第一次數(shù)學(xué)危機(jī)--無(wú)理數(shù)(文檔)

1、1第一次數(shù)學(xué)危機(jī)-無(wú)理數(shù)2無(wú) 理 數(shù) (1)l不可通約的本質(zhì)是什麼？l15世紀(jì)義大利著名畫(huà)家達(dá)芬奇稱(chēng)為無(wú)理的數(shù)。l17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱(chēng)為不可名狀的數(shù)。l人們?yōu)榧o(jì)念依帕索，認(rèn)為畢氏學(xué)派抹殺真理才是”無(wú)理” ，因此把不可通約的數(shù)叫無(wú)理數(shù)。3正方形邊上刻上以楔形文字記載的數(shù)字 30，對(duì)角線上也刻上兩個(gè)數(shù)字，其一是 另一是 美國(guó)耶魯大學(xué)（Yale University）編號(hào)YBC 7289巴比倫泥版 無(wú) 理 數(shù) (2)4費(fèi) 伯 納 西 數(shù)(1)l十三世紀(jì)的義大利數(shù)學(xué)家費(fèi)伯納西 (Fibonacci) 寫(xiě)了一本商用的算術(shù)和代數(shù)手冊(cè)。提出了一個(gè)有趣的問(wèn)題：假定一對(duì)兔子在它們出生整整兩個(gè)月以後可以生

2、一對(duì)小兔子，其後每隔一個(gè)月又可以再生一對(duì)小兔子。假定現(xiàn)在在一個(gè)籠子裡有一對(duì)剛生下來(lái)的小兔子，請(qǐng)問(wèn)一年以後籠子裏應(yīng)該有幾對(duì)兔子？ 5費(fèi) 伯 納 西 數(shù)(2)12121,3nnnFFFFFn6費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) 的的 神神 奇奇 性性 質(zhì)質(zhì)(1)l 前n 個(gè)費(fèi)氏數(shù)加起來(lái)再加 1，等於第 n + 2 個(gè)費(fèi)氏數(shù) 12321nnFFFFF 7費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) 的的 神神 奇奇 性性 質(zhì)質(zhì)(2)8費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) 的的 神神 奇奇 性性 質(zhì)質(zhì)(3)l分別對(duì)偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)做加法運(yùn)算nnnFFFFFFFF9費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) 的的 神神 奇奇 性性 質(zhì)質(zhì)(4)l 第三項(xiàng)的平方加上第四項(xiàng)的

3、平方會(huì)得到第七項(xiàng) 。12221nnnFFF10費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) 的的 神神 奇奇 性性 質(zhì)質(zhì)(5)l費(fèi)氏數(shù)列前後項(xiàng)的比值費(fèi)氏數(shù)列前後項(xiàng)的比值：11費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) 的的 神神 奇奇 性性 質(zhì)質(zhì)(6)11.6180nnFF12費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) 的的 神神 奇奇 性性 質(zhì)質(zhì)(7)nG 211,10 令則151.6182 13費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) 的的 神神 奇奇 性性 質(zhì)質(zhì)(8)l 的連分?jǐn)?shù)表法 14黃黃 金金 分分 割割 (1)l雅典的帕德能神廟 (Parthenon at Athens) 莊嚴(yán)、宏偉，被認(rèn)為是古希臘最偉大的建築之一。有人認(rèn)為它之所以顯得那麼和諧，是因?yàn)檫@個(gè)建築符合黃金律。 15黃黃

4、 金金 分分 割割 (2)ABACACBC16黃黃 金金 分分 割割 (3)11ACABACBCBCACACACBC 151.6182ACBC黃金比值黃金比值（Golden Ratio） 17黃黃 金金 分分 割割 (4)l 如何才可以把一線段 AB 黃金分割呢？ 512ACAB18帕德能神廟中的黃金律帕德能神廟中的黃金律(1) l藍(lán)線與紅線之比都是黃金比例 。19帕德能神廟中的黃金律帕德能神廟中的黃金律(2)l 為什麼會(huì)出現(xiàn)如此多的黃金比例呢？ B、D 分別為 AC 之兩個(gè)黃金分割，則 D、B 分別為 AB 及 DC 之黃金分割。 1111,1111/11/ABDCACACADACDCDCA

5、CACACADAD ACABAB AC 20問(wèn) 題l 完美身材：人的身高與肚臍到腳底的比 例為黃金比。l1. 林志玲滿足完美身材，已知她的身高是 175公分，請(qǐng)問(wèn)肚臍到腳底的長(zhǎng)度為何？l2. 請(qǐng)算自己的身高與肚臍到腳底的比例是 否滿足黃金比。21黃 金 比 例 (1)l近代法國(guó)建築師 Le corbusier 在設(shè)計(jì)著名的馬賽聯(lián)合公寓時(shí)，便充分利用黃金律及人的知覺(jué)美學(xué)作為其建築舒適度的建構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)。 22黃 金 比 例 (2)23黃 金 比 例 (3)24The Dome of St. Paul, London 25Bagdad City Gate 26The Great Wall of Chin

6、a 27牙 齒28設(shè) 計(jì)(1)29設(shè) 計(jì)(2)30設(shè) 計(jì)(3)31黃 金 三 角 形l黃金三角形是一個(gè)等腰三角形其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值。我們?nèi)粢缘走厼橐谎饕坏妊切蝿t此三角形亦為一黃金三角形 。32畢 氏 學(xué) 派 對(duì) 五 角 星 形 (1)33畢 氏 學(xué) 派 對(duì) 五 角 星 形(2)l兩條綠色對(duì)角線將另一條和他們相交的對(duì)角線黃金分割於兩交點(diǎn)。 34畢 氏 學(xué) 派 對(duì) 五 角 星 形(3)l三個(gè)相似三角形都是黃金三角形。 35黃黃 金金 矩矩 形形 (1)l 長(zhǎng)和寬之比為黃金比例 的矩形叫做黃金矩形。若ABCD 為一黃金矩形，而 E、F 分別為 AD 及 BC線段上的黃金分割點(diǎn)，則 36

7、黃黃 金金 矩矩 形形 (2)(1)11ADADAFABADAFFDADAFAFFEAFFDFD 就是說(shuō)，F(xiàn)DCE也是一個(gè)黃金矩形。 37雅典的帕德能神廟 38等等 角角 螺螺 線線 (1)l等角螺線等角螺線就是向徑和切線的交角永遠(yuǎn)不變的曲線。 39等等 角角 螺螺 線線 (2)l 一個(gè)黃金矩形可以不斷地被分為正方形及較小的黃金矩形，通過(guò)這些正方形的端點(diǎn)，可以描出一條等角螺線，而螺線的中心正好是第一個(gè)黃金矩形及第二個(gè)黃金矩形的對(duì)角線交點(diǎn)。 40鸚 鵡 螺 41自自 然然 界界 中中 的的 費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) l自然界中到處可見(jiàn)費(fèi)氏數(shù)列的蹤跡。樹(shù)技上的分枝數(shù)，花瓣數(shù)：火鶴 1、百合 3，梅花 5，

8、桔梗常為 8，金盞花 13，等等 42松 果 鱗 片43向 日 葵(1)l螺線數(shù)目為34 及 55，較大的螺線數(shù)目則為89 及 144，更大的甚至還有144 及 233。 44向 日 葵(2)45雛 菊l(shuí)雛菊的螺線數(shù)目則是21 及 3446生 成 螺 線 l植物新芽頂端的中央，有一個(gè)圓形的組織稱(chēng)為頂尖，在頂尖的周?chē)鷦t有微小隆起物一個(gè)接一個(gè)的形成，這些隆起則稱(chēng)為原基，每個(gè)原基都希望能夠獲得最大的生長(zhǎng)空間而生成花、蕊或葉片等等。 47斜 列 線 l左右旋螺線，植物學(xué)家稱(chēng)之為斜列線斜列線(parastichy) l人的眼睛之所以能分辨出斜列線，是因?yàn)樾绷芯€是由相鄰的原基所形成。 48發(fā) 散 角 l

9、晶體學(xué)先驅(qū)布拉菲兄弟（Auguste and Louise Bravais）發(fā)現(xiàn)原基沿生成螺線交錯(cuò)排列的數(shù)學(xué)規(guī)則。他們量測(cè)相鄰兩原基之間的角度，發(fā)現(xiàn)量得的各個(gè)角度非常相近；稱(chēng)為發(fā)散角（divergence angle）。 l 發(fā)散角非常接近 137.5 度，也就是 黃金角。 49黃黃 金金 角角 l 將一個(gè)圓分成兩個(gè)弧，而兩個(gè)弧的長(zhǎng)度比為黃金比例，小弧的圓心角稱(chēng)之為黃金角黃金角 。l 黃金角有多大呢？l 圓周與大弧長(zhǎng)度的比亦為黃金比例 。22180137.51 22 50螺 線 數(shù) 目 與 費(fèi) 布 納 西 數(shù) (1)l1907年，數(shù)學(xué)家易特生在一條繞得很緊的螺線上，每隔 137.5 度畫(huà)一個(gè)點(diǎn)

10、。他發(fā)現(xiàn)，眼睛會(huì)看到兩組互相交錯(cuò)的螺線一組是順時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)，另一組是逆時(shí)鐘且兩組螺線的數(shù)目是相鄰的費(fèi)布納西數(shù)。 51螺 線 數(shù) 目 與 費(fèi) 布 納 西 數(shù) (2)52鳳鳳 梨梨 與與 費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) 列列 (1)53鳳鳳 梨梨 與與 費(fèi)費(fèi) 氏氏 數(shù)數(shù) 列列(2)l鳳梨上一小塊一小塊的六角形小格子是依時(shí)間先後，一片片長(zhǎng)出來(lái)的，而且它們與前一片的距離都是等距。l若發(fā)散角為黃金角，則第 1 塊六角形小格子的座標(biāo)為 ，而第 塊六角形小格子的位置是 l l標(biāo)記為費(fèi)氏數(shù) 的六角形小格子會(huì)很靠近切割線 1( ,)(1,) n(,)nnn11,nnnnFFFF 0nnFF nF0,1x 54為為 什什 麼麼 是

11、是 137.5 度？度？ l1979年，數(shù)學(xué)家伏格（H. Vogel）以電腦模擬原基的生長(zhǎng)情形。l用圓點(diǎn)來(lái)代表向日葵的原基，在發(fā)散角為固定值的假設(shè)下，試圖找出最佳的發(fā)散角使這些圓點(diǎn)盡可能緊密地排在一起。l當(dāng)發(fā)散角小於 137.5 度，或發(fā)散角超過(guò) 137.5 度，圓點(diǎn)間都會(huì)出現(xiàn)空隙。l而發(fā)散角是黃金角時(shí)，兩組螺線就會(huì)同時(shí)出現(xiàn)。此時(shí)是使花頭最密實(shí)、最堅(jiān)固，最有效的堆排方式。 55伏 格 的 實(shí) 驗(yàn) 56最無(wú)理的 無(wú) 理 數(shù) l若選用的發(fā)散角是三百六十度的有理數(shù)倍，就必定會(huì)得到一組徑向直線。由於直線之間都有空隙，所以原基就無(wú)法排列得很緊密。 l最有效的方式填滿一個(gè)平面，發(fā)散角就必須是三百六十度乘以