第六章非平衡態(tài)統(tǒng)計物理

1、第六章 非平衡態(tài)統(tǒng)計物理非平衡態(tài)物理現(xiàn)象動力學(xué)馳豫過程例如，t=0,體系處于高溫態(tài)；t > 0,體系淬火到低溫態(tài)。在這 一過程，體系的性質(zhì)和物理量顯然與時間相關(guān)。動力學(xué)輸運(yùn)過程體系處于穩(wěn)態(tài)，但存在“流動” ，如粒子流，電流和能量流等。這樣的系統(tǒng)需要動力學(xué)方程描述。其他一些現(xiàn)象也納入非平衡態(tài)物理研究范疇。 例如， 體系不斷受到外力打擊， 這些外力是宏觀的， 或者沒法簡單用 Hamiltonian 表達(dá)， 等等。平衡態(tài)的動力學(xué)漲落也可以屬非平衡態(tài)物理研究范疇。第一節(jié) 玻爾茲曼方程全同粒子，近獨(dú)立體系，粒子數(shù)不變。單粒子微觀狀態(tài)用（ r , p ）描述， （ r , p ）張開的空間稱空間。平

2、衡態(tài)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)可用分布函數(shù)描述f r , p f , 為單粒子能量處于（ r ,v ）處的粒子數(shù)的密度分布。思考題：與正則系綜理論的關(guān)系，例如，如何寫出配分函數(shù)。非平衡態(tài)粒子數(shù)密度與時間 t 有關(guān)f r , p ,t關(guān)鍵：如何求f ?顯然，如果t是微觀時間，求解f r , p,t的難度和解微觀運(yùn)動方程差不多。所以，t 一般是某種介觀時間或宏觀時間。?先試圖寫下f的運(yùn)動方程?再討論如何求解如果粒子不受外力，沒有粒子間的碰撞，我們有粒子流守恒方程如何來的？對 V積分dV vV tVdV 0f dV t Vv f dSS左邊:V中單位時間粒子數(shù)的增加右邊:、A、1注息:單位時間流入 V的粒子數(shù)。

3、rdS的方向?yàn)橄蛲獾?，至少在局?v是常數(shù)，所以,r rv dS是從dS流入V的粒子數(shù)，因?yàn)?v dl ds ds dtdVdt另一方法：沒有外力，V至少在局部是常數(shù)。dVdf r , t f r , t dt f r , tt dt時刻處于r處的粒子=t時刻處于r v dt的粒子因?yàn)樵诔鰞?nèi)粒子移動dr v dtf rrr rr-(f (r,t dt) f(r,t)/dt (f (r vdt,t) f(r,t)/dtv f v v rv F v f r如果粒子受外力，但互相不碰撞v v v v . v &v v .df r , p , tf r v dt, p &dt ,t f

4、 r , p , tf v f & f v&ft r pv fv fv F F Fr p如果粒子相互碰撞ffffvFtrptcf-7 為由粒子碰撞引起的粒子數(shù)密度的變化t c這便是玻爾茲曼方程。原則上可以求解近獨(dú)立子系的所有非平衡態(tài)動力學(xué)行為。假設(shè)?只有兩體碰撞?邊界條件不重要?外力只對單粒子運(yùn)動起作用，不影響碰撞?不同相空間點(diǎn)的f沒有關(guān)聯(lián)?時間標(biāo)度遠(yuǎn)大于分子碰撞時間空間標(biāo)度遠(yuǎn)大于分子尺度二體碰撞入射p, pp出射p , p能量守恒動量守恒p p p p逆過程也類似出射p, p入射p , p能量守恒動量守恒p p,p產(chǎn)生p, p的概率為?在處，t時刻由pv v v vf r ,

5、 p ,t f r , p ,t R在r, P處增加的粒子數(shù)為f r , p , t f r , p ,t Rdp dp dp在t時刻，在r , p處減小的粒子數(shù)為fr,p,tf r, p , tR dpdpdp-ffffR dpdpdpt cffr,p,tff r, p, tffr, p, tff r, p,t注意：這里我們假設(shè)t是介觀時間，已略去分子碰撞細(xì)節(jié)。P2.f習(xí)題：假設(shè)Ur,計算出中對dp dp的積分2mt c第二節(jié)玻爾茲曼方程的簡單例子1、平衡態(tài)“平衡”f r , p,t f r , p0,0 （這似乎是充分條件）_p _Lm r22U r 2mF 4rf-vff v f v p

6、 mf Uv fvF 一r-p F F p 0 mm即f f r , p為平衡態(tài)的解的形式 e 等。為了保證o, f還必須受到限制，如ft c思考題：為什么？（因?yàn)?f ' f ''' f f ' 0）2、沒有碰撞，沒有外力0, F解為 f r , P , t r vt , pr , P為t=0時粒子數(shù)分布例如：t= 0時，溫度為T的氣體凝聚于原點(diǎn)Uf23/2 p /2mTN 2 mT e p歸一化常數(shù)思考題：為什么v, v取這樣的形式？注意：原點(diǎn)r 0為宏觀原點(diǎn)，微觀粒子還在運(yùn)動UT2e p /2mT 是 Boltzmann 分布計算t時刻的粒子數(shù)分布

7、n r ,tv, t,v r v v .dp f r , p,tvt,3/23r2 12 TN 2 mT d3pe p /2mTv v.r v tp mvmT3/2mr2/2Tt2e因?yàn)閷αＷ酉到y(tǒng)，單粒子積分限可取為dp粒子隨時間擴(kuò)散,t時間后,v m rtrurr處粒子由t = 0時r 0動量為p的粒子而來。第三節(jié)單自由度的Langevin方程和Fokker-Planck 方程S S xx:實(shí)數(shù)Langevin 方程dx t S x t dt x:高斯隨機(jī)數(shù) (t >0對固定t2P e12td e 0Z2Z d e這里的t通常也是介觀時間如果沒有隨機(jī)力，平衡態(tài)為dx t S x0,即能

8、量取極小值。如果存在隨機(jī)力，體系會被推離能量極小，處于某種能量較高的平衡態(tài)。例如：布朗運(yùn)動花粉在液體中的運(yùn)動v2(t)v2(0)etdt'dt'' e0m(2tt t)(t') (t'')2mv2 0Ltm2 tm2 0edtLt0 e mLt1 e m由于隨機(jī)力的存在,2t-2 m,這便是隨機(jī)行走。Langevin方程有他的復(fù)雜性，因?yàn)槲覀儽仨歞v mdtdt一維解考慮對隨機(jī)力平均帶來的奇異性。為了簡單起見，我們對時間分立化在數(shù)值模擬中應(yīng)用較直觀ttlnLangevin 方程S x(t)t t tX(t)(t),2 t t方程的解t是隨機(jī)變量,

9、在數(shù)值模擬中給定初始值Xo , X t還不確定，與隨機(jī)力有關(guān)。也就是說，在t時刻，X遵從一個分布物理量X的平均值dx PP x ; t是X在t時刻遵從的分布問題:的含義?答：必須對t之前的所有隨機(jī)力做平均。21 Xx t222 x-2 tX t與 t無關(guān)，只與 t t以及更早的隨機(jī)力有關(guān)x t tx t S x ttx t x tt ： 0dx P x ; tSx xdx x 2-P x;t x x分步積分一還作用于P x ; t x這里做分步積分時,假設(shè)P(;t) 0另一方面dxP x,tFokker-Planck 方程P x; tH FPH FPxP x ;ttHFP P x;顯然思考題：

10、試討論e S x為平衡態(tài)的條件t2多自由度的Langevin方程是單自由度的直接推廣。Langevin方程的適用范圍不是很清楚，一般只能求解動力學(xué)馳 豫過程相關(guān)物理問題，以及平衡態(tài)問題。第四節(jié) Ising模型的Monte Carlo模擬Langevin方程既適用于理論研究，也可以應(yīng)用于數(shù)值模擬。 Langevin方程既模擬動力學(xué)行為，也提供平衡態(tài)的正則分布e H。但是，在平衡態(tài)研究方面，Langevin方程有局限性。例如， t引起 的誤差難以控制；動力學(xué)變量必須是連續(xù)變量等。Monte Carlo算法給出另一種動力學(xué)。 一般認(rèn)為，Monte Carlo動 力學(xué)和Langevin動力學(xué)屬于同一普

11、適類，即兩者的大范圍長時間標(biāo) 度的動力學(xué)性質(zhì)是一致的。Monte Carlo算法簡單有效，但較難進(jìn)行 理論研究。Ising model1H H KSi Sj h Si, Si 1kTijiH稱之為哈密頓量，代表能量；Si置于格點(diǎn)上，例如正方格點(diǎn)h為外磁場Si對h 01隨機(jī)狀態(tài)H 0有序狀態(tài)Si1 H極小當(dāng)體系和大熱源接觸達(dá)到“平衡”時，遵從正則分布物理量的平均值SiZ eSi歸一化常數(shù)配分函數(shù)1 H對 Monte Carlo 模擬，e必須給予概率分布的意義。引入恰當(dāng)隨機(jī)過程，產(chǎn)生一系列自旋構(gòu)形Si0 , Si 1UNeqSiU Neq NSi當(dāng)Mq足夠大時,SiNeq 1SiNeq N 遵從;e H分布SiNeqSiL2 iSiL格點(diǎn)尺度關(guān)鍵：構(gòu)造算法?各態(tài)歷經(jīng)這是顯然的?細(xì)致平衡W §§W §§H §c H Sie-這是充分條件單自旋翻轉(zhuǎn)法每次只試圖改變一個自旋的值，稱迭代順序掃描法按規(guī)則依次迭代點(diǎn)陣上所有自旋Heat-bath algorithm選定Si ,取eE-W SiSi eeEeSiSi注意：這一算法的躍遷概率與Si的值無關(guān)!E是Si1的能量E是Si1的能量由于每次只迭代一個自旋，與Si無關(guān)的自旋的能量不必計算。ESiK SiSjSi各態(tài)歷經(jīng)是顯然的。細(xì)致平衡SjSjSi1W G 1Si1H Si