銳角的三角比-知識講解

1、銳角的三角比知識講解銳角的三角比 知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)的定義；2 .會推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練 準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值；3 .理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳 角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.【要點梳理】要點一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在RtZABC中，Z C= 90° , /A所對的 邊BC記為b a,叫做/ A的對邊，也叫做/ B的鄰a邊，/ B所對的邊AC記為b,叫做/ B A b C的對邊，也是/ A的鄰邊， 直角C所對的邊AB記為c,叫做斜邊.銳角A的對邊與斜邊的比

2、叫做/ A的正弦，記作sinA）即 sin aA的對邊斜邊銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作cosA,即 cos AA的鄰邊斜邊銳角A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記作tanA,即 tan A銳角A的鄰邊與對邊的比叫做/A的余切)記作cOtA）即 cot AA的鄰邊A的對邊同理sin BBl b； cosBB的鄰邊，tanBB的對邊.斜邊 c斜邊 cB的鄰邊a 'cot BB的鄰邊 aB的對邊 b要點詮釋：(1)正弦、余弦、正切、余切函數(shù)是在直角三角形 中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線 段的比值.角的度數(shù)確定時，其比值不變，角的度數(shù)變 化時，比值也隨之變化.(

3、2)sinA)cosA, tanA, cotA分別是一個完整的數(shù) 學(xué)符號，是一個整體，不能寫成 ，陽/, 癡達(dá))cot?a不能理解成sin與/A, cos與/A, tan與 /A, cot與/A的乘積.書寫時習(xí)慣上省略/ A的角的，但對三個大寫字母表示成的角(如/ AEF), 其正切應(yīng)寫成“tan /AEF ,不能寫成“ tanAEF” ； 另外)師外、3“尸、(tan時、(曲丹2常寫成蚯口。、3"、商H、 cot2 A .(3)任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不 因這個角不在某個三角形中而不存在.(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在 0° V/AV 90°

4、;間變化時，OvsmHvl , 口工3屋1)tanA >0 cotA >0.要點二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45。、60° 角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角出sin aCOS atan商cot30°小2出3g45°21160°曲2) 2gW3要點詮釋：(1)通過該表可以方便地知道 30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例 如：若5瓜0 =暫，則銳角6 = 45。.(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：

5、加30。、加4九如的的值依次為、"、*,而C、cgs45。、cos如的值的順序正好相反，的3T、皿4竽、由6。的值 依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而 增大(或減小)余弦、余切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而 減小(或增大).要點三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在RtAABC, / C=90°互余關(guān)系siti A - cos(900 - Zj4) = cos S13Tl H _ 由為-ZA) = 1或 一 ；sin Acos Atan A ,cot A cos Asin AcoM = sin(90fl-Z) = gin -tanA=c

6、ot(90 ° - / A)=cotB tanB=cot(90 ° - / B)=cotA.(2)平方關(guān)系:(3)倒數(shù)關(guān)系:(4)商的關(guān)系:要點詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的 意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧 用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便.【典型例題】類型一、 銳角三角函數(shù)值的求解策略01.如圖所示，在 RtZXABC中，/C= 90° , AB= 13,BC= 5,求/A, /B的正弦、余弦、正切、余切值.【答案與解析】在 RtZXABC中，/ C= 90° .; AB =13, BC= 5.AC ABBC2 、13252

7、12 .sin ABCAB-cos A 132AC 12 八一.tan AAB 13)BCAC512cot AACBCsin BACABBC 5-.tan B AB 13)ACBCcotBBCAC512【總結(jié)升華】先運(yùn)用勾股定理求出另一條直角邊,再運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義求值. 舉一反三：【變式】在 R9ABCK /c = 90。，若 a=3,b=4Mc=sinA =cosA =sinB =cosB =【答案】c= 5 一;8sA =5sinB =-5cosB = 35類型二、特殊角的三角函數(shù)值的計算02,求下列各式的值：(1)sin30-2cos60 ° +cot45, 0 _ &#

8、176;tan 30 ? sin 30 .cot 45 ? tan 60 >(3) (1 M)。|1 sin30 |【答案與解析】原式.3 1原式方3原式1 1 1 2 1 1 2 5 .' /|222【總結(jié)升華】熟記特殊角的三角函數(shù)值或借助兩個三角 板推算三角函數(shù)值，先代入特殊角的三角函數(shù) 值，再進(jìn)行化簡.舉一反三：【變式】在 RtZXABC中，/c = 90。，若/ A=45° ,則sinA =)cosA =) sinB =cosB =03.(1)2次圖-萬=0,求銳角比；(2)已知N-2加值+ 1=。求【答案】/B=450 , sinA 告,8sA =J, sin

9、B 嚀,cosB'J類型三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系【答案與解析】(1)先將已知方程變形后再求解.1 2皿 口一饋=0, cost-.2銳角 2=30° .(2)先將已知方程因式分解變形.tan2 a- 2tan比十 1= 0,(tan 自一 1) - 0,1.tan a-1 = 0, BPtancr- L銳角之=45° .【總結(jié)升華】要求等式中的銳角，只需求得這個角的三 角函數(shù)值，運(yùn)用換元的方法，把角的三角函數(shù)看作未知 數(shù)，解方程求得它的解(值)，然后再求這個銳角.類型四、銳角三角函數(shù)的拓展探究與應(yīng)用04.如圖所示，AB是OO的直徑，且AB= 10, CD是OO的弦

10、，AD與BC相交于點P, 若弦CD= 6,試求cos/APC勺值.【答案與解析】連結(jié)AC AB是。的直徑，./ACP= 90° )又: /B= / D, /PAB= /PCD ZPCDT APAB- PC CD , PA AB又 CD = 6, AB= 10,，在 RtZXPAC中，PCCD63cos APC-.PAAB105【總結(jié)升華】直角三角形中，銳角的三角函數(shù)等于兩邊 的比值，當(dāng)這個比值無法直接求解，可結(jié)合相似三角形 的性質(zhì)，利用對應(yīng)線段成比例轉(zhuǎn)換，間接地求出這個比 值.銳角的三角函數(shù)是針對直角三角形而言的，故可連 結(jié) AC,由 AB是OO的直徑得/ ACB= 90°

11、 , cos apc -PC , PA,PC PA均為未知，而已知CD= 6, AB= 10,可考慮利用 PCDZPAB導(dǎo)PC CD.PA AB。5.通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定， 因此 邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化. 類似的，可以在等 腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖1， 在4ABC中，AB= AC,頂角A的正對記作sadA,這時sadA魯|.容易知道一個角的大小與這個角的正對值腰 AB也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列 問題：(1)sad60 ° =.(2)對于0VAV 180° , /A的正對值sadA的取值范 圍是.如圖1，已知sinA = 3,其中/A為銳角，試求5 /sadA的值.圖1【答案與解析】(1)1 ； (2)0 vsadAv 2;(3)如圖2所示，延長AC到D,使AA AB,連接 BD.設(shè) AA AB= 5a,由 sinA BC 3得 BC- 3a, AD 5 ， AC J(5a)2 (3a)2 4a) . CD = 5a-4a=a, BD Ja2 (3a)2 710a ,BD 10 sadA AD 5【總結(jié)升華】(1)將60。角放在等