概率論 第7章ppt課件

1、第七章第七章 隨機過程及其統(tǒng)計描畫隨機過程及其統(tǒng)計描畫 在概率論中主要研討一個或有限個隨機在概率論中主要研討一個或有限個隨機變量變量, ,即一維或者即一維或者n n維隨機變量維隨機變量( (隨機向量隨機向量),),隨著科學技術的開展隨著科學技術的開展, ,往往需求接連不斷的往往需求接連不斷的察看或研討隨機變量的變化過程察看或研討隨機變量的變化過程, ,這就要同這就要同時思索無窮多個隨機變量時思索無窮多個隨機變量, ,或者說一族隨機或者說一族隨機變量變量, ,隨機過程這是在這種要求下隨機過程這是在這種要求下, ,于上世紀于上世紀產生并開展起來的一個數(shù)學分支產生并開展起來的一個數(shù)學分支, ,它是研

2、討它是研討隨機景象變化過程的規(guī)律性的實際隨機景象變化過程的規(guī)律性的實際. .目前以目前以廣泛運用于許多現(xiàn)代科學技術領域之中廣泛運用于許多現(xiàn)代科學技術領域之中. .隨機過程及其統(tǒng)計描畫 7.1 隨機過程的根本概念隨機過程的根本概念一一 引言引言 現(xiàn)實世界中的許多景象是隨時間的進展而變化現(xiàn)實世界中的許多景象是隨時間的進展而變化與開展的，這些景象通常稱為過程?？煞譃閮深悾号c開展的，這些景象通常稱為過程?？煞譃閮深悾?(1) (1)確定性的變化過程：確定性的變化過程： (2) (2)不確定的變化過程：不確定的變化過程： 假設質點在一個隨機的力它由各種隨機要素構成的作用下，那么質點的運動也是隨機的。如何

3、描畫這樣的變化過程如何描畫這樣的變化過程? ?1. 1. 假設對其變化過程的全過程做一次察看假設對其變化過程的全過程做一次察看, ,得到一個位置與時間關系的函數(shù)得到一個位置與時間關系的函數(shù)x1(t ),x1(t ),假設再次察看，又得到函數(shù)假設再次察看，又得到函數(shù)x2(t ), ,x2(t ), ,因此得到一族時間函數(shù)因此得到一族時間函數(shù). .2. 2. 假設在時辰假設在時辰t t察看質點的位置察看質點的位置x(t ),x(t ),那那么么x(t )x(t )是一個隨機變量是一個隨機變量, ,這樣對于每個這樣對于每個時辰時辰t t便得到一個隨機變量便得到一個隨機變量X(t ),X(t ),于是

4、我于是我們就得到一族隨機變量們就得到一族隨機變量X(t),t0,X(t),t0,最初始時辰為最初始時辰為t=0t=0, ,它描畫了此隨機它描畫了此隨機的運動過程。的運動過程。 圖圖7-17-1它在任一確定時辰的值是隨機變量它在任一確定時辰的值是隨機變量. .顯然這顯然這個隨機過程的形狀空間個隨機過程的形狀空間為為 。 我們稱這種隨時間的進展而變化與開展的隨我們稱這種隨時間的進展而變化與開展的隨機景象為隨機過程。機景象為隨機過程。注釋：注釋：(1) (1) 隨機過程隨機過程 是定義在是定義在T T上的二元函上的二元函數(shù)，因此可以從兩個角度去了解數(shù)，因此可以從兩個角度去了解, , 因此有如上的兩因

5、此有如上的兩個定義。個定義。 在實際分析往往用隨機變量族的描畫方式，在在實際分析往往用隨機變量族的描畫方式，在實踐丈量和處置中往往采用樣本函數(shù)族的描畫方式實踐丈量和處置中往往采用樣本函數(shù)族的描畫方式 ( ),X t tTcos( ) (,) tHX tttT 當出現(xiàn)當出現(xiàn)例3: 思索拋擲一顆骰子的實驗，(i)設 是第n次 拋擲的點數(shù)，對于n=1,2的不同值, 是不同的隨機變量，因此 構成一隨機過程，稱為貝努利過程或貝努利隨機序列，(ii)設Xn是前n次拋擲中出現(xiàn)的最大點數(shù)， 也是一隨機過程。nX1n nX,1nXn ,1nXn 二二 隨機過程的概率分布隨機過程的概率分布一隨機過程的分布函數(shù)族一

6、隨機過程的分布函數(shù)族 1. 1.一維分布函數(shù)族一維分布函數(shù)族( , )( ),XFx tP X txxR 2. n維分布函數(shù)族 12121122( ,; ,)( ),( ),( ), 1,2, .XnnnniFx xxt ttP X tx X txX txxinR, 注注: :可以證明柯爾莫哥洛夫，在一定條件可以證明柯爾莫哥洛夫，在一定條件下，隨機過程的統(tǒng)計特性完全由它的有限維分布下，隨機過程的統(tǒng)計特性完全由它的有限維分布函數(shù)族決議。函數(shù)族決議。二二維隨機過程的結合分布函數(shù)二二維隨機過程的結合分布函數(shù)12121212(,; , ,:,; , ,)nnmmF x xx t tty yyt tt

7、1111( ),( ), ( ), ()nnmmP X txX tx Y tyY ty例例 6 6 求例求例1 1中的隨機過程的一維分布函數(shù)中的隨機過程的一維分布函數(shù)1( ,0),( , )4F xF x和二維分布函數(shù)和二維分布函數(shù)1( , ,0, )4F x y解：對恣意實數(shù)解：對恣意實數(shù),tR 有有( )X tcos t t1212p特別的特別的(0)X101212p1( )4X22141212p1(0),()4XX2(1,)21(0,)41212p1()4X22141212p0,0,1( ,0),01,21,1.xF xxx 10,41112( ,),424221,.2xF xxx (0

8、)X101212p三三 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征TttXEtX ),()( 函數(shù)函數(shù))()(tXEtX22 )()()(tXDtDtXX 2 )()()()()(),(),(ttXssXEtXsXCovtsCXXX 為為X(t),tX(t),tTT的均方值函數(shù)的均方值函數(shù). . 為為X(t),tX(t),tTT的方差函數(shù)的方差函數(shù). . 為為X(t),tX(t),tTT的自協(xié)方差函數(shù)的自協(xié)方差函數(shù). . 為為X(t),tX(t),tTT的均值函數(shù)的均值函數(shù). . 1.1.單個隨機過程的情況單個隨機過程的情況 2( )( , ),XXtRt t 諸數(shù)字特征的關系：諸數(shù)字特征的關系：

9、22( )( , )( , )( )XXXXtCt tRt tt( , )( )( )XRt sE X t X s為為X(t),tX(t),tTT的自相關函數(shù)的自相關函數(shù). . ( , )( , )( )( )XXXXCs tRs tst 2 2二個隨機過程的情況二個隨機過程的情況( , )( ) ( ), ,XYRt sE X t Y st sT( , )( )( ) ( )( )XYXYCt sEX ttY ss( , )( )( ) ,XYXYRt stst sT例例 7 7 求例求例1 1中的隨機過程的均值函數(shù)，方差函中的隨機過程的均值函數(shù)，方差函數(shù)，相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。數(shù)，相關函數(shù)

10、和協(xié)方差函數(shù)。解：解：1( )( )cos22XttE X tt ( )X tcost t1212p2221( )( )( )(cos)4XXDtE Xtttt ( ),( )XtXs(cos,cos)ts ( , )t s1212p1( , )( )( )coscos22XtsRt sE X t X sts 1( , )( , )( )( )(cos)(cos)4XXXXCt sRt ststtss )2 , 0(0)2 , 0(21)( f02120 dtataEtXEtX)cos()cos()()(解解: : 的概率密度為的概率密度為 于是于是 )cos()cos()()(),(2 ts

11、aEtXsXEtsRX dtsa21coscos202 sta cos22.2)(),()(222atttRtXXX ( ) E X tE YtE Z02( ) D X tD Yt D Z21 t )()(),(22122121txettxf 所以一維概率密度為所以一維概率密度為 又由正態(tài)分布的性質知，對于恣意 服從二維正態(tài)分布而 tsZtYZsYEtsRtsCXX 1),(),( 22111,tststsX 所以二維概率密度為所以二維概率密度為 1212222122211222222212121( ,; , )2(1)(1) 11exp22(1) 11(1)(1)f x x t tttxx xxtttt其中其中 12( , )Xt t, s tT( ),( )X sX t22( )( )0; ( )1, ( )1E X sE X tD X ssD X tt 兩個隨機過程之和的自相關函數(shù)為各個隨機兩個隨機過程之和的自相關函數(shù)為各個隨機過程的相關函數(shù)與它們的相互關函數(shù)之和。假設過程的相關函數(shù)與它們的相互關函數(shù)之和。假設兩個隨機過程的均值函數(shù)均恒為