五大模型(三角型等積變形、共角模型匯總

1、1別表示四個(gè)小四邊形的面積試比較0 - S3與 S2- S4的大小.楊秀情一一六年級(jí)秋季一一配套練習(xí)【練練 1】如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是56平方厘米，點(diǎn)E、F、G分別是長(zhǎng)方形ABCD邊上的中 點(diǎn)，H為AD邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積.【練練 2】圖中的E、F、G分別是正方形ABCD三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長(zhǎng)是12，那么陰影部分的面積是_;【練練 3】（2008 年”希望杯”二試六年級(jí)）如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，F(xiàn)G與FH交于點(diǎn)O, Si、S2、S3及 S4分2【練練 4】如圖，三角形ABC中，DC =2BD,CE =3AE，三角形ADE的面積是20平方

2、厘米，三角 形ABC的面積是多少？【練練 5】（2008年第一屆“學(xué)而思杯”綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)六年級(jí)2試）如圖，BC =45，AC =21,ABC被分成9個(gè)面積相等的小三角形，那么3DI FK =_.4【練練 6】如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng)是3厘米，那么圖中陰影 部分的面積是_ 平方厘米.【練練 7】（2009 年四中小升初入學(xué)測(cè)試題 ）如圖所示，平行四邊形的面積是50 平方厘米，則陰影部分的面積是_ 平方厘米.【練練 8】如下圖，長(zhǎng)方形AFEB和長(zhǎng)方形FDCE拼成了長(zhǎng)方形ABCD，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是 20,寬是 12,則它內(nèi)部陰影部分的面積是 _ AIVWVI

3、5【練練 9】（第三屆“華杯賽”初賽試題）一個(gè)長(zhǎng)方形分成4 個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的15%，黃色三角形面積是 21cm2.問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？【練練 10】如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 6,AE=1. .5,CF =2.長(zhǎng)方形 EFGH 的面積為 _F CA BEC6【練練 11】如圖所示，四邊形ABCD與AEGF都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等.【練練 12】20082008 年春蕾杯五年級(jí)決賽如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊上有兩點(diǎn)E、F,線段AF、BF、CE、BE把長(zhǎng)方形分成若干塊,其中三個(gè)小木塊的面積標(biāo)注在圖上，陰影部分面積是 _ 平方米?！揪毦?13

4、】（第八屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）如下圖，E、F分別是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的點(diǎn)，DF = FC，并且甲、乙、 丙3個(gè)三角形面積相等已知梯形ABCD的面積是32平方厘米求圖中陰影部分的面積.7【練練 14】如圖，已知長(zhǎng)方形ADEF的面積16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4, 那么三角形ABC的面積是多少？89【練練 15】（2008 年仁華考題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為 10,四邊形EFGH的面積為 5,那么陰影部分的面積是 _10【練練 16】（2008 年走美六年級(jí)初賽）如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,AB=8,AD =15,四邊形EFGO的面積

5、為_(kāi).【練練 17】如圖所示，矩形ABCD的面積為 36 平方厘米，四邊形PMON的面積是 3 平方厘米，貝U陰影 部分的面積是_平方厘米.11【練練 18】（2008 年”華杯賽”初賽）如圖所示，矩形ABCD的面積為 24 平方厘米三角形ADM與三角形BCN的面積之和為7.8平方厘米，則四邊形PMON的面積是_平方厘米.【練練 19】如圖，三角形AEF的面積是17,DE、BF的長(zhǎng)度分別為 11、3.求長(zhǎng)方形ABCD的面積.121314【練練 20】如圖，P為長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)。三角形PAB的面積為 5 5，三角形PBC的面積為 問(wèn)：PBD的面積是多少？13.13.請(qǐng)15【練練 22】如圖

6、，在長(zhǎng)方形ABCD中，Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，如果AB =24厘米，BC =8厘 米，求三角形ZCY的面積.【練練 23】如圖，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為 75 厘米。以BC為底時(shí)高是 14 厘米，以CD為底時(shí)高是 16 厘米。求平行四邊形ABCD的面積?！揪毦?21】如右圖，過(guò)平行四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)P作邊的平行線EF、GH，若PBD的面積為 8 平方分米，求平行四邊形PGAE的面積大多少平方分米?PHCF的面積比平行四邊形16【練練 24】（2007 年天津“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是 12 厘米，寬是 8 厘米，三角形CEF的面積是則0G =

7、_厘米.32 平方厘米,17【練練 25】如圖，已知平行四邊形ABCD的面積為 36，三角形AOD的面積為 8。三角形BOC的面積 為多少？【練練 26】如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8厘米，長(zhǎng)方形EBGF的長(zhǎng)BG為10厘米，那么長(zhǎng)方形的寬為幾厘米？18【練練 27】 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為 12,陰影部分的面積為 60,那么四邊形EFGH的面積是【練練28】如圖在 ABC中，D在BA的延長(zhǎng)線上，E在AC上，且AB: AD =5: 2，AE：EC=3：2, , SAADE12 平方厘米，求ABC的面積A19【練練29】如 圖在ABC中， D,E 分另 U 是 AB,AC 上的點(diǎn)， 且AD:AB

8、=2:5, ,AE:AC=4:7, , SAADE=16 平方厘米，求ABC的面積【練練30】AC的長(zhǎng)度是AD的4，且三角形AED的面積是三角形ABC面積的一半。請(qǐng)問(wèn)：AE是AB5的幾分之幾？【練練31】園林小路，曲徑通幽. .如下圖所示，小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板鋪成。CD20【練練32】如圖以 ABC的三邊分別向外做三個(gè)正方形ABIH、ACFG、BCED，連接HG、EF、ID, 又得到三個(gè)三角形，已知ABC的面積是10平方厘米，則另外三個(gè)三角形的面積和是多少？【練練33】如圖以直角三角形的三邊分別向外做三個(gè)正方形ID，又得到三個(gè)三角形，已知AB=3厘米,ABIH、ACFG

9、、BCED，連接HG、EF、AC = 4厘米，求六邊形FDEFGHI的面積HFDE21【練練34】已知DEF的面積為7平方厘米， BE =CE, AD =2BD,CF =3AF，求ABC的面積.【練練35】如圖，三角形ABC的面積為 3 平方厘米，其中AB:BE=2:5,BC:CD=3:2，三角形 BDE的面積是多少？【練練36】22【練練37】如圖，已知三角形ABC面積為1，延長(zhǎng)AB至D，使BD=AB；延長(zhǎng)BC至E，使CE =2BC;延長(zhǎng)CA至F,使AF =3AC，求三角形DEF的面積.【練練38】已知三角形ABC面積為1，延長(zhǎng)AB至D，使BD二aAB;延長(zhǎng)BC至E，使CE二bBC;延 長(zhǎng)C

10、A至F，使AF二cAC，求三角形DEF的面積.如圖所示，正方形11AE 二丄 AC , ,CF =- BC 三角形DEF的面積為3323【練練39】24如圖所示，三角形 ABCABC 中，點(diǎn) X X , Y Y , Z Z 分別在線段 AZAZ, BXBX , CYCY 上，且YZ =2ZC,ZX =3XA,.XY =4YB三角形 XYZXYZ 的面積等于 2424,求三角形 ABCABC 的面積. .【練練41】平行四邊形ABCD,BE二aAB,CF二bCB,DG二eDC,AH二dAD，求四邊形EFGH的面積與平行四邊形ABCD面積間的關(guān)系.【練練40】如圖，平行四邊形ABCD,BE = A

11、B,CF =2CB,ABCD的面積是2,求平行四邊形ABCD與四邊形GD =3DC，HA =4AD，平行四邊形EFGH的面積比.ACEH25【練練42】如圖所示，正方形ABCD邊長(zhǎng)為8厘米，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，G是BF的中 點(diǎn)，三角形ABG的面積是多少平方厘米？26【練練43】如圖，四邊形EFGH中，EAaAB，HD =bDA，CG =aDC，BF =bCB，求四邊形ABCD的面積與四邊形EFGH面積間的關(guān)系27【練練44】如圖，將四邊形ABCD的四條邊AB、CB、CD、AD分別延長(zhǎng)兩倍至點(diǎn)E、F、G、H, 若四邊形ABCD的面積為 5,則四邊形EFGH的面積是 _ .【練練45】

12、1如圖，在ABC中，延長(zhǎng)AB至D，使BD二AB，延長(zhǎng)BC至E，使 CE =丄 BC ,F是AC的 2中點(diǎn)，若ABC的面積是2，則ADEF的面積是多少？28【練練46】圖中三角形ABC的面積是 180 平方厘米，D是BC的中點(diǎn)，AD的長(zhǎng)是AE長(zhǎng)的 3 倍，EF的長(zhǎng)是BF長(zhǎng)的 3 倍.那么三角形AEF的面積是多少平方厘米？【練練47】如圖是一個(gè)正六角星紙板，其中每條邊的長(zhǎng)為5 5?，F(xiàn)在沿虛線部分剪開(kāi)，那么較小的那部分占到整體面積的幾分之幾？【練練48】如圖，AD二DB，AE二EF二FC，已知陰影部分面積為5 平方厘米，.ABC的面積是平方厘米.【練練49】29如圖，長(zhǎng)方形 ABCD 的面積是 1

13、1,M是AD邊的中點(diǎn),陰影部分的面積等于_【練練50】【練練51】如圖以 ABC的三邊分別向外做三個(gè)正方形ABIH、ACFG、BCED，連接HG、EF、ID,又得到三個(gè)三角形，已知六邊形DEFGHI的面積是77平方厘米，三個(gè)正方形的面積分別是9、16、36 平方厘米，則三角形ABC的面積是多少？N 在AB邊上，且 ANBN 那么,如圖在 ABC中D,E,F分別是 AB,AC,BC 邊上的點(diǎn)BD : AD =5: 2, BF : FC =3:5, CE : AE =2:3 , 面積是_平方厘米 DEF的面積為43.5平方厘米，則 ABC的F30【練練53】如圖，四邊形四邊形ABCD的面積.EFG

14、H的面積是66平方米，EA二AB，CB二BF，DC二CG，HD二DA，求【練練52】如圖，已知三角形ABC面積為1，延長(zhǎng)AB至D，使BD =AB;延長(zhǎng)BC至E，使CE =2BC; 延長(zhǎng)CA至F，使AF =3AC，求三角形DEF的面積.F【練練 2 答案】31【練練54】把四邊形 ABCDABCD 的各邊都延長(zhǎng) 2 2 倍， 得到一個(gè)新的四邊形 EFGHEFGH。 如果 ABCDABCD 的面積是 5 5 平方厘米， 則 EFGEFGH H的面積是多少？【練練55】在四邊形 ABCDABCD 中，其對(duì)角線 ACAC、DBDB 交于 E E 點(diǎn)。且 AF=CEAF=CE，DE=BGDE=BG。已知

15、四邊形 ABCDABCD的面積為 1 1，求 EFG的面積是多少。【練練 1 答案】【分析】本題是等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的應(yīng)用.連接BH、CHTAE二EB,-，SAEH =BEH冋理，BFH=SCFH,SCGH=S_DGH,11、C【練練 2 答案】32S陰影.S長(zhǎng)方形ABCD 56 =28 （平方厘米）2233【分析】把另外三個(gè)三等分點(diǎn)標(biāo)出之后，正方形的3個(gè)邊就都被分成了相等的三段把H和這些分點(diǎn)以及正方形的頂點(diǎn)相連，把整個(gè)正方形分割成了9個(gè)形狀各不相同的三角形這9個(gè)三角形的底邊分別是在正方形的3個(gè)邊上，它們的長(zhǎng)度都是正方形邊長(zhǎng)的 三分之一 陰影部分被分割成了3個(gè)三角形，右邊三角形的面積

16、和第1第2個(gè)三角形相等：中間三角形的面積和第3第4個(gè)三角形相等；左邊三角形的面積和第5個(gè)第6個(gè)三角形相等因此這3個(gè)陰影三角形的面積分別是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部 陰影的總面積就等于正方形面積的三分之一 正方形的面積是144，陰影部分的面 積就是48.【練練 3 答案】EBFGG6廠、514 32HEB34【分析】如右圖，連接AO、BO、CO、DO，則可判斷出，每條邊與O點(diǎn)所構(gòu)成的三角形都被分為面積相等的兩部分，且每個(gè)三角形中的兩部分都分屬于S! S3 S2S4這兩個(gè)不同的組合，所以可知 S1S = S2S4.【練練 4 答案】【分析】TCE =3AE , AC =4AE,S告

17、DC=4SADE；【練練 5 答案】【分析】由題意 可知，BD:BC 二S.BAD：S.ABC=2:9,2所以 BDBC =10,9CD BC - BD二35;又 DI : DC 二 SDIF：SFC= 2: 5 ,2所以 DI 二DC =14，同樣5又TDC=2BD,.BC DC ,SABCS.ADC=6SADE=120（平方厘米） .FKC35分析可得FK =10，所以DI - FK =14 10 =24.【練練 6 答案】36【分析】圖中陰影部分的面積等于長(zhǎng)方形ABCD面積的一半，即4 3“ 2=6(平方厘米)【練練 7 答案】【分析】根據(jù)面積比例模型，可知圖中空白三角形面積等于平行四邊

18、形面積的一半,影部分的面積也等于平行四邊形面積的一半，為50-2=25平方厘米.【練練 8 答案】【分析】黃色三角形與綠色三角形的底相等都等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高相加為長(zhǎng)方形的寬，所以黃色三角形與綠色三角形的面積和為長(zhǎng)方形面積的50%，而綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的15%，所以黃色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的50% -15% = 35%.BEC1-20 12 =120 .2所以陰A_-JT7W37已知黃色三角形面積是 21cm1 2，所以長(zhǎng)方形面積等于2V 35% =60( cm2).【分析】根據(jù)面積比例模型可知陰影部分面積等于長(zhǎng)方形面積的一半，為【練練 9 答案】【練練 10 答案】【分析】連接 DE

19、,DF,則長(zhǎng)方形 EFGH 的面積是三角形 DEF 面積的二倍.三角形 DEF 的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積DEF=6 6 -1.5 62-2 6,2-4.5 4 亠 2=16.5,所以長(zhǎng)方形 EFGH 面積為 31【分析】本題主要是讓學(xué)生了解并會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等和三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半.證明：連接BE.（我們通過(guò) ABE把這兩個(gè)看似無(wú)關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起.）1在平行四邊形ABCD中，SAABE二丄AB AB 邊上的高，2ABESABCD21同理，SAABE=SAEGF，二平行四邊形ABCD與AEGF面積相等.【練練 11 答案】

20、FF392940【分析】方法連接BF,由圖知 SABF=1 6- 28 所以 SBEF=1 6 L 3 5 又由SACF=4，恰好是 AEF面積的一半，所以C是EF的中點(diǎn)，因此【練練 12 答案】, 1【分析】 根據(jù)題意：SD FASF毛弓|_SA BCSDBCESABC= SDAF SFCB,所以S陰影二15 36 *46=97 （平方米）。【分析】因?yàn)橐?、丙兩個(gè)三角形面積相等，底DF =FC.所以A到CD的距離與E到CD的距離相等，即AE與CD平行，四邊形ADCE是平行四邊形，陰影部分的面積二平行四邊形ADCE的面積的1,所以陰影部分的面積 二乙的面積2.設(shè)甲、乙、丙2的面積分別為1份，則

21、陰影面積為2份，梯形的面積為5份，從而陰影部分的面積=32 5 2 =12.8（平方厘米）.【練練 14 答案】DFFCD BE41SABCE= SBCF=5 2 =2.5，所以 SABC=16-3-4 - 2.5 = 6.5方法二：連接對(duì)角線 AEADEF是長(zhǎng)方形5 丄 16【練練 15 答案】【分析】如圖所示，設(shè)AD上的兩個(gè)點(diǎn)分別為M、N.連接CN.-SADE=SAEFADEFDBSADBFCDESADEEFSAEFDEDE DBCEFE -CFDEEFEFADEF-SADB-SACF-SgBE1342根據(jù)面積比例模型， CMF與CNF的面積是相等的，那么CMF與BNF的面 積之和，等于A

22、CNF與BNF的面積之和，即等于UBCN的面積.而ABCN的面. 2 1積為正方形ABCD面積的一半，為 1050 .2又CMF與BNF的面積之和與陰影部分的面積相比較，多了 2 個(gè)四邊形EFGH的面積，所以陰影部分的面積為：50-5 2 =40.【練練 16 答案】【練練 18 答案】43【分析】 從整體上來(lái)看，四邊形EFGO的面積二三角形AFC面積三角形BFD面積-白色部分的面積，而三角形AFC面積三角形BFD面積為長(zhǎng)方形面積的一半，即60,白色部分的面積等于長(zhǎng)方形面積減去陰影部分的面積，即120-70 =50，所以四邊形的面積為60 -50=10.利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形AO

23、E、DOG和四邊形EFGO的面積之和，以及三角形AOE和DOG的面積之和，進(jìn)而求出四邊形EFGO的面積.1由于長(zhǎng)方形ABCD的面積為15 8 =120，所以三角形BOC的面積為 120 =30 ,4所以三角形AOE和DOG的面積之和為 1203 4 5 6-70 =20 ;4（11又三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和為 120- 30 ,所以四邊124丿形EFGO的面積為30 -20=10.【練練 17 答案】3【分析】方法一：SADPB- SCPAS矩形ABCD=18,所以空白面積是 18-3, SAAOB=24,所以陰4影部分面積為36 - 24 = 12（平方厘米）.方法二：

24、因?yàn)槿切蜛BP面積為矩形ABCD的面積的一半，即 18 平方厘米，三角1形ABO面積為矩形ABCD的面積的1,即 9 平方厘米，又四邊形PMON的面積為63 平方厘米，所以三角形AMO與三角形BNO的面積之和是18-9-3=6平方厘米. 又三角形ADO與三角形BCO的面積之和是矩形ABCD的面積的一半，即 18 平方 厘米，所以陰影部分面積為18 - 6 =12（平方厘米）.4445【分析】因?yàn)槿切蜛DO與三角形BCO的面積之和是矩形ABCD的面積的一半，即 12 平方厘米，又三角形ADM與三角形BCN的面積之和為7.8平方厘米，則三角形AMO與三角形BNO的面積之和是4.2平方厘米，則四

25、邊形PMON的面積二三角形ABP面積三角形AMO與三角形BNO的面積之和-三角形ABO面積=1 2 - 4. 2-6=1（平方厘米）.【練練 19 答案】【分析】 如圖，過(guò)F作FH /AB，過(guò)E作EG /AD,FH、EG交于M，連接AM.貝VS矩形ABCD= S矩形AGMH S矩形GBFM S矩形MFCE S矩形HMED-AG AH2SAMF 2S.EMF2S-AME二DE BF - 2SAEF=11 3 2 17=67【練練 20 答案】【分析】由于ABCD是長(zhǎng)方形， 所以SA APDSAPDS4BPC =S4ABD則SP- BS)-1BS命二.CSABPC二SABCD，而 SAABD二SA

26、BCD所以22SAB- PQAS,所以P=AB46【練練 21 答案】差，相當(dāng)于求平行四邊形BCFE的面積與平行四邊形ABHG的面積差.如右上圖，連接CP、AP.1由于S府CP +SDP =SBP +S店DP +S幽DP =2SABCD，所以S府CP S幽BP = SBDP.11而 SBCPSBCFE, SABP22SBCFE- SABHG=2 SBCPSABP= 2SBDP=16 （平方分米）.【練練 22 答案】1 1 1 又TABCD是長(zhǎng)方形， SZCYS_DCBSABCD=24 （平方厘米）.442_【分析】（法 1）設(shè).滬GD的GD邊上的高為 g ,：PEB的PE邊上的高為.則1 1

27、 16 h2IAG GD-AGhiGDh1PEh2=SPBD=8 ,1111GDh2AGh1=8,即SPHCFSPGAE=8 , 所以 SPHCF一 S2222_分米）.（法 2）根據(jù)差不變?cè)?，要求平行四邊形PHCF的面積與平行四邊形整理得PGAE=16 （平方PGAE的面積2 2 DB，SZCYSDCB,4 -【分析】TY是BD的中點(diǎn),47【練練 23 答案】48【分析】BC CD =75 -：-2 =37.5 ,根據(jù)面積相等，底的比與高的比成反比例，所以BC : CD =16:14 =8: 7 ,因此 BC =37.5 十（8+ 7甲隹 2Q 平行四邊形ABCD的面積是20 14 =28

28、0 平方厘米【練練 24 答案】【分析】 解法一:要求OG的長(zhǎng)，可以先求出FO,而FO是.EFO和.CFO的底，兩個(gè)三角形的高的和等于長(zhǎng)方形的寬，并且它們的面積和是CEF的面積.所以1 FO =32 8 二 8 所以O(shè)G =12-FO=4（厘米）.2解法因此S.DFO=S.EFO,也就有SDFOS.CFO= S.EFOSCF32（平方厘米）,1而 SCFD12 8 = 48 （平方厘米）.所以S8D二S.CF D（S-,DF OSJ. cdo二48-32=16（平方厘米）故 OG =2SCDO-CD =2 168=4 （厘米）.DO.如下圖所示:49【練練 25 答案】1【分析】三角形BOC的

29、面積為 36 - _8 =10 2【練練 26 答案】【分析】本題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一 半.證明：連接AG.（我們通過(guò) ABG把這兩個(gè)長(zhǎng)方形和正方形聯(lián)系在一起）一 1在正方形ABCD中，SSBGAB AB 邊上的高，2$ABG二-SABCD（三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半）21冋理，SABGSEFGB2正方形ABCD與長(zhǎng)方形EFGB面積相等長(zhǎng)方形的寬=8 江8十10 = 6.4（厘米）【練練 27 答案】50【分析】如圖所示，設(shè)AD上的兩個(gè)點(diǎn)分別為M、N.連接

30、CN.根據(jù)面積比例模型，CMF與.；CNF的面積是相等的，那么CMF與.：BNF的面積之和，等于ACNF與BNF的面積之和，即等于 BCN的面積.而CBCN的面21積為正方形ABCD面積的一半，為 1272 .2又.CMF與：BNF的面積之和與陰影部分的面積相比較，多了 2 個(gè)四邊形EFGH的面積，所以四邊形EFGH的面積為：72 一 60 “ 2 =6 .【練練28答案】如圖在 ABC中，D在BA的延長(zhǎng)線上，E在AC上，且AB: AD =5: 2,AE: EC =3:2, , SAADE=12 平方厘米，求ABC的面積【分析】 連接BE,ADE: SAABE二 AD：AB =2:5 =(2

31、3):(5 3)SAABE:ABC=AE:AC=3：(3 * 2)=(3 5):(32) 5,所以SAA D:SAAB(C32)：+5】=32 設(shè)S6ABE265 份，貝VSABC=25份,SAADE2平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面積是50平方厘米由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比(建議老師一定要把共角定理的推理過(guò)程講透，防止學(xué)生 只記結(jié)果，而不知為什么)【練練29答案】如 圖在ABC中， D,E 分另U是 AB,AC 上的點(diǎn)， 且51AD:AB=2:5, ,AE:AC=4:7, , SAAD

32、E=16 平方厘米，求ABC的面積【分析】 連接BE, SAADE:SA ABE二 AD：AB =2:5 =(2 4):(5 4),SABE: SAABC=AE：AC =4:7 =(4X5)：(7X5),所以 SAA D ESAA亍c( 2 4) (7,設(shè)SAADE=8 份，則 SAABC=35 份,SAADE=16 平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平52方厘米，ABC的面積是70平方厘米由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三 角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比.【練練30答案】AC的長(zhǎng)度是AD的4,且三角形AED的面積是三角形5的幾分之幾？AE _S

33、AED=2AB SABD5【練練31答案】園林小路，曲徑通幽. .如下圖所示，小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板鋪成。 問(wèn)：內(nèi)圈紅色三角形石板的總面積大，還是外圈青色三角形石板的總面積大？請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】圖中每相鄰兩個(gè)正方形和其間夾著的兩個(gè)三角形都是經(jīng)典精講中的第右圖為例，SAABC: SAHAG=(AB AC)：(AH AG) =1:1。因此，圖中每一個(gè)紅色三角形和對(duì)應(yīng)的綠色三角形面積都相等。那么內(nèi)圈三角形石板的總面積和外圈三角形 石板的總面積一樣大。ABC面積的一半。請(qǐng)問(wèn)：AE是AB【分SABC4SSABD5一S|_AEDSABC2一2SSABD5一4 類鳥(niǎo)頭。以CD53【練練

34、32答案】如圖以 ABC的三邊分別向外做三個(gè)正方形ABIH、ACFG、BCED，連接HG、EF、ID, 又得到三個(gè)三角形，已知ABC的面積是10平方厘米，則另外三個(gè)三角形的面積和是多 少？【分析】 因?yàn)?BAC HAG =180，所以S“BC：SHAG=(AB AC):(AH AG) =1:1，所以SAHAG=10(平方厘米)，同理另外兩個(gè)三角形的面積也是10平方厘米，所以另外三個(gè)三角形的面積和是30平方厘米【練練33答案】如圖以直角三角形的三邊分別向外做三個(gè)正方形ABIH、ACFG、BCED，連接HG、EF、ID，又得到三個(gè)三角形，已知AB=3厘米，AC =4厘米，求六邊形DEFGHI的面積

35、【分析】 因?yàn)?BAC . HAG =180,所以S“BC：SHAG= （AB AC）:（AH AG） =1:1 ,2ABC=3 4“2 =6（平方厘米），所以圖中四個(gè)三角形的面積和是6 4 =24（平方厘米），再根據(jù)勾股定理有兩個(gè)小正方形的面積和等于大正方形的面積，所以三個(gè)正方形的面積和是2 （324250 平方厘米，因此六邊形的面積是60 *24=84（平方厘米）HFDEGA54【練練34答案】已知 DEF的面積為7平方厘米， BE =CE, AD =2BD,CF =3AF，求 ABC的面積.【分析】SABDE：SAABC-(BDBE):(BA BC) =(1 1):(2 3) =1：6,

36、SCEF: SAABC-(CECF):(CB CA) =(1 3):(2 4) =3:8SADF: SAABC-(AD AF):(AB AC) =(2 1):(3 4) =1：6設(shè) SAABC=24 份，貝USABDE=4 份， SAADF=4 份，SA CEF=9 份，SADEF=24-4-4-9=7 份，恰好是7平方厘米，所以 SAABC= 24 平方厘米【練練35答案】如圖，三角形ABC的面積為 3 平方厘米，其中AB:BE=2:5,BC:CD=3:2，三角形 BDE的面積是多少？55分析由于.ABC . DBE =180，所以可以用共角定理，設(shè)AB=2份，BC=3 份則BE=5份，BD

37、 =32 =5份，由共角定理SABC：SBDE=(AB BC):(BE BD) =(2 3):(5 5)=6:25，設(shè) S“BC=6 份,恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5=12.5平方厘米，三角形BDE的面積是12.5平方厘米【練練36答案】116 6 厘米，AE AC , , CF BC .三角形DEF的面積為331【分析】由題意知 AE 二丄 AC、3SMEF：SSBC=(CF CE): (CB AC) =1 2 :(3 3) =2: 9 而SBC=6 62=18 ;所以SCEF-4冋理得，SACDE:SACD=2：3；,SCDE=18一； 32-12,S

38、CDF-6故SDEF-SCEFSDEC-SDFC-4，12- 6=10(平方厘米).【練練37答案】如圖，已知三角形ABC面積為1,延長(zhǎng)AB至D,使BD=AB;延長(zhǎng)BC至E,使CE =2BC;延長(zhǎng)CA至F，使AF =3AC，求三角形DEF的面積.如圖所示，正方形ABCD邊長(zhǎng)為平方厘米.12CF BC，可得 CE AC .根據(jù)33共角定理”可得,56【分析】用共角定理在LABC和LCFE中，厶ACB與/FCE互補(bǔ),57【分析】根據(jù)鳥(niǎo)頭模型，速二AXS心YZ111BY YC41238，.BYZSXYZXY YZ1 1 1_BX_3 SXY XZ 1 1512S.AczS.XYZSABCCZAZ1

39、11 11231 1SBYZ24=9 ；8YZ XZ=10 9 16 24 =59Sj24=16。SABX524 =10 ;12SABCAC BC 1 11SFCEFC CE 4 2 8又SABC-1，所以SFCE-8- 冋理可得SADF=6,SBDE=3-=SABC SFCE SADF SBDE=186，3=18.【練練38答案】已知三角形ABC面積為1，延長(zhǎng)AB至D，使BD二aAB；延長(zhǎng)BC至E，使CE二bBC；延 長(zhǎng)CA至F，使AF二cAC，求三角形DEF的面積.【分析】設(shè)根據(jù)共角定理SADF -SABCc(1 - a),同理 SBDE SABC*a(1+b),SCEF=SABCb(1

40、c),所以 SDEF= (ab bc ca a b c 1)SABC.所以 SDEF【練練39答案】如圖所示，三角形 ABCABC 中，點(diǎn)YZ =2ZC,ZX =3XA,.XY =4YB三角形X X , Y Y ,XYZXYZ 的面積等于Z Z 分別在線段 AZAZ , BXBX , CYCY 上，且2424,求三角形 ABCABC 的面積. .C58【練練40答案】如圖，平行四邊形ABCD,BE=AB,CF =2CB,GD =3DC,HA=4AD，平行四邊形ABCD的面積是2, 求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比.【分析】連接AC、BD根據(jù)共角定理在 ABC和BFE中，.ABC與.

41、FBE互補(bǔ),SAABCAB BC 11 1SFBEBE BF 13 3又 SAABC=1 , 所以 SAFBE二 3 冋理可得 SAGCF- 8 , SADHG-15 , SAAEH- 8 【練練41答案】所以 SEFGH-SAAEH SACFG SADHG SABEF SABCD=8 8 15+3+2 =36 .所以SABCDSEFGH2361859平行四邊形ABCD,BE =aAB,CF =bCB, 面 積與平行四邊形ABCD面積間的關(guān)系.DG =cDC,AH =dAD，求四邊形EFGH的【分析】 采用例題的方法，可得四邊形EFGH的面積最后得到公式1S新= S原1 (ab bc cd d

42、a a b c d)2【練練42答案】如圖所示，正方形ABCD邊長(zhǎng)為8厘米，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，G是BF的中 點(diǎn)，三角形ABG的面積是多少平方厘米？60另解：112 2梯形中的“一半”模型。S.ABFs梯形ABCE64 _16i=24cm , SABG=24 2 =12cm?！揪毦?3答案】如圖，四邊形EFGH中，EA=aAB,HD =bDA,CG =aDC,BF =bCB，求四邊形ABCD的面積與四邊形EFGH面積間的關(guān)系.-a(1 b) b(1 a) 1】S四邊形ABCD- (2ab a b 1)S四邊形ABCD【練練44答案】如圖，將四邊形ABCD的四條邊AB、CB、CD、A

43、D分別延長(zhǎng)兩倍至點(diǎn)E、F、G、H, 若四邊形ABCD的面積為 5,則四邊形EFGH的面積是 _ .因?yàn)镾AB毛 SA1F482c二D1。6觀SAEFAE EF1 111=8cm2=2SAEF=2SECDSECDED EC1 2【分析】連接AF.察2 2所以 SABF=6416 16 8 =24cm , SABG=24 2 =12cm?！痉钟晒步嵌ɡ淼肧AAHESACGF=a(1 b)四邊形ABCD,SAHDGSABEF= b(1a)S四 邊形ABCD,所以S四邊形EFGHF61【分析】連接AC、BD.GG262由于BE =2 AB,BF = 2 BC,于是 SBEF=4S-ABC，冋理S-HD

44、-4SADC-DC=4SABCD.再由于AE = 3AB,AH = 3AD，于是 SAEH= 9 SABD，冋理SCFG=9SCBD.于是 SAEH SCFG=9SABD 9SCBD=9SABCD. 那【練練45答案】如圖，在ABC中，延長(zhǎng)AB至D，使BD =AB，延長(zhǎng)BC至E,使C1BC ,F是AC的 2中點(diǎn)，若ABC的面積是2，則ADEF的面積是多少？【分析】（法1）利用共角定理在 ABC和厶 CFE中，.ACB與.FCE互補(bǔ), .ABC_ AC BC _2 2 _4SAFCE-FC CE -1 11 .又SABC=2，所以FCE=0.5 .冋理可得 $ADF 2 ,SA BDE 3 .S

45、ADEF- SAABC SACEF SADEB- SAADF- 2 0.5 3-2 =3.5【練練46答案】圖中三角形ABC的面積是 180 平方厘米，D是BC的中點(diǎn)，AD的長(zhǎng)是AE長(zhǎng)的 3 倍，EF的長(zhǎng)是BF長(zhǎng)的 3 倍.那么三角形AEF的面積是多少平方厘米？【分析】L ABD,L ABC等高，所以面積的比為底的比，有二SABCBC 21 1所以 SABD= SABC180 =90 （平方厘米）.同理有DG= 4SABC63AE1FE3SABE二 A 匚 SABD=90=30 （平方厘米），SAFE=匚 SABE=330 = 22.5（平方厘米）.即AD -3BE -4三角形AEF的面積是

46、22.5 平方厘米【練練47答案】【分析】SSDE二 SEF,SSDE：S“BC=(AE AD) : (AC AB) =(1 1):(2 3) =1: 6,所以SABC=5 6 =30 (平方厘米)如圖是一個(gè)正六角星紙板，其中每條邊的長(zhǎng)為占到整體面積的幾分之幾？5 5?，F(xiàn)在沿虛線部分剪開(kāi)，那么較小的那部分令每一個(gè)小正三角形的面積為1，則根據(jù)鳥(niǎo)頭模型有：S三角形BDE BD BE竺。所以四邊形 ACDE 的面積為:所以較小的殘片的面積為：82 1罟所以較小殘片占整個(gè)面積的:,143小8219 =2252510730012【練練48答案】如圖，AD二DB，AE二EF二FC，已知陰影部分面積為5 平

47、方厘米，.ABC的面積是平方厘米.【分析】對(duì)圖形進(jìn)行分割,264【練練49答案】如圖，長(zhǎng)方形 ABCD 的面積是 1 1,M是AD邊的中點(diǎn)，N 在AB邊上，且 AN 二丄 BN .那么,陰影部分的面積等于_【分析 設(shè) AD =2a , AB =3b，貝 y SABCD=2a，3b =6ab=1i又 AM =a , AN =b，則 SAMNab =212_11 _ 5SK=SA B D-SA M吊二- - 21212【練練50答案】如圖在ABC中， D,E,F 分另【J 是 AB,AC,BC 邊上 的點(diǎn)， 且BD : AD =5:2,BF:FC =3:5, CE : AE =2:3 ,DEF的面積為43.5平方厘米，則ABC的面積是_ 平方厘米【分析】 根據(jù)鳥(niǎo)頭定理分別求ABDF,CEF,ADF的面積與ABC的面積的關(guān)系，SBDF: