極坐標與參數(shù)方程知識點總結(jié)大全

1、1 .平面直角坐標系中的坐標伸縮變換=的篁20設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換 田=曰 3切 的作用下，點P(x,y)對應(yīng)到點尸憶V),稱甲為平面直角坐標系中的坐標伸縮變 換,簡稱伸縮變換.2 .極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示OL在平面內(nèi)取一個定點0,叫做極點,自極點O引一條射線 6,叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.注：極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應(yīng)的關(guān)系 ， 而極坐標系則不可.但極坐標系和平

2、面直角坐標系都是平面坐標系.(2)極坐標設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點口與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為 ;以極 軸叁為始邊，射線皿為終邊的角 3M叫做點m的極角,記為 .有序數(shù)對叫做點M的極坐標，記作MSn仍.一般地，不作特殊說明時，我們認為伍日可取任意實數(shù).特別地，當點M在極點時，它的極坐標為(0,妙)(&e R).和直角坐標不同, 平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定P,那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標（P）表示;同時,極坐標（A處表示的點也是唯一確定的.3 .極坐標和直角坐標的互化（1）互化背景：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸,并在 兩種坐標系中取相同的

3、長度單位，如圖所示：V11（2）互化公式：設(shè)是坐標平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是（馬歷,極坐標 是 （）, 于是極坐標與直角坐標的互化公式如表：占建八、直角坐標（五力極坐標ShG互化公式Jjf= ptusG j = psin &130.。=金硯JC在一般t#況下,由日確定角時,可根據(jù)點相所在的象限最小正角4 .常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為，的圓注：由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一，即 S,維（A&豉（-出宗吸都表示同一點的坐標,這與點的直角坐 標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程P

4、 =網(wǎng)點可以表示為4 44 44 4等多種形式，其中,只有J/的極坐標滿足方程.、參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標 qy都是某個變 卜力數(shù)工的函數(shù)=且相,并且對于工的每一個允許值,由方程組所確定的點 mu歷都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù) 的變數(shù)*叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系 的方程叫做普通方程.2 .參數(shù)方程和普通方程的互化（i）曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消 去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.（2）如果知道變數(shù)5y中的一個與參數(shù)工的關(guān)系，例如工工/（力

5、，把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系二星,那么3=套就是曲線的參數(shù)方程 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使可了的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解 軌跡問題，關(guān)鍵在于適當?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的 參數(shù)方程的形式也不同。3 .圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓。的半徑為，點M從初始位置“口出發(fā)，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，設(shè)弧則7二，血。這就是圓心在原點半徑為，的圓的參數(shù)方程，其中6的幾何意義是 加。 轉(zhuǎn)過的角度。圓心為（3）,半徑為的圓的普通方程是二它的參數(shù)方程為：04 .橢圓的參數(shù)方程以坐標原點。為中心，焦點在上

6、軸上的橢圓的標準方程為-方參如其參數(shù)方程為L-F=*sm,其中參數(shù)伊稱為離心. t”r 、+-x =Ka QX _、角；焦點在了軸上的橢圓的標準方程是a 必其參數(shù)方程為小而、帥參命，y=am其中參數(shù)挈仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)中的范圍為挈o, 2度）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)1P的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把 它和這一點的旋轉(zhuǎn)角 口區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相 等外（即在0到2元的范圍內(nèi)），在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但0a 0p隊焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是口辦其參數(shù)方程為產(chǎn)一參飄其中補祠由伊求您 y =TSC 伊以上參數(shù)1P都是雙曲線上任意一點的離心角。以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線的參數(shù)方 程為 產(chǎn)臼尸協(xié)線a尸=2皿7.直線的參數(shù)方程經(jīng)過點%（知始，傾斜角為目的直線工的普通方程是 了一西=5噸一心而過腿5%而，傾斜角為的直線F的參數(shù)方程為先血i a為參期注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點 腿，（瑜，傾斜角為值的直 fx-j+fcosa線的參數(shù)方程為5bls（曲參數(shù)，其中表示直線上以定點修為起 點，任一點眄馬力為終點的有向線段即陛的數(shù)量，當點時在此