一元一次方程的實際應用題(含詳細答案整理版本)

1、一元一次方程的實際應用題 愛因斯坦是現代物理學的開創(chuàng)者、 集大成者和奠基人, 同時也是一位著名的思想家和哲學家。 其中他的一句名言還包含了我們的數學知識哦。 一起看看吧, 是我們所學過的什么知識呢?A = x+y+z:成功=艱苦的勞動+正確的方法+少說空話。在我們思考這偉大哲理的同時,請思考一下,這上面的是不是一元一次方程呢? A 列方程解應用題的原理正確列出方程能準確表達題目中量之間的關系。B 列方程解應用題的實質先分析,再找等量關系,最后列方程。 找出題目中“相等關系”再列方程。 一兩種方式表達一個相同的量,列出方程1.列一元一次方程解應用題的一般步驟 (1審題:弄清題意. (2找出等量關

2、系:找出能夠表示本題含義的相等關 系. (3設出未知數,列出方程:設出未知數后,表示出有關的含字母的式子, 然后利用已找出的等量關系列出方程. (4解方程:解所列的方程,求出未知 數的值.(5檢驗,寫答案:檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解, 是否 符合實際,檢驗后寫出答案. 題型一:利率問題利率問題利息 =本金×利率×期數本利和 =本金十利息 =本金×(1+利率×期數利息稅 =利息×稅率稅后利息 =利息一利息稅 =利息×(1-稅率稅后本利和 =本金+稅后利息【總結】 若利率是年利率,期數以“年”為單位計數,若是月利率,則期數以“月

3、”為單位 計數,解題時要注意 .【例 1】 某人把若干元按三年期的定期儲蓄存入銀行,假設年利率為 3. 69%,到期支取時 扣除所得稅實得利息 2 103.3元,求存入銀行的本金. (利息稅為 5%【答案】設存入銀行的本金為 x 元,根據題意,得(33. 69152103. 3x -=%x =20000x =,因此,存入銀行的本金是 20000元.【總結】 利息 =本金×利率×期數×利息稅我來試一試 !【鞏固練習】1:小青的媽媽前年買了某公司的二年期債 4500元, 今年到期, 扣除利息稅后,共得本利和 約 4700元,問這種債券的年利率是多少 (精確到 0.01

4、%?解:設這種債券的年利率是 x ,得(注意設未知數時 x 和 x %的區(qū)別4700-4500=4500×2x (1-20%解之,得x 2.78%(此題方程得解不是準確數,因此不必檢驗2:小明把壓歲錢按定期一年存入銀行。當時一年期定期存款的年利率為 1.98%,利息稅的 稅率為 20%。到期支付時,扣除利息稅后小明實得本利和為 507.92元。問小明存入銀行的 壓歲錢有多少元?數量關系:利息 =本金×利率本息 =本金 +利息本金 +利息 -利息稅 =實得本利和解:設本金為 x 元,利息為 1.98%x,應繳利息稅為 1.98%x ·20%,根據題意,得:x+1.9

5、8%x-1.98%x·20%=507.92 題型二:折扣問題利潤額 =成本價×利潤率售價 =成本價+利潤額新售價 =原售價×折扣【例 2】 小麗和小明相約去書城買書,請你根據他們的對話內容(如圖 ,求出小明上次所 買書籍的原價. 圖 641-【分析】設小明上次購買書籍的原價是 x 元,由題意,得0. 82012x x+=-,解得 160x =.因此,小明上次所買書籍的原價是 160元,【答案】 160元 .我來試一試 !1:一件衣服按標價的八折出售,獲得利潤 18元,占標價的 10%,問該衣服的買入價? 分析:本金:標價利率:-20%利息:成交價-標價=買入價+利

6、潤-標價解:設該衣服的買入價為 x 元x +18-18/10%=18/10%×(80%-1當然,這道題這樣解是一種方法,還可以按照我們常規(guī)的算術方法解來,倒也簡單,因此, 列方程解應用題是針對過程清楚的問題比較簡單方便。2. 一家商店將某種服裝按進價提高 40%后標價,又以 8折優(yōu)惠賣出,結果每件仍獲利 15元,這種服裝每件的進價是多少?分析 探究題目中隱含的條件是關鍵,可直接設出成本為 X 元 等量關系:(利潤 =折扣后價格進價折扣后價格-進價 =15 解:設進價為 X 元, 80%X(1+40% X=15, X=125 答:進價是 125元。 題型三:行程問題行程問題:解行程問題

7、的關鍵是抓住時間關系或路程關系,借助草圖分析來解決問題. 路程 =速度×時間相遇路程 =速度和×相遇時間追及路程 =速度差×追及時間 基本關系:速度×時間 =路程 (圖示法 (一 相遇問題相遇問題的基本題型及等量關系 1.同時出發(fā)(兩段甲的路程 +乙的路程 =總路程 2.不同時出發(fā)(三段 先走的路程 +甲的路程 +乙的路程 =總路程【例 1】 甲、乙兩站相距 480公里,一列慢車從甲站開出,每小時行 90公里,一列快車從 乙站開出,每小時行 140公里。(1 慢車先開出 1小時, 快車再開。 兩車相向而行。 問快車開出多少小時后兩車相遇? (2兩車同時開

8、出,相背而行多少小時后兩車相距 600公里?(3 兩車同時開出, 慢車在快車后面同向而行, 多少小時后快車與慢車相距 600公里? (4兩車同時開出同向而行,快車在慢車的后面,多少小時后快車追上慢車?(5慢車開出 1小時后兩車同向而行,快車在慢車后面,快車開出后多少小時追上慢 車?(1分析:相遇問題,畫圖表示為:等量關系是:慢車走的路程 +快車走的路程 =480公里。解:設快車開出 x 小時后兩車相遇,由題意得, 140x+90(x+1=480 解這個方程, 230x=390, 23161 x甲 乙答:快車開出 23161小時兩車相遇 (2分析:相背而行,畫圖表示為:等量關系是:兩車所走的路程

9、和 +480公里 =600公里。 解:設 x 小時后兩車相距 600公里,由題意得, (140+90x+480=600解這個方程, 230x=120 x= 2312 答:2312小時后兩車相距 600公里。 (3分析:等量關系為:快車所走路程-慢車所走路程 +480公里 =600公里。解:設 x 小時后兩車相距 600公里, 由題意得, (140-90x+480=600 50x=120 x=2.4答:2.4小時后兩車相距 600公里。(4分析:追及問題,畫圖表示為:等量關系為:快車的路程 =慢車走的路程 +480公里。解:設 x 小時后快車追上慢車。由題意得, 140x=90x+480 解這個

10、方程, 50x=480 x=9.6 答:9.6小時后快車追上慢車。(5分析:追及問題,等量關系為:快車的路程 =慢車走的路程 +480公里。解:設快車開出 x 小時后追上慢車。 由題意得, 140x=90(x+1+480 50x=570 x=11.4 答:快車開出 11.4小時后追上慢車?！纠?2】 .小杰和小麗分別在 400米環(huán)形跑道上聯系跑步與競走,小杰每分鐘跑 320米,小 麗每分鐘走 120米,兩人同時由同一起點同向出發(fā),問幾分鐘后小麗與小杰第一次相遇 . 【答案】 設 x 分鐘后小麗與小杰第一次相遇 . 根據題意,得320120400x -=解方程,得 2x = 答:出發(fā) 2分鐘后小

11、麗與小杰第一次相遇 .【分析】 由于小杰、 小麗在環(huán)形跑道上同時同地同向出發(fā), 因此小麗與小杰第一次相遇, 必 須是小杰比小麗多跑一圈,得到的等式是:小杰所跑的路程小麗所走的路程 =400. 因為“速度×時間 =路程” ,所以三個量中只要已知其中兩個量就可以得到第三個量 .(2航行問題 順水(風速度=靜水(風速度+水流(風速度 逆水(風速度=靜水(風速度-水流(風速度 抓住兩碼頭間距離不變,水流速和船速(靜不速不變的特點考慮相等關系.甲 乙甲 乙【例 3】 某船從 A 地順流而下到達 B 地,然后逆流返回,到達 A 、 B 兩地之間的 C 地,一 共航行了 7小時,已知此船在靜水中的

12、速度為 8千米 /時,水流速度為 2千米 /時。 A 、 C 兩 地之間的路程為 10千米,求 A 、 B 兩地之間的路程。解:設 A 、 B 兩碼頭之間的航程為 x 千米,則 B 、 C 間的航程為 (x-10千米, 由題意得,5. 327281082=-+x x x 解這個方程得答:A 、 B 兩地之間的路程為 32.5千米。 分析 這屬于行船問題,這類問題中要弄清:(1順水速度 =船在靜水中的速度 +水流速度;(2逆水速度 =船在靜水中的速度-水流速度。相等關系為:順流航行的時間 +逆流航 行的時間 =7小時。我來試一試 !1. 甲乙兩人在同一道路上從相距 5千米的 A 、 B 兩地同向

13、而行, 甲的速度為 5千米 /小時, 乙 的速度為 3千米 /小時,甲帶著一只狗,當甲追乙時,狗先追上乙,再返回遇上甲,再返回 追上乙,依次反復,直至甲追上乙為止,已知狗的速度為 15千米 /小時,求此過程中,狗跑 的總路程是多少?解:設甲用 X 小時追上乙,根據題意列方程 5X=3X+5 解得 X=2.5,狗的總路程:15×2.5=37.5答:狗的總路程是 37.5千米。分析 追擊問題, 不能直接求出狗的總路程, 但間接的問題轉化成甲乙兩人的追擊問題。 狗 跑的總路程 =它的速度×時間,而它用的總時間就是甲追上乙的時間2. 一架飛機在兩個城市之間飛行,風速為 24千米 /

14、小時,順風飛行需要 2小時 50分,逆風 飛行需要 3小時,求兩個城市之間的飛行路程? 解:設兩個城市之間的飛行路程為 x 千米。 則24484831762432460502=-+=-x xx xx3. 一輪船在甲、乙兩碼頭之間航行,順水航行需要 4小時,逆水航行需要 5小時,水流的速 度為 2千米 /時,求甲、乙兩碼頭之間的距離。 解:設甲、乙兩碼頭之間的距離為 x 千米。則 454+=x x x=80 題型四:工程問題工程問題解工程問題時,常將工作總量當作整體“ 1” .基本關系為: 工作效率×工作時間 =1(工作總量等量關系:(圖示法 工作總量 =工作效率×工作時間全

15、部工作量之和 =各隊工作量之和,各隊合作工作效率 =各隊工作效率之和 工作總量不清楚時看成“ 1”【例 1】 一項工程甲做 40天完成,乙做 50天完成,現在先由甲做,中途甲有事離去,由乙 接著做,共用 46天完成.問甲、乙各工作了多少天? 【分析】 由題意知,甲每天完成全部工作量的 140,乙每天完成 150,設甲工作了 x 天,則 乙工作了(46x -天,根據題意,得4614050x x-+=.解得 16x =,則 461630-=(天. 故甲工作了 16天,乙工作了 30天.【答案】 甲工作 16天,乙工作 30天.【例 2】 一件工程,甲獨做需 15天完成,乙獨做需 12天完成,現先由

16、甲、乙合作 3天后, 甲有其他任務,剩下工程由乙單獨完成,問乙還要幾天才能完成全部工程?解:設乙還需 x 天完成全部工程,設工作總量為單位 1,由題意得,5365331123 121151(=+x x 解之得 答:乙還需 536天才能完成全部工程。分析 設工程總量為單位 1,等量關系為:甲完成工作量 +乙完成工作量 =工作總量。 【例 3】 一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管,單獨開甲管 6小時可注滿水池; 單獨開乙管 8小時可注滿水池, 單獨開丙管 9小時可將滿池水排空, 若先將甲、 乙管同時開 放 2小時,然后打開丙管,問打開丙管后幾小時可注滿水池?解:設打開丙管后 x 小時可注滿

17、水池, 由題意得, 1342133019 2( 8161(=-+x x x 解這個方程得 答:打開丙管后 1342小時可注滿水池。 分析 等量關系為:甲注水量 +乙注水量 -丙排水量 =1。我來試一試 !1. 一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網絡, 甲獨做需 6小時, 乙獨做需 4小時, 甲先做 30分鐘,然后甲、乙一起做,則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作? 解:設甲、乙一起做還需 x 小時才能完成工作. 根據題意,得16×12+(16+14 x=1 解這個方程,得 x=115 115=2小時 12分 答:甲、乙一起做還需 2小時 12分才能完成工作.2. 某車間有 16名工人

18、,每人每天可加工甲種零件 5個或乙種零件 4個.在這 16名工人中, 一部分人加工甲種零件, 其余的加工乙種零件. 已知每加工一個甲種零件可獲利 16元, 每加工一個乙種零件可獲利 24元. 若此車間一共獲利 1440元, 求這一天有幾個工人加 工甲種零件.解:設這一天有 x 名工人加工甲種零件, 則這天加工甲種零件有 5x 個, 乙種零件有 4(16-x 個. 根據題意,得 16×5x+24×4(16-x =1440 解得 x=6 答:這一天有 6名工人加工甲種零件3. 一項工程甲單獨做需要 10天,乙需要 12天,丙單獨做需要 15天,甲、丙先做 3天后, 甲因事離去,

19、乙參與工作,問還需幾天完成? 解:設還需 x 天。3101 3(151=+=+ +x x x x 解得 或 我的 得分方法回顧1數字問題一般可設個位數字為 a ,十位數字為 b ,百位數字為 c . 十位數可表示為 10b+a, 百位數可表示為 100c+10b+a.然后抓住數字間或新數、原數之間的關系找等量關系列方程. 2.市場經濟問題(1 商品利潤=商品售價-商品成本價 (2 商品利潤率=商品利潤商品成本價×100%(3商品銷售額=商品銷售價×商品銷售量(4商品的銷售利潤=(銷售價-成本價×銷售量(5商品打幾折出售,就是按原標價的百分之幾十出售,如商品打 8折

20、出售, 即按原標價的 80%出售.3.行程問題:路程=速度×時間 時間=路程÷速度 速度=路程÷時間(1相遇問題:快行距+慢行距=原距(2追及問題:快行距-慢行距=原距(3航行問題:順水(風速度=靜水(風速度+水流(風速度逆水(風速度=靜水(風速度-水流(風速度抓住兩碼頭間距離不變, 水流速和船速 (靜不速 不變的特點考慮相等關系. 4.工程問題 :工作量=工作效率×工作時間完成某項任務的各工作量的和=總工作量=15.儲蓄問題利潤= 每個期數內的利息本金×100% 利息=本金×利率×期數注意:雖然我們分了幾種類型對應用題進行

21、了研究, 但實際生活中的問題是千變萬化的, 遠不止這幾類問題。 因此我們要想學好列方程解應用題, 就要學會觀察事物, 關心日常生產 生活中的各種問題, 如市場經濟問題等等,要會具體情況具體分析,靈活運用所學知識,認 真審題,適當設元,尋找等量關系,從而列出方程,解出方程,使問題得解 課后作業(yè)完成1. 某商店開張,為了吸引顧客,所有商品一律按八折優(yōu)惠出售,已知某種皮鞋進價 60元 一雙,八折出售后商家獲利潤率為 40%,問這種皮鞋標價是多少元?優(yōu)惠價是多少元?分析 等量關系:商品利潤率 =商品利潤 /商品進價解:設標價是 X 元,80%604060100x -=解之:x=105 優(yōu)惠價為 , (

22、8410510080%80元 =x2. 一家商店將某種服裝按進價提高 40%后標價,又以 8折優(yōu)惠賣出,結果每件仍獲利 15元,這種服裝每件的進價是多少?分析 探究題目中隱含的條件是關鍵,可直接設出成本為 X 元 等量關系:(利潤 =折扣后價格進價折扣后價格-進價 =15 解:設進價為 X 元, 80%X(1+40% X=15, X=125 答:進價是 125元。3. 一家商店將一種自行車按進價提高 45%后標價,又以八折優(yōu)惠賣出,結果每輛仍獲利 50元,這種自行車每輛的進價是多少元?若設這種自行車每輛的進價是 x 元,那么所列方 程為( B A.45%×(1+80% x-x=50

23、B. 80%×(1+45% x - x = 50 C. x-80%×(1+45% x = 50 D.80%×(1-45% x - x = 504.某商品的進價為 800元,出售時標價為 1200元, 后來由于該商品積壓,商店準備打折出 售,但要保持利潤率不低于 5%,則至多打幾折. 解:設至多打 x 折,根據題意有 1200800800x -×100%=5% 解得 x=0.7=70%答:至多打 7折出售 .4. 某同學把 250元錢存入銀行,整存整取,存期為半年。半年后共得本息和 252.7元,求 銀行半年期的年利率是多少?(不計利息稅 分析 等量關系:

24、本息和 =本金×(1+利率解:設半年期的實際利率為 X ,依題意得方程 250(1+X=252.7, 解得 X=0.0108 所以年利率為 0.0108×2=0.0216 答:銀行的年利率是 21.6% 5. 為了準備 6年后小明上大學的學費 20000元,他的父親現在就參加了教育儲蓄,下面有 三種教育儲蓄方式: (1直接存入一個 6年期;(2先存入一個三年期, 3年后將本息和自動轉存一個三年期; (3先存入一個一年期的,后將本息和自動轉存下一個一年期;你認為哪 種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少?分析這種比較幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計算出每種教育儲蓄的本金是多

25、 少，再進行比較。 解：(1）設存入一個 6 年的本金是 X 元,依題意得方程 X（1+6×2.88%）=20000，解得 X=17053 (2） 設存入兩個三年期開始的本金為 Y 元，（1+2.7%×3） Y (1+2.7%×3） =20000， X=17115 (3）設存入一年期本金為 Z 元 ，Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894 所以存入一個 6 年期的本金最少。 6某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為 1000 元，經粗加工后 銷售，每噸利潤可達 4500 元，經精加工后銷售，每噸利潤漲至 7500 元，當地一家公司收

26、購這種蔬菜 140 噸，該公司的加工生產能力是： 如果對蔬菜進行精加工，每天可加工 16 噸，如果進行精加工，每天可加工 6 噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季度等條件 限制， 公司必須在 15 天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢， 為此公司研制了三種可行方案： 方案一：將蔬菜全部進行粗加工 方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷 售 方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好 15 天完成 你認為哪種方案獲利最多？為什么？ .解：方案一：獲利 140×4500=630000（元） 方案二：獲利 15×6×7500+（140-15×6）×1000=