統(tǒng)計學(xué)原理重要公式

1、.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)： xf fx 或 x xff加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：mxfx mfx頻數(shù)也稱次數(shù)。在一組依大小順序排列的測量值中，當按一定的組距將其分組時出現(xiàn)在各組內(nèi) 的測量值的數(shù)目，即落在各類別（分組）中的數(shù)據(jù)個數(shù)。再如在3.14159265358979324中，9出現(xiàn)的頻數(shù)是 3,出現(xiàn)的頻率是 3/18=16.7%一般我們稱落在不同小組中的數(shù)據(jù)個數(shù)為該組的頻數(shù)，頻數(shù)與總數(shù)的比為頻率。頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對總數(shù)據(jù)按某種標準進行分組，統(tǒng)計出各個組內(nèi)含個體的個數(shù)。而頻 率則每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。在變量分配數(shù)列中，頻數(shù)（頻率）表明對應(yīng)組標志值的作用程度。頻數(shù)（

2、頻率）數(shù)值越大表明該組標志值對于總體水平所起的作用也越大，反之，頻數(shù)（頻率）數(shù)值越小，表明該組標 志值對于總體水平所起的作用越小。擲硬幣實驗：在10次擲硬幣中，有 4次正面朝上，我們說這 10次試驗中正面朝上的 頻數(shù)是4例題：我們經(jīng)常擲硬幣，在擲了一百次后，硬幣有40次正面朝上，那么，硬幣反面朝上的頻數(shù)為.解答，擲了硬幣100次，40次朝上，則有100-40=60 （次）反面朝上，所以硬幣反面朝上 的頻數(shù)為60.一.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：一 xf -fx 或 x xffx代表算術(shù)平均數(shù)； 匯是總和符合；f為標志值出現(xiàn)的次數(shù)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)是具有不同比重的數(shù)據(jù)（或平

3、均數(shù)）的算術(shù)平均數(shù)。比重也稱為權(quán)重，數(shù)據(jù)的 權(quán)重反映了該變量在總體中的相對重要性，每種變量的權(quán)重的確定與一定的理論經(jīng)驗或變量在總體中的比重有關(guān)。依據(jù)各個數(shù)據(jù)的重要性系數(shù)（即權(quán)重）進行相乘后再相加求和，就是加權(quán)匯 xf /Ef和。加權(quán)和與所有權(quán)重之和的比等于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)平均數(shù)=各組（變量值 X次數(shù)）之和/各組次數(shù)之和加權(quán)調(diào)和平均數(shù):m xfX 如以算術(shù)干土勺數(shù)以各組單位數(shù) 算內(nèi)容和結(jié)果都是相同的。f為權(quán)數(shù)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)以各組標志總量m為權(quán)數(shù)但計二.標準差和標準差系數(shù)的計算方法 標準差：n-I公式標準差也被稱為標準偏差，或者實驗標準差，公式如圖。簡單來說，標準差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的

4、一種度量。一個較大的標準差，代表大部 分數(shù)值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數(shù)值較接近平均值。例如，兩組數(shù)的集合 0, 5, 9, 14和5, 6, 8, 9其平均值都是7 ,但第二個集合具有較小的 標準差。標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測量時，測量數(shù)值集 合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預(yù)測值，測量值的標準差占有決 定性重要角色：如果測量平均值與預(yù)測值相差太遠（同時與標準差數(shù)值做比較），則認為測量 值與預(yù)測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推 論預(yù)測值是否正確。標準差應(yīng)用于投資上，可作

5、為量度回報穩(wěn)定性的指標。標準差數(shù)值越大，代表回報遠離過去平均數(shù)值，回報較不穩(wěn)定故風(fēng)險越高。相反，標準差數(shù)值越細，代表回報較為穩(wěn)定，風(fēng)險亦較小。例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，A組的分數(shù)為95、85、75、65、55、45, B組的分數(shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70,但A組的標準差為17.07分，B組的標準差為2.37分（此數(shù)據(jù)時在 R統(tǒng)計軟件中運行獲得），說明 A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。如是總體，標準差公式根號內(nèi)除以n如是樣本，標準差公式根號內(nèi)除以（n-1）因為我們大量接觸的是樣本，所以普遍使用根號內(nèi)除以（n-1）公式意義所有

6、數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個數(shù)（或個數(shù)減一），再把所得值開根號，所得之數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的標準差。標準差的意義標準差越高，表示實驗數(shù)據(jù)越離散，也就是說越不精確反之標準差越低代表實驗的數(shù)據(jù)越精確離散度標準差是反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一種量化形式，是表示精密確的最要指標。說起 標準差首先得搞清楚它出現(xiàn)的目的。我們使用方法去檢測它，但檢測方法總是有誤差的，所以檢測值并不是其真實值。檢測值與真實值之間的差距就是評價檢測方法最有決定性的指標。但是真實值是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測方法的準確性就成了難題。這也是臨床工 作質(zhì)控的目的：保證每批實驗結(jié)果的準確可靠。雖然樣本的真實值是不可

7、能知道的，但是每個樣本總是會有一個真實值的，不管它究竟是 多少?？梢韵胂螅粋€好的檢測方法，基檢測值應(yīng)該很緊密的分散在真實值周圍。如何不緊 密，那距真實值的就會大，準確性當然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會測出準確 的結(jié)果。因此，離散度是評價方法的好壞的最重要也是最基本的指標。標準差系數(shù):標準差系數(shù)又均方差系數(shù)。反映標志變動程度的相對指標。式中：Vb為標準差系數(shù)；b為標準差；X為平均數(shù)。當以樣本標準差系數(shù)（稱變異系數(shù)/離散系數(shù)）估計總體標準差系數(shù)時，VS=式中：VS為變異系數(shù)；S為樣本標準差。對于不同水平的總體不宜直接用標準差指標進行對比，標準差系數(shù)能更好的反映不同水平總體的標志 變動

8、度。標準差變動系數(shù)為標志變異系數(shù)的一種。標志變異系數(shù)指用標志變異指標與其相應(yīng)的平均指標對比，來反應(yīng)總體各單位標志值之間離散程度的相對指標，一般用 v表示。標志變異指標有全距、平均差和標準差，相對應(yīng)的，便有全距系數(shù)、平均差系數(shù)和標準差系數(shù)3種。計算方法為：標志變異系數(shù)=標志變異值/相對應(yīng)的平均值三.總體平均數(shù)和總體成數(shù)的區(qū)間估計。抽樣平均誤差的計算公式：1 .總體平均數(shù)：重復(fù)抽樣：x.n重復(fù)抽樣又稱放回式抽樣。每次從總體中抽取的樣本單位，經(jīng)檢驗之后又重新放回總體，參加下次抽樣，這種抽樣的 特點是總體中每個樣本單位被抽中的概率是相等的。,2不重復(fù)抽樣：*(1 ),n N不重復(fù)抽樣亦稱不放回式抽樣。

9、每次從總體中抽取的樣本單位，經(jīng)檢驗之后不再放回總體，在下次抽樣時不會再次抽到前 面已抽中過的樣品單位?？傮w每經(jīng)一次抽樣，其樣品單位數(shù)就減少一個，因此每個樣品單位在各次抽樣中被抽中的 概率是不同的。2 .總體成數(shù):重復(fù)抽樣：p出二不重復(fù)抽樣：p 叵下Dn1n N抽樣極限誤差：抽樣極限誤差又稱 “置信區(qū)間和抽樣允許誤差范圍 ”，是指在一定的把握程度(P)下保證樣 本指標與總體指標之間的抽樣誤差不超過某一給定的最大可能范圍，記作。抽樣極限誤差是指用絕對值形式表示的樣本指標與總體指標偏差的可允許的最大范圍。它表明被估計的總體指標有希望落在一個以樣本指標為基礎(chǔ)的可能范圍。它是由抽樣指標變動 可允許的上限

10、或下限與總體指標之差的絕對值求得的。由于總體平均數(shù)和總體成數(shù)是未知的，它要靠實測的抽樣平均數(shù)成數(shù)來估計。因而抽樣極 限誤差的實際意義是希望總體平均數(shù)落在抽樣平均數(shù)的范圍內(nèi)，總體成數(shù)落在抽樣成數(shù)的范圍 內(nèi)?；诶碚撋系囊螅闃訕O限誤差需要用抽樣平均誤差科x或w p為標準單位來衡量。即把極限誤差 x或4p相應(yīng)除以科X或W P ,得出相對的誤差程度 t倍，t稱為抽樣誤差的 概率度。于是有：1 .總體平均數(shù)定義：總體中所有個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)。原理：考察的對象中的每一個考察對象的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)2 .總體成數(shù)： 4p = t科p總體成數(shù)。它是指總體中具有某一相同標志表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單

11、位數(shù)的比重，一般用表示?？傮w中具有相同標志表現(xiàn)的單位數(shù)用N1表示?？傮w平均數(shù)和總體成數(shù)的區(qū)間估計：1 .總體平均數(shù)：x - tuxWXWx + tu x2 .總體成數(shù)：p - tup p p + tu p樣本單位數(shù)的確定：1.總體平均數(shù)：重復(fù)抽樣：n = t 2b2/A2x不重復(fù)抽樣：n = t 2(T2 N /( N A 2x + t 2(T2 )2-總體成數(shù)：重復(fù)抽樣：n = t 2P(1-p) /A2p不重復(fù)抽樣：n = t 2P(1-p) N /( N A2p + t 2P(1-p)四.相關(guān)系數(shù)的計算、回歸方程的建立和應(yīng)用相關(guān)系數(shù)的計算：n xy x yn x2 (x)2 n y2 (

12、 y)2簡單線性回歸方程的建立：Y = a + bx甘木 n xy x y其中：b 2rn x ( x)a y bx五.統(tǒng)計指數(shù)的編制和兩因素分析1 .綜合指數(shù)的計算(1)數(shù)量指標指數(shù)：qiPo(qi Po -qoPo)qoPo(2)質(zhì)量指標指數(shù)：qiPi (qiPi- qiPo )qi Po2 .平均指數(shù)的計算算術(shù)平均數(shù)指數(shù)：qo Po. % /qo Poqo Po. Kq-qo Po調(diào)和平均數(shù)指數(shù)：qi Pi / (qi Pi/KP)qiPi - qi Pi/KP3 .復(fù)雜現(xiàn)象總體總量指標變動的因素分析相對數(shù)變動分析:qiPo-qPo)x (qi Pi- qPo)qiPi = qo Po絕對值變動分析：qiPi- qoPo= (qi Poqi Pix qo Poqi Po六.平均發(fā)展水平的計算i.由總量指標動態(tài)數(shù)列計算序時平均數(shù)(i)由時期數(shù)列計算序時平均數(shù)：- a a n(2)由間隔相等的時點數(shù)列計算序時平均數(shù)i ai a2 a 2ian二 an i2n i(3)由間隔不相等的時點數(shù)列計算序時平均數(shù)且fniaia2 f a2a3ffi If222f2.由相對指標或平均指標動態(tài)數(shù)列計算序時平均數(shù)a C = b七.現(xiàn)象發(fā)