矩陣的初等變換與逆矩陣

1、6.2 矩陣的初等變換與逆矩陣 6.2.1 矩陣的初等變換 6.2.2 逆矩陣的概念及用初等行變換求解逆矩陣 6.2.3 用逆矩陣求解矩陣方程 6.2.1 矩陣的初等變換 一、案例 二、概念和公式的引出 一、案例一、案例 投資組合投資組合 某人用60萬元投資A、B兩個項目，其中項目A的收益率為7，項目B的收益率為12，最終總收益為5.6萬元問他在A、B項目上各投資了多少萬元？ 下面用高斯消元法求解此方程組，我們把方程消元的過程列在下表的左欄，系數(shù)及常數(shù)項對應(yīng)的矩陣(增廣矩陣)變換過程列在下表的右欄 解設(shè)他在A、B項目上各投資了x1、x2萬元，根據(jù)題意，建立如下的線性方程組 12120.070.

2、125.660 xxxx方程組消元的過程 12120.070.125.6(1)60(2)xxxx增廣矩陣變換的過程 0.070.125.66011(1)、(2)互換 121260(1)0.070.125.6(2)xxxx第一行與第二行互換 60110.070.125.6100(2) 121260(1)712560(2)xxxx100乘以第二行 6011756012(2)-(1)712260(1)5140(2)xxx第一行的-7倍加到第二行 6011051401/5(2) 12260(1)28(2)xxx1/5乘以第二行 60110281(1)- (2) 123228xx第二行的-1倍加到第一行

3、 03210281從這個案例的求解過程還可以看出：求解線性方程組的過程實際上是對方程組接連地進行了以下三種運算： (1)將兩個方程的位置互換；(2)將一個方程乘以一個非零的常數(shù)；(3)將一個方程的k倍加到另一個方程上對應(yīng)的增廣矩陣經(jīng)過了相應(yīng)的三種變換(1)互換矩陣的兩行；(2)用一個非零數(shù)乘矩陣的某一行；(3)將矩陣的某一行乘以數(shù)k后加到另一行 矩陣的如下三種變換(3)將矩陣的某一行乘以數(shù)k后，加到另一行，常用 jirr (1)互換矩陣的兩行，常用 表示第i行與第j行 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩陣的初等變換矩陣的初等變換互換； (2)用一個非零數(shù)乘矩陣的某一行，常用 irk

4、 表示用數(shù)k乘以第i行； krrj表示第i行的k倍加到第j行 稱為矩陣的初等行變換.krrj把定義中的“行”換成“列”(所用記號把“r”換成“c”，即得矩陣的初等列變換. 矩陣的初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換. 6.2.2逆矩陣的概念及用初等行變換求解逆矩陣 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進一步的練習(xí) 一、案例一、案例汽車銷售量某一汽車銷售公司有兩個銷售部，矩陣S給一 二 18152417S大小月末盤點時統(tǒng)計得到兩個銷售部的利潤，用矩陣表示為 W=(37200 35050) 設(shè)兩種車的銷售利潤為矩陣P=(a,b) 則有 PS=W，問公司如何從PS=W中得到兩種車的銷售出了兩

5、個汽車銷售部的兩種汽車的銷量 利潤 P? 要解決這一問題，需要引入類似于數(shù)的除法的分析0a作用一個數(shù)的倒數(shù) 1a可用111aaaa來表示 運算從矩陣的角度來看，單位矩陣E類似于數(shù)1的對于n階方陣A，如果存在一個n階方陣B，使 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 逆矩陣 則稱方陣A是可逆的（簡稱A可逆），并稱B是A的逆ABBAIBA1矩陣，記作即11AAA AI滿足如下規(guī)律： 設(shè)A、B均為n階可逆矩陣，數(shù) 0，方陣的逆的運算(1) 1A可逆，且 AA11)(2) A可逆，且 111)(AAAB可逆，且 111)(ABAB(3) 可逆，且 )()(11AA(4) A在給定的n階方陣的右邊放

6、一個n階單位矩陣I形成初等行變換求逆矩陣初等行變換求逆矩陣 一個n2n的矩陣 )(IA，然后對矩陣 )(IA實施初等行變換，直到將原矩陣A所在部分變成單位矩陣I，原單位矩陣部分經(jīng)同樣的初等變換后，所得1A到的矩陣就是A的逆矩陣，即 )()(1AIIA初等行變換 三、三、進一步的練習(xí)進一步的練習(xí)練習(xí)1 用電度數(shù)我國某地方為避開高峰期用電，實行分時段計費，鼓勵夜間用電某地白天(AM8：00PM11：00)與夜間(PM11：00AM8：00)的電費標(biāo)準(zhǔn)為P，若某宿舍兩戶人某月的用電情況如下： 白天 夜間 174132150120一二 所交電費F=(90.29 101.41)，問如何用矩陣的運算表示當(dāng)

7、地的電費？ 解 可以得到當(dāng)?shù)氐碾娰M標(biāo)準(zhǔn)為 FAP1下面用初等變換求 1A令 174132150120A，因為 FAP，等式兩邊同時左乘以矩陣 1A,1201501013217401114501303013217401r21145030331109110rr 21450130111901909r1258540909511101909rr 158510136036111401909r 29518036111909 即 1A所以 1PA F29518036111909 90.29101.41 0.4620 0.2323即白天的電費標(biāo)準(zhǔn)為0.462元/度，夜間電費標(biāo)準(zhǔn)為0.2323元/度. 練習(xí)2 轉(zhuǎn)

8、動矩陣機器人手臂的轉(zhuǎn)動常用矩陣表示其中的元素為轉(zhuǎn)動角的三角函數(shù)值求下面轉(zhuǎn)動矩陣R的逆陣 8 . 00 . 06 . 00 . 00 . 10 . 06 . 00 . 08 . 0R解 因為 1008 . 00 . 06 . 00100 . 00 . 10 . 00016 . 00 . 08 . 01355403500010010304005rr 13107505010010304005rr 312510750501001034001055r 所以54053010530541A313107505010010002515020rr 1374310005501001034001055rr 6.2.3

9、 用逆矩陣求解矩陣方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進一步的練習(xí) 一、案例一、案例 輯毒船的速度 一艘載有毒品的船以63km/h的速度離開港口，由于得到舉報，24min后一輯毒船以75km/h的速度從港口出發(fā)追趕毒品走私船，問當(dāng)輯毒船追上載有毒品的船時，它們各行駛了多長時間？ 設(shè)當(dāng)輯毒船追上載有毒品的船時，載有毒品的船和輯毒船各行駛了x1，x2 h，由題意知，它們滿足 解 121263752460 xxxx即 1212637500.4xxxx記 637511A12xXx00.4B方程兩邊同時左乘 1A，得 BAX1由初等行變換，可以得到A的逆矩陣為 1175116312A所以 1XA

10、B1750302.5111630.425.22.11212一般地，對于矩陣方程AX=B，若矩陣A可逆，則 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 對于矩陣方程XA=B，若A可逆，則 BAX11 BAX若A、B均可逆，則矩陣方程AXB=C的解為 11BCAX 三、三、進一步的練習(xí)進一步的練習(xí)練習(xí)1 配料某工廠檢驗室有甲、乙兩種不同的化學(xué)原料，甲種原料分別含鋅與鎂10%與20%，乙種原料分別含鋅與鎂10%與30%，現(xiàn)在要用這兩種原料分別配制A、B兩種試劑，A試劑需含鋅、鎂各2g、5g，B試劑需含鋅、鎂各1g、2g問配制A、B兩種試劑分別需要甲、乙兩種化學(xué)原料各多少g？ 設(shè)配制A試劑需要甲、乙兩種化學(xué)原料分別為x , y g；配制B試劑需要甲、乙兩種化學(xué)原料分別為s ,t g根據(jù)題意，得如下矩陣方程 解 0.10.10.20.3xsyt設(shè) 3 .02 .01 .01 .0AtysxX2512B則 BAX1下面用初等行變換求