解為：方程左邊是t的函數(shù)與無關(guān)，而右邊是的函數(shù)與t無關(guān)，只有上式等式一個常數(shù)時，上式才能滿足，令

17、其為E。則 由可得到將C放到去（應(yīng)求出具體波函數(shù)后仍還要歸一化），則得到薛氏方程（1）的特解為 （4）能量為E的自由粒子的波函數(shù)為：與此類比：表明E是體系處于（4）式波函數(shù)所描寫的狀態(tài)的能量。因此當(dāng)體系處于（4）所描寫狀態(tài)時，能量有確定的值，這種狀態(tài)叫定態(tài)，（4）叫定態(tài)波函數(shù)。二、定態(tài)、定態(tài)波函數(shù)、定態(tài)薛氏方程1定態(tài)是體系處于所描述狀態(tài)時，能量有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)。2定態(tài)波函數(shù)若粒子處于定態(tài)時，在解決實際問題中，我們感興趣的是而不是本身，知道了就知道了，所以有時就將叫定態(tài)波函數(shù)。（參張懌慈P37）3定態(tài)薛定諤方程由方程得到，因此該方程被稱為定態(tài)薛氏方程（或不含時間的薛氏方程）。4處于定

18、態(tài)的粒子的特征幾率密度及幾率流密度不隨t變化。任何力學(xué)量（不含t）的平均值不隨t 變化。（參曾P52（上）任何力學(xué)量（不含t）取各種可能測量值的幾率分布不隨t變化。三、本征值方程1哈密頓算符將 兩邊乘以將，兩邊乘以，則與是相關(guān)的能量算符，由于是由經(jīng)典的哈密頓函數(shù)代換而來的，所以叫哈密頓算符。即：2本征值方程這種類型方程叫本征值方程（定態(tài)薛氏方程），En稱為算符的本征值，稱為算符的本征函數(shù)。 結(jié)論：當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)描寫的狀態(tài)時（能量本征態(tài)），粒子的能量有確定的值，這個值就是能量算符的本征值。四、薛定諤方程的通解五、關(guān)于定態(tài)問題的一個重要結(jié)論若體系的Hamilton不含時間t，而且在t=

19、0時處于體系的一個定態(tài)，則在任一時刻仍處于該定態(tài)，即例：下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)是否為定態(tài)？123 思考題1粒子處于定態(tài)有哪些特征？2粒子處于定態(tài)的條件是什么？3怎樣從形式判斷一個波函數(shù)是否處定態(tài)？4兩個能量本征值不相等的波函數(shù)，它們的能量線性組合是否為定態(tài)？§26 一維無限深勢阱（中運動的粒子）定態(tài)問題是量子力學(xué)非常重要的一類問題，因此求一個微觀體系的能量的可能值和定態(tài)波函數(shù)成了量子力學(xué)的重要任務(wù)之一。（P39 張懌慈）一、一維無限深勢阱的勢能二、定態(tài)薛氏方程 ， （1）， （2）三、方程的求解1體系能量，方程中，因波函數(shù)應(yīng)滿足連續(xù)性與有限性，只有當(dāng)時，（2）式才能成立，所以，這就是

20、說粒子跑不到阱外，即在阱外的， 即出現(xiàn)的幾率為0假定，（在這里可以不講）由（2）式可變?yōu)?，令?（3）當(dāng)時，這不符合波函數(shù)有限的條件，這必要求C=0（1）方程可變?yōu)?令，則（1）變?yōu)?，（特征根?（4） 又薛定諤方程是關(guān)于的二階微分方程，它要求的的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。由（2） (C=0)由（4）得當(dāng)時 （5）、是有界函數(shù)且A、B都是有限的。但是當(dāng)（5）式要求D=0由（1）令由的連續(xù)性要求：由此得到A、B不能同時為零，否則在物理上無意義因此上式有兩種情況（1），這要求（2），這要求由（1），n為奇數(shù)（2），n為偶數(shù)這就是說當(dāng)時（），波函數(shù)才有物理意義，（這里，原因是時，這無物理意義；為負(fù)數(shù)時，不能給出

21、新的波函數(shù)）而又因此體系本征能量為 （n=整數(shù)）說明：（1）這就是說并非任何E值對應(yīng)的波函數(shù)都滿足物理要求，只有En取上式時，對應(yīng)的波函數(shù)才能滿足。（2）當(dāng)粒子被束縛于無限深勢阱時，能量只能取一系列分立值為，無限多個可能值，能量是量子化的，n是量子數(shù)。2波函數(shù)（能量為En的波函數(shù)）n為偶數(shù)時，（B=0）n為奇數(shù)時（A=0） 合并其實，當(dāng)n=奇數(shù)是式，當(dāng)n=偶數(shù)是式，由波函數(shù)的歸一化條件 = = = 3結(jié)果討論是兩個沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波。 = （歐拉公式）粒子最低能為，即粒子最低能不為零，這是微觀粒子波動性的表現(xiàn)，靜止波是無意義的（這與經(jīng)典粒子不同）。時，通常將無限遠(yuǎn)處的波函數(shù)所

22、描寫的狀態(tài)叫束縛態(tài)，束縛態(tài)的能級是分立的。能級分布不均勻，當(dāng)所以當(dāng)n很大時，可認(rèn)為E是連續(xù)的。本征函數(shù)的圖形（波形）參教材P37位置幾率分布由定態(tài)薛定諤方程求能量本征函數(shù)和本征值的步驟：a.寫出勢能及Hamilton。b.建立定態(tài)薛定諤方程，引入?yún)⒘亢喕笸ń?。c.由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件求出本征函數(shù)和本征值。d.根據(jù)歸一化條件，求歸一化常數(shù)。思考題：設(shè)粒子限制在矩形匣子里運動，熱能為求其本征值和本征函數(shù)§27 線性諧振子一、線性諧振子的概念及應(yīng)用若在一維空間運動粒子的勢能為，則該體系叫線性諧振子。例1雙原子中兩個原子之間的勢能在平衡位置近似地用諧振子勢能來代替。是的函數(shù)，為兩原子距離。

23、時，U取極小值，這是平衡位置，U在a處可展成的冪級數(shù)，在 處，所以二次以上項忽略。二、線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程1定態(tài)薛氏方程的建立經(jīng)典線性諧振子的方程為，解為它的狀態(tài)是用位置和動量表示，而量子線諧振子問題其狀態(tài)是用波函數(shù)表示，該問題主要是如何求波函數(shù)及對應(yīng)的能級。與時間t無關(guān)，所以是定態(tài)問題。一般定態(tài)薛氏方程為 （1）又是一維問題 整理得 2方程的化簡令 （2）這是一個變系數(shù)二階常微分方程。3方程的求解首先考查在的漸近行為當(dāng)方程變?yōu)?（3）可以證明是上述方程的解，因而是原方程當(dāng)時的漸近解。又波函數(shù)要求有限（漸近解）我們可以認(rèn)為方程的真正解是乘以某一函數(shù)為 （4）將（4）代入（2），則 （5）這也是非常系數(shù)為二階微分方程顯然是（5）的一個解代入（5）式，得由于對應(yīng)任何態(tài)）又也是（5）的一個解，a1是任意常數(shù)將上式代入（5）式得同理 將代入（5）與的系數(shù)