高二數(shù)學(xué)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理教案

1、高二數(shù)學(xué)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理教案教學(xué)目標：掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用這兩個原理分析和解決一些簡單問題.教具準備：投影膠片（兩個原理）.教學(xué)過程：設(shè)置情境先看下面的問題：2002年夏季在韓國與日本舉行的第17屆世界杯足球賽共有 32個隊參賽.它們先分成8個小組進行循環(huán)賽，決出 16強，這16個隊按確定的程序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍， 此外還決出了第三、第四名.問一共安排了多少場比賽？要回答上述問題，就要用到排列、組合的知識.排列、組合是一個重要的數(shù)學(xué)方法，粗 略地說，排列、組合方法就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法.在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類計數(shù)

2、原理與分步計數(shù)原理，下面我們舉一些例子來說明這兩個原理.探索研究引導(dǎo)學(xué)生看下面的問題.（出示投影）從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車有2班.那么天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？因為一天中乘火車有 3種走法，乘汽車有 2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地,所以共有3+2=5種不同的走法，如圖所示.一般地，有如下原理：（出示投影）分類計數(shù)原理完成一件事，有類辦法，在第類辦法中有 的1種不同的方法，在第2類辦法中有 種不同的方法，在第 正 類辦法中有 制看種不同的方法，那么完成這件事共有:M 三期中的2?十即馬 +，一十僧R種不同的方法.再看下

3、面的問題.（出示投影）從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地.一天中，火 車有3班，汽車有2班.那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法（如圖）？這個問題與前一個問題不同.在前一個問題中，采用乘火車或汽車中的任何一種方式， 都可以從甲地到乙地；而在這個問題中，必須經(jīng)過先乘火車、 后乘汽車兩個步驟， 才能從甲地到乙地.這里，因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從 甲地到乙地，共有 3X2=6種不同的走法.（讓學(xué)生具體列出6種不同的走法）于是得到如下原理：（出示投影）分步計數(shù)原理 完成一件事，需要分成 附 個步驟，做第1步有中工種不同的

4、方法，做第2步有叫種不同的方法，做第“"兩也.嗎種不同的方法.教師提出問題：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理有什么不同？學(xué)生回答后，教師出示投影：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同 方法的種數(shù)的問題，它們的區(qū)別在于：分類計數(shù)原理與“分類”有關(guān)，各種方法相互獨立， 用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理與“分步”有關(guān)， 各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成.（出示投影）例1 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第 2層放有3本不同的文藝書，第 3 層放有2本不同的體育書.（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第1、2、3層各取

5、1本書，有多少種不同的取法？（解答略）教師點評：注意區(qū)別“分類”與“分步”.例2 一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從 0到9共10個數(shù)字，這4個撥號 盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼？（解答略）例3 要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班， 有多少種不同的選法？（解答略）演練反饋1 .有不同的中文書 9本，不同的英文書 7本，不同的日文書 5本.從其中取出不是同 一國文字的書2本，問有多少種不同的取法？（由一名學(xué)生板演后，教師講評）2 .集合月山2,-3）,月=（-23.從工中各取1個元素作為點W，） 的坐標.（1）可以得到多少個不同的點？（2）這些點中，位于第一象限的有幾個？（

6、由一名學(xué)生板演后，教師講評）3 .某中學(xué)的一幢5層教學(xué)卞I1共有3處樓梯，問從1樓到5樓共有多少種不同的走法？4 .某藝術(shù)組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器，其中7人會鋼琴，3人會小號，從中選出會鋼琴與會小號的各1人，有多少種不同的選法？參考答案1 .解：取出不是同一國文字的書2本，可以分為三類：中英、中日、英日，而每一類中又都可分兩步來取，因此有+=143種不同的取法.注意：有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的“分類” “分步”可以解決的，而要將“分 類” “分步”結(jié)合起來運用.一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，綜合應(yīng)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理.2 .解：（1） 一個點的坐標有

7、X、丁 兩個元素決定，它們中有一個不同則表示不同的點.可以分為兩類：乂中的元素為方，B中的元素為或乂中的元素為y,B中的元素 為工,共得到 3X 4+4X3= 24個不同的點.（2）第一象限內(nèi)的點，即 :均為正數(shù)，所以只能取中的正數(shù)，共有2X2+2X2= 8個不同的點.3 .解：由于1、2、3、4層每一層到上一層都有 3處樓梯，根據(jù)分步計數(shù)原理V=3x3x3x3=34 =814 .解：由題意可知，在藝術(shù)組 9人中，有且僅有一人既會鋼琴又會小號（把該人稱為“多 面手”），只會鋼琴的有6人，只會小號的有2人，把會鋼琴、小號各1人的選法分為兩類：第一類：多面手入選，另一人只需從其他8人中任選一個，故

8、這類選法共有 8種.第二類：多面手不入選，則會鋼琴者只能從 6個只會鋼琴的人中選出， 會小號的1人也 只能從只會小號的2人中選出，放這類選法共有 6X2=12種，因此有77=8 + 6x2 =20 種.故共有20種不同的選法.注意：像本題中的“多面手”可稱為特殊“對象”，本題解法中按特殊“對象”進行 “兩分法分類”是常用的方法.總結(jié)提煉分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，它不僅是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想貫穿于解決本章應(yīng)用問題的始終.要注意“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系.布置作業(yè)：課本P87習(xí)題10.12,3,4,

9、5板書設(shè)計：10.1分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理（一）圖 10-1（二）例題分析（三）練習(xí)圖 10-2例1（四）小結(jié)兩個原理例2例3典型例題例1在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個?分析與解：分析個位數(shù)字，可分以下幾類.個位是9,則十位可以是1, 2, 3，8中的一個，故有 8個;個位是8,則十位可以是1, 2, 3，7中的一個，故有 7個;與上同樣：個位是7的有6個;個位是6的有5個;個位是2的只有1個.由分類計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有"27 + 5 4 6 + 7 + 8 = 乂8 = 362（個）.說明：本題是用分類計數(shù)原理解答的，結(jié)合本題可加深對“做一件事

10、，完成之可以有n類辦法”的理解，所謂“做一件事，完成它可以有n類辦法”，這里是指對完成這件事情的 所有辦法的一個分類. 分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行分類； 其次分類時要注意滿足一個基本要求：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件， 才可以用分類計數(shù)原理.例2在由電鍵組A與B所組成的并聯(lián)電路中，如圖，要接通電源，使電燈發(fā)光的方 法有多少種？解：因為只要合上圖中的任一電鍵，電燈即發(fā)光，由于在 電鍵組A中有2個電鍵，電鍵組 B中有3個電鍵，應(yīng)用分類計 數(shù)原理，所以共有：2+3=5種接通電源使

11、燈發(fā)亮的方法。例3二年級一班有學(xué)生 56人，其中男生38人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團，問選取代表的方法有幾種.分析與解：男生38人，女生18人，由分步計數(shù)原理共有38x18 = 684（種）答：選取代表的方法有 684種.說明：本題是用分步計數(shù)原理解答的，結(jié)合本題可以加深對“做一件事，完成之需要分成n個步驟”的理解，所謂“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，分析時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個分步的可行標準； 其次，分步時還要注意滿足完成這件事情必須并且 只需連續(xù)完成這對 整個步驟后，這件事情才算圓滿完成，這時，才能使用來法原理.例4在電鍵組A、B組成的串聯(lián)電路

12、中，如圖，要接通電源使燈發(fā)光的方法有幾種？解：只要在合上 A組中兩個電鍵之后，再合上 B組中3個 電鍵中的任意一個，才能使電燈的電源接通，電燈才能發(fā)光， 根據(jù)分步計數(shù)原理共有：2X3=6種不同的方法接通電源，使電燈發(fā)光。例5有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不 同類的書，有多少種不同取法？分析：任取兩本不同類的書，有三類：一、取數(shù)學(xué)、語文各一本；二、取語文、英語各 一本；三、取數(shù)學(xué)、英語各一本.然后求出每類取法，利用分類計數(shù)原理即可得解.解：取出兩本書中，一本數(shù)學(xué)一本語文有10x9=9。種不同取法，一本語文一本英語有9K3 = 72種不同取法，一本數(shù)學(xué)，一本

13、英語有= 80種不同取法.由分類計數(shù)原理知：共有90+72+80 = 242種不同取法.說明：本例是一個綜合應(yīng)用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理的題目，在處理這類問題時， 一定要搞清哪里是分類，哪里是分步，以確定利用加法或分步計數(shù)原理.例6 （ 1993年全國高考題）同室 4人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿 1張別人送出的賀年卡，則 4張賀年卡不同的分配方式有（）A. 6 種B . 9 種C . 11種D. 23種分析：本題完成的具體事情是四個人，每人抽取一張賀卡，問題是按照一定要求，抽取結(jié)果有多少種不同情況.我們可以把抽卡片的過程分成四步，先是第一人抽，然后第二人， 以此類推，但存在

14、的問題是，我們把四個人記為a、8、e、口，他們的卡片依次記為S、上、亡、囹，如果第一步工抽取占，接著3可抽S 、二、囹，有三種方法， 而力抽右或圖，B僅有兩種抽法，這樣兩步之間產(chǎn)生影響，這樣必須就 工 抽的結(jié)果進 行分類.解法1:設(shè)四人A, B, C, D寫的賀年卡分別是 a, b, c, d,當A拿賀年卡b,則B可 拿a, c, d中的任何一個，即 B拿a, C拿d, D拿c或B拿c, D拿a, C拿d或B拿d, C 拿a, D拿c,所以A拿b時有三種不同分配方法.同理， A拿c , d時也各有三種不同的分 配方式.由分類計數(shù)原理，四張賀年卡共有3+3+3=9種分配方式.解法2:讓四人A,

15、B, C, D依次拿一張別人送出的賀年卡.如果A先拿有3種，此時寫被A拿走的那張賀年卡的人也有 3種不同的取法.接下來，剩下的兩個人都各只有一種取 法.由分步計數(shù)原理，四張賀年卡不同的分配方式有3x3xUl = 9種.應(yīng)選B.注意：（1）本題從不同的角度去思考，從而得到不同的解答方法，解法 1是用分類計數(shù)原理解答的，解法2是用分步計數(shù)原理解答的. 在此有必要再進一步對兩個原理加以理解：如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理.如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成， 那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理.

16、（2）分類計數(shù)原理、來法原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、 組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用.（3）如果把四個人依次抽取的結(jié)果用一個圖表體現(xiàn)出來，就顯得更加清楚.adca一d6a6一C/- d-c t2-b da -1 b/xzd acdcb-。b-a共有9種不同結(jié)果.這個圖表我們稱之為“樹形圖”，在解決此類問題往往很有效， 通過它可以把各種不同結(jié)果直觀地表現(xiàn)出來.習(xí)題精選一、選擇題1 .將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有（）.A. 5m種B. M種C.三；種D. 15種2 .將4個不同的小球放入 3個不同的盒子，其中每個盒子都

17、不空的放法共有（）.A. 34種B,43種C. 18種D. 36種3 .已知集合"一I r J ,1? J r J ,從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是（）.A. 18B. 10C. 16D. 144 .用1, 2, 3, 4四個數(shù)字在任取數(shù)（不重復(fù)?。┳骱停瑒t取出這些數(shù)的不同的和共有（）.A. 8 個B. 9 個C. 10 個D. 5 個二、填空題1 .由數(shù)字2, 3, 4, 5可組成 個三位數(shù),個四位數(shù)，個五位數(shù).2 .用1, 2, 3，9九個數(shù)字，可組成 個四位數(shù)，個六位數(shù).3 .商店里有15種上衣，18種褲子，某人要買一件上衣或一條褲子，共有 種 不同的選法.要買上衣、褲子各一件，共有 種不同的選法.4 .大小不等的兩個正方體玩具，分別在各面上標有數(shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6,則向上的面標著的兩個數(shù)字之積不小于20的情形有 種.三、解答題1 .從1, 2, 3, 4, 7, 9中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到 多少個不同