SAS試驗(yàn)指導(dǎo)-Arch建模

1、ARCH建模及SAS實(shí)現(xiàn)一.Arch模型Arch模型即自回歸條件異方差模型，是金融市場(chǎng)中廣泛應(yīng)用的 一種特殊非線性模型。1982年，R.Engle在研究英國(guó)通貨膨脹率序列 規(guī)律時(shí)提出ARCH模型，其核心思想是殘差項(xiàng)的條件方差依賴于它 的前期值的大小。1986年，Bollerslev在ARCH模型基礎(chǔ)上對(duì)方差的 表現(xiàn)形式進(jìn)行了線性擴(kuò)展，并形成了更為廣泛的GARCH模型。1. 金融時(shí)間序列的異方差性特征金融時(shí)間序列，無(wú)恒定均值（非平穩(wěn)性），呈現(xiàn)出階段性的相對(duì)平 穩(wěn)的同時(shí)，往往伴隨著出現(xiàn)劇烈的波動(dòng)性；具有明顯的異方差（方差隨時(shí)間變化而變化）特征：尖峰厚尾：金融資產(chǎn)收益呈現(xiàn)厚尾和在均值處呈現(xiàn)過(guò)度波峰；

2、波動(dòng)叢聚性：金融市場(chǎng)波動(dòng)往往呈現(xiàn)簇狀傾向，即波動(dòng)的當(dāng)期水平往往與它最近的前些時(shí)期水平存在正相關(guān)關(guān)系。杠桿效應(yīng)：指價(jià)格大幅度下降后往往會(huì)出現(xiàn)同樣幅度價(jià)格上升的 傾向。1 oR 9 99 7 0 3因此，傳統(tǒng)線性結(jié)構(gòu)模型(以及時(shí)間序列模型)并不能很好地解 釋金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)。2. ARCH(p) 模型考慮 k 變量的回歸模型yt01x1tLk xktt若殘差項(xiàng)t的均值為0,對(duì)y取基于t-1時(shí)刻信息的期望:Et 1(yt )01x1t Lk xkt該模型中，yt的無(wú)條件方差是固定的。但考慮 yt的條件方差:22var(yt |Yt1)Et1(yt01x1tLkxkt)2Et1t2其中，var(yt

3、|Yt 1)表示基于t-1時(shí)刻信息集合Yt-i的yt的條件方差,若殘差項(xiàng)t存在自回歸結(jié)構(gòu)，則yt的條件方差不固定。假設(shè)在前p期所有信息的條件下，殘差項(xiàng)平方t2服從AR(p)模型:(*)其中t為0均值、2 方差的白噪聲序列。則殘差項(xiàng)t 服從條件正態(tài)分布:tN0,2t12tp殘差項(xiàng)t的條件方差:var( t)2t12 ptp由兩部分組成:1 )常數(shù)項(xiàng) ；2)ARCH 項(xiàng)變動(dòng)信息,前 p 期的殘差平方和p2i t ii1注:未知參數(shù) 0, 1,L , p 和 0, 1,L , k 利用極大似然估計(jì)法估計(jì)。方差非負(fù)性要求0, 1,L , p 都非負(fù)。為了使t2協(xié)方差平穩(wěn),需進(jìn)一步要求方程1 1z Lp

4、zp 0的根都位于單位圓外。若 i 都非負(fù),上式等價(jià)于1 L p 1.注:若擾動(dòng)項(xiàng)的條件方差不存在自相關(guān),則有1 Lp0,此時(shí) var( t)0,即殘差的條件方差同方差性情形。3. GARCH( p,q)模型ARCH(p)模型在實(shí)際應(yīng)用中，為了得到較好的擬合效果，往往需 要很大的階數(shù)p,從而增加了待估參數(shù)個(gè)數(shù)、引發(fā)多重共線性、非限 制估計(jì)違背 i 非負(fù)性要求。1986年，Bollerslev將ARCH(p)模型推廣為廣義自回歸條件異方pq22i t ii t ii 1 i 1差模型GARCH(p, q):殘差t的條件方差表示為var( t)t2由三項(xiàng)組成,(1)常數(shù)項(xiàng) ；2) ARCH 項(xiàng)；p

5、3) GARCH 項(xiàng)前 q 期預(yù)測(cè)方差i1注:未知參數(shù)用極大似然法估計(jì), 通常殘差的假設(shè)分布有正態(tài)分 布、 t 分布、廣義誤差分布；該模型也要求 i, i 非負(fù)；若要求是平穩(wěn)過(guò)程，需要限制i i 1.實(shí)際上，GARCH(p, q)模型是將殘差i 1i 1平方用 ARMA(q,p) 模型描述。4. ARCH 檢驗(yàn)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臍埐钍欠窬哂?ARCH 效應(yīng)有兩種方法：(1) . ARCH LM 檢驗(yàn)拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)檢驗(yàn)原假設(shè)Ho：殘差序列直到p階都不存在ARCH效應(yīng)；需進(jìn) 行如下回歸：p?22t o i t i ti1檢驗(yàn)回歸有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量一一檢驗(yàn)回歸系數(shù)是否顯著為 0.運(yùn)T X R2統(tǒng)計(jì)量一

6、一LM統(tǒng)計(jì)量，其中T為觀察值個(gè)數(shù)，R2為回 歸擬合優(yōu)度，該統(tǒng)計(jì)量漸近服從 2(p)分布。(2) . 殘差平方相關(guān)圖殘差平方相關(guān)圖顯示殘差平方 ？序列，直到任意指定的滯后階 數(shù)的自相關(guān)函數(shù)(AC)和偏自相關(guān)函數(shù)(PAC),并計(jì)算相應(yīng)滯后階 數(shù)的 QLB 統(tǒng)計(jì)量。若不存在 ARCH 效應(yīng)，則任意滯后階數(shù)的自相關(guān) 函數(shù)(AC)和偏自相關(guān)函數(shù)(PAC)都近似為0.5. GARCH-M 模型一般風(fēng)險(xiǎn)越大， 預(yù)期收益越大。 在回歸模型中加入一項(xiàng) “利用條 件方差表示的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)”：ytxtpq2 2 2 t i t i i t i i 1 i 1稱為 GARCH-M 模型。另外，還有非對(duì)稱沖擊模型： TAR

7、CH、EGARCH、PARCH 等（略）。二.SAS 實(shí)現(xiàn)-PROC AutoReg 過(guò)程SAS 中的 AutoReg 過(guò)程，是用于估計(jì)和預(yù)測(cè)誤差項(xiàng)自相關(guān) 或異方差的時(shí)間序列數(shù)據(jù)的線性回歸模型。自回歸誤差模型被用來(lái)校正自相關(guān)系數(shù)和廣義自回歸條件 異方差模型 GARCH ，并且其變體如廣義的 ARCH （GARCH）、 方差無(wú)窮的 GARCH（IGARCH ）、指數(shù)的 GARCH（EGARCH） 和依均值的 GARCH（ GARCH-M ）被用于異方差的建模和校正。 自回歸過(guò)程 AutoReg 可以擬合任意階的自回歸誤差模型， 并且可 以擬合子集自回歸模型。為了診斷自相關(guān)性， 過(guò)程產(chǎn)生廣義 Du

8、rbin-Watson（DW ）統(tǒng) 計(jì)量和其邊緣概率。 普通回歸分析假定誤差方差對(duì)于所有觀察是 相同的，但當(dāng)誤差方差不相同時(shí)，數(shù)據(jù)被稱為異方差，此時(shí)普通 最小二乘法估計(jì)不是有效的， 同時(shí)也影響預(yù)測(cè)值置信區(qū)間的精確 性。 Autoreg 過(guò)程能檢驗(yàn)異方差，并且提供 GARCH 模型族來(lái)估 計(jì)和校正數(shù)據(jù)易變性。 對(duì)于帶有自相關(guān)擾動(dòng)和隨時(shí)間變化的條件 異方差模型，過(guò)程輸出條件均值和條件方差的預(yù)測(cè)值?；菊Z(yǔ)法:Proc AutoReg data據(jù)集 可選項(xiàng) ;model因變量=獨(dú)立回歸變量列表 /選項(xiàng)列表;output out=數(shù)據(jù)集 選項(xiàng)列表;by變量;說(shuō)明：1. proc autoreg語(yǔ)句可選項(xiàng)

9、outest=據(jù)集把估計(jì)參數(shù)輸出到指定數(shù)據(jù)集；covout把估計(jì)參數(shù)的協(xié)方差陣輸出到outest=指定數(shù)據(jù)集；該選項(xiàng)只有在指定了outest=選項(xiàng)后才有效.2. model 語(yǔ)句center通過(guò)減去均值，中心化因變量并且取消模型的均值參數(shù)；noi nt取消模型的均值參數(shù)；nlag =數(shù)值| (數(shù)值列表)指定自回歸誤差的階或者自回歸誤差的時(shí)間間隔的子集。例如，nlag=3與nlag=(1 2 3)作用相同，但與nlag=(1 3)等不同；garch=(q=數(shù)值,p=數(shù)值,type=選擇值,mean, noint, tr)指 定廣義條件異方差GARCH模型的類型。例如，定義GARCH(2,1)回歸

10、模型：model y=x1 x2 / garch=(q=2, p=1);注意：SAS系統(tǒng)的自回歸參數(shù)符號(hào) q和p與前文所述公式中的符號(hào)p和q正好相反。定義 GARCH-M(1,1)回歸模型：model y=x1 x2 / garch=(q=2,p=1,mea n);type=選擇值 指定 GARCH模型的類型：默認(rèn)為 noineq 表示無(wú)約束 GARCH模型；nonneg表示非負(fù)約束 GARCH 模型；stn表示約束GARCH模型系數(shù)的和小于1 ； integ表 示IGARCH模型；exp表示EGARCH模型；noi nt 取消條件異方差模型中的均值參數(shù)；tr GARCH模型的估計(jì)使用信賴區(qū)域

11、方法，缺省值為對(duì) 偶擬牛頓法；archtest要求用portmantea Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和Engle的拉格朗日乘子LM檢驗(yàn)是否存在條件異方差情況，即是否有ARCH效應(yīng)；coef輸出前幾條觀察的變換系數(shù)；corrb輸出參數(shù)估計(jì)的估計(jì)相關(guān)系數(shù)；covb輸出參數(shù)估計(jì)的估計(jì)協(xié)方差；dw=n輸出直到n階的DW 統(tǒng)計(jì)量，默認(rèn) n=1;dwprob輸出DW統(tǒng)計(jì)量的p值，當(dāng)誤差自由度大于300時(shí)dwprob選項(xiàng)被忽略；ginv輸出Yule-Walker解的自協(xié)方差的 Toeplitz矩陣的逆；itpri nt輸出每步迭代的目標(biāo)函數(shù)和參數(shù)估計(jì);lagdetp輸出DW t統(tǒng)計(jì)量，它用于檢驗(yàn)存在時(shí)滯因變量時(shí)殘差的自相

12、關(guān)性；lagdep=0歸變量輸出 DW h統(tǒng)計(jì)量，它用于檢驗(yàn)一階自相關(guān)性；partial輸出偏自相關(guān)；backste去掉非顯著自回歸參數(shù)，參數(shù)按最小顯著性的次序被去掉；slstay=數(shù)值指定被backstep選項(xiàng)使用的顯著水平，默認(rèn)為0.05；converge=數(shù)值指定在迭代自回歸參數(shù)估計(jì)時(shí)參數(shù)的變化量的最大絕對(duì)值小于此數(shù)值，那么認(rèn)為收斂，默認(rèn) 為 0.001;maxiter=數(shù)值指定允許迭代的最大次數(shù)，默認(rèn)為 50;method=ml | ols | yw | ityw指定估計(jì)的方法，分別為：最大似然估計(jì)、無(wú)條件最小二乘法、Yule-Walker估計(jì)、迭代Yule-Walker估計(jì)；nomi

13、ss使用沒(méi)有缺失值的第一個(gè)連貫時(shí)間序列數(shù)據(jù)集，進(jìn)行模型擬合估計(jì)。否則，跳過(guò)數(shù)據(jù)集開(kāi)始的任何 缺失值，使用獨(dú)立回歸變量和因變量都不帶缺失值的所 有數(shù)據(jù)。請(qǐng)?zhí)貏e注意，為了保持時(shí)間序列中正確的時(shí)間 間隔，必須要增加時(shí)間刻度值，這樣就會(huì)產(chǎn)生因變量缺 失值的觀察。當(dāng)因變量缺失時(shí)，過(guò)程可以產(chǎn)生預(yù)測(cè)值。如果缺失值很多，則應(yīng)使用ML估計(jì)。3. output 語(yǔ)句out=數(shù)據(jù)集一一指定包含預(yù)測(cè)值和變換值的輸出數(shù)據(jù) 集；alphacli=數(shù)值設(shè)置時(shí)間序列預(yù)測(cè)值置信區(qū)間的顯著水平，默認(rèn)為0.05;alphaclm=數(shù)值設(shè)置模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)值置信區(qū)間的顯著水平，缺省值為0.05;cev=變量把條件誤差方差寫(xiě)入到輸出數(shù)

14、據(jù)集的指定變量中，僅GARCH模型被估計(jì)時(shí)才使用； cpev=變量把條件預(yù)測(cè)誤差方差寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中，僅 GARCH模型被估計(jì)時(shí)才使用； consta門七=變量把被變換的均值寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；lcl =變量一一把預(yù)測(cè)值的置信下限寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集 的指定變量中；ucl =變量把預(yù)測(cè)值的置信上限寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；lclm =變量把模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)值的置信下限寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；uclm =變量把模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)值的置信上限寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；p=變量把預(yù)測(cè)值寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；rm =變量把來(lái)自模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)的殘差寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集

15、的指定變量中；tran sform =變量把被變換的變量寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。三.例子對(duì)模擬方法生成的時(shí)間趨勢(shì)加二階自回歸誤差模型的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，用PROC AUTOREG過(guò)程進(jìn)行分析和建模，以便于比 較和判斷各種求解模型和運(yùn)算結(jié)果的好壞。模型：兀二10 + 0*5一耳£ t 0.5名r +(一) 按照模擬模型生成數(shù)據(jù)集代碼：data randar;e1=0;e11=0;do t=-10 to 36;e= 1.3 *e1- 0.5 *e11+ 2*rannor( 12346 );x= 10+0.5 *t+e;e11= e1;e1=e;if t> 0 thenoutput

16、 ;end;Obs12345678910111213141516171819202122232425262728運(yùn)行結(jié)果:e1 e11-2.73816 -4.99186 0.03674 -2.73816 0.663560.03674-0.862330.66356-4.30165 -0.86233 -3.88957 -4.30165 -3.56635 -3.88957 -3.68908 -3.56635 -2.50263 -3.68908tex1 -2.738167.76182 0.03674 11.03673 0.66356 12.16364 -0.86233 11.13775 -4.3016

17、58.19846 -3.889579.11047 -3.566359.93378 -3.68908 10.31099 -2.50263 11.9974-1.80957 -2.50263 10 -1.80957 13.1904-0.14763 -1.80957 11 -0.14763 15.35241.78537 -0.14763 121.78537 17.78544.09011 20.59013.54577 20.54584.090111.78537 133.545774.09011 14-0.929953.54577 15 -0.92995 16.5701 -3.39550 -0.92995

18、 16 -3.39550 14.6045-4.57207 -3.39550 17 -4.57207 13.9279-4.02602 -4.57207 18 -4.02602 14.9740-3.75333 -4.02602 19 -3.75333 15.7467-1.73776 -3.75333 20 -1.73776 18.2622-1.42859 -1.73776 21 -1.42859 19.0714-0.98120 -1.42859 22 -0.98120 20.0188-1.48741 -0.98120 23 -1.48741 20.0126-4.41515 -1.48741 24

19、-4.41515 17.5848-4.14229 -4.41515 25 -4.14229 18.3577-5.57633 -4.14229 26 -5.57633 17.4237-5.55633 -5.57633 27 -5.55633 17.9437-4.17604 -5.55633 28 -4.17604 19.8240Obsel e11 tex29 -2.45303 -4.17604 29 -2.45303 22.047030 -0.32189 -2.45303 30 -0.32189 24.678131 -0.24246 -0.32189 31 -0.24246 25.257532

20、1.61987 -0.24246 321.61987 27.619933 2.262591.61987 332.26259 28.762634 0.485402.26259 340.48540 27.485435 -1.115700.48540 35 -1.11570 26.384336 -2.95901 -1.11570 36 -2.95901 25.0410變量e對(duì)應(yīng)e1對(duì)應(yīng)&-1, e2對(duì)應(yīng)&-2.表達(dá)式2*rannor(12346),將生成獨(dú)立同分布均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為 2的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，對(duì)應(yīng)于公式中均值為 0,方差為22的白噪聲誤 差序列。DO循環(huán)從t= 10開(kāi)始而不

21、是直接從t=1開(kāi)始的原因，是讓模擬 生成的二階自回歸誤差序列 有一段時(shí)間(t= 10到0)進(jìn)行初始化， 以便到達(dá)穩(wěn)定的隨機(jī)序列值。(二) 普通最小二乘法回歸模型代碼：proc autoreg data =randar PLOTS(ONLY) = FITPLOT;model x=t;run ;運(yùn)行結(jié)果及說(shuō)明:AUTORE過(guò)程因變量x普通最小二乘法估計(jì)SSE214.953429 DFE34普通最小二乘法估計(jì)MSE6.32216均方根誤差2.51439SBC173.659101AIC170.492063MAE2.01903356AICC170.855699MAPE12.5270666HQC171.5

22、97444Durbi n-Wats on0.4752回歸R方0.8200總R方0.8200參數(shù)估計(jì)值變量自由度估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值近似Pr > |t|In tercept18.23080.85599.62<.0001t10.50210.0403 12.45<.0001AUTORE過(guò)程-I 0|O 5 ID IE 3D 95* IC4工P0 ID 帥 30010 旳 眸<JVJ0 E 10 15 SO 2ETbJgiV-3 JWSFfi即打F嘆型自由jg?現(xiàn)瀏乂 USES齊M亡橫型自由;SEaiosojo普通最小二乘回歸基于統(tǒng)計(jì)假設(shè)： 誤差相互對(duì)立。 然而，時(shí)間序 列數(shù)據(jù)

23、，普通回歸后的殘差常常是相關(guān)的。這將導(dǎo)致：第一，對(duì)于參數(shù)的顯著性和置信限的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)將不正 確；第二，回歸系數(shù)的估計(jì)不象考慮到自相關(guān)性時(shí)的估計(jì)一樣有效； 第三，由于回歸殘差不獨(dú)立，它們包含可用來(lái)改進(jìn)預(yù)測(cè)值的信息。由于這些原因，所以對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)不使用普通回歸proc reg過(guò)程而使用帶自回歸誤差的回歸 pro autoreg過(guò)程。Model語(yǔ)句中指定回 歸模型，沒(méi)有可選項(xiàng)，是要求利用普通最小二乘法做x對(duì)t的回歸。為便于對(duì)比，繪制了散點(diǎn)圖和線性回歸趨勢(shì)線?；貧wR2是對(duì)回歸模型的R2,總R2是包括自回歸誤差在內(nèi)的整體 模型的R2.現(xiàn)在還無(wú)自回歸誤差模型，故兩個(gè)R2相等。估計(jì)模型為：OLS： xt 8

24、.2308 0.5021t tVar（ t ） 6.32216 該模型較合理地接近真實(shí)值，但是誤差方差估計(jì) 6.32216遠(yuǎn)大于真實(shí) 值4。誤差方差估計(jì)值遠(yuǎn)大于真實(shí)值（通過(guò)對(duì)模型的殘差作自相關(guān)性 檢驗(yàn)來(lái)判斷和識(shí)別），說(shuō)明模型還有信息沒(méi)有提取。（三）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖韵嚓P(guān)系數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中， 需要檢驗(yàn)自相關(guān)性是否存在， 以及存在幾階自相 關(guān)。 Durbin-Watson 檢驗(yàn)是廣泛使用的自相關(guān)性的檢驗(yàn)方法。選項(xiàng) dw=4 和 dwprob 是要求過(guò)程進(jìn)行 1 到 4 階的 OLS 殘差中自相關(guān)性Durbin-Watson檢驗(yàn)，并要求輸出Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量的邊緣顯著水 平p值。注意：對(duì)于季節(jié)

25、性時(shí)間序列數(shù)據(jù)，自相關(guān)性檢驗(yàn)應(yīng)該至少檢驗(yàn)與 季節(jié)性階一樣大的階。例如，對(duì)于月度數(shù)據(jù)至少應(yīng)取dw=12。代碼：proc autoreg data =ran dar;model x=t / dw=4 dwprob ;run ;運(yùn)行結(jié)果及說(shuō)明：Durb in-Wats on 統(tǒng)計(jì)量順序 DW Pr < DW Pr > DW10.4752<.00011.000021.29350.01370.986332.06940.65450.345542.55440.98180.0182Note: Pr<DW is the p-value for testing positive autoc

26、orrelation, and Pr>DW is the p-value for testi ng n egative autocorrelati on.參數(shù)估計(jì)值變量自由度估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值近似Pr > |t|In tercept1 8.23080.85599.62<.0001t1 0.50210.0403 12.45<.0001一階Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量為0.4752,其p值為<0.0001,極其顯 著，強(qiáng)烈拒絕一階自相關(guān)系數(shù)為0的原假設(shè)。因此，自相關(guān)性的校正 是必須的。要注意的是，利用Durbin-Watson檢驗(yàn)可決定是否需要做自相關(guān) 性校正。

27、但廣義的Durbin-Watson檢驗(yàn)不應(yīng)該用于確定自回歸的階數(shù)。因?yàn)楦唠A的檢驗(yàn)是在無(wú)低階自相關(guān)性的原假設(shè)下進(jìn)行的。例如，若普通的Durbin-Watson檢驗(yàn)表明無(wú)一階自相關(guān)性，那么可以用二階檢驗(yàn) 去檢驗(yàn)二階自相關(guān)性。一旦檢驗(yàn)出某階有自相關(guān)性存在，那么更高階 的檢驗(yàn)將不適用。這里由于1階自相關(guān)性檢驗(yàn)是顯著的，所以 2、3、 4階的檢驗(yàn)是被忽略的。(四) 自回歸誤差模型代碼:proc autoreg data =ran dar;model x=t / nlag =2 method =ml;outputout =poutp=xhatpm=tre ndhat;run ;procgplotdata

28、=pout;plot x*t= 1 xhat*t=2 tren dhat*t=3 / overlay ;symbol1v =star i=nonec=redh=2.5 ;symbol2v=plus i=joi nc=blueh=2.5 ;symbol3v = none i=joi nc=gree nw=2;title1'Auto-Regressio n'Jtitle2'nl ag=2 method=ml'Jrun ;運(yùn)行結(jié)果及說(shuō)明:nlag=2選項(xiàng)，指定誤差為1階、2階自回歸模型，其另一種格式, 如nlag=(1 4 5),表示自回歸誤差模型為t 1 t 14

29、t 4t 5 t選項(xiàng)method二ml，指定回歸參數(shù)的估計(jì)采用精確最大似然估計(jì)，默認(rèn)為Yule-Walker估計(jì)。用output語(yǔ)句輸出預(yù)測(cè)值到pout數(shù)據(jù)集中，預(yù)測(cè)值有兩種類型: 第一類是部分模型預(yù)測(cè)值：僅通過(guò)模型的結(jié)構(gòu)部分得到，即由? ? ?t部分得到，這是響應(yīng)變量xt在時(shí)刻t的無(wú)條件均值估計(jì), 用選項(xiàng)pm=trendhat將該預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)集pout的變量trendhat中；第二類，是整體模型預(yù)測(cè)值，既包含模型的結(jié)構(gòu)部分也包含自回歸誤差過(guò)程的預(yù)測(cè)值，即由？? ?t？t2整體模型得到,用選項(xiàng)p=xhat將該預(yù)測(cè)值輸出到數(shù)據(jù)集pout的變量xhat中。普通最小二乘法估計(jì)SSE214.953429

30、DFE34MSE6.32216均方根誤差2.51439SBC173.659101AIC170.492063MAE2.01903356AICC170.855699MAPE12.5270666HQC171.597444Durbi n-Watson0.4752回歸R方0.8200總R方0.8200參數(shù)估計(jì)值變量自由度估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值近似Pr > |t|In tercept18.23080.85599.62<.0001t10.50210.0403 12.45<.0001自相關(guān)估計(jì)值滯后協(xié)方差相關(guān)05.97091.00000014.51690.75648522.02410.3389

31、95-198765432101234567891初步 MSE 1.7943自回歸參數(shù)的估計(jì)值滯后系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值自回歸參數(shù)的估計(jì)值滯后系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值1 -1.169057 0.148172 -7.892 0.545379 0.1481723.68算法收斂。最大似然估計(jì)SSE54.7493022DFE32MSE1.71092均方根誤差1.30802SBC133.476508AIC127.142432MAE0.98307236AICC128.432755MAPE6.45517689HQC129.353194對(duì)數(shù)似然-59.571216回歸R方0.7280Durbi n-Watson2.276

32、1總R方0.9542觀測(cè)36參數(shù)估計(jì)值變量自由度估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值近似Pr > |t|In tercept17.88331.16936.74<.0001t10.50960.05519.25<.0001AR11-1.24640.1385-9.00<.0001AR210.62830.13664.60<.0001指定所用的自回歸參數(shù)變量自由度估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差t值近似Pr > |t|In tercept17.88331.16786.75<.0001t10.50960.05519.26<.0001第一部分輸出普通最小二乘法回歸模型的回歸結(jié)果（與前文致），包

33、括診斷統(tǒng)計(jì)量和參數(shù)估計(jì)表，模型公式見(jiàn)前文。第二部分輸出自回歸誤差模型的輸出結(jié)果，首先是 Preliminary MSE = 1.7943 為最大似然估計(jì)迭代計(jì)算的初始 Yule-Walker 估計(jì)值。 然后給出了在原假設(shè)時(shí)間間隔為 1和 2的自相關(guān)系數(shù)為 0情況下， 1 階和2階自相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、標(biāo)準(zhǔn)差和t值，t=-7.890和3.681(絕對(duì)值都很大)，拒絕 1階和 2 階自相關(guān)系數(shù)為 0的原假設(shè)。自回歸誤差模型的回歸結(jié)果也包括回歸統(tǒng)計(jì)量和參數(shù)估計(jì)表。 參 數(shù)估計(jì)表顯示了回歸系數(shù)的 ML 估計(jì)，比 OLS 輸出的參數(shù)估計(jì)表多 二個(gè)附加行，被標(biāo)記為AR(1)和AR(2),分別為自回歸誤差的

34、一階系 數(shù)和二階系數(shù)的估計(jì)值。估計(jì)模型為：xt 7.8833 0.5096t tt 1.2464 t 1 0.6283 t 2(*)Var( t ) 1.71092基于自回歸參數(shù)的估計(jì)值，重新計(jì)算了參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差和t值，如重新計(jì)算截距 7.8833的標(biāo)準(zhǔn)差為 1.1678而不是 1.1693.比較自回歸誤差模型和普通最小二乘法回歸模型，整體的 R2=0.9542>0.8200. 這反映了由于考慮了殘差作用而改進(jìn)了擬合模 型，將會(huì)使預(yù)測(cè)值更準(zhǔn)確。顯然，自回歸誤差模型部分的R2總是小于普通最小二乘法回歸模 型部分R2(0.7280<0.8200),這是因?yàn)樵诓糠帜Ｐ蜁r(shí)，普通最小二 乘法

35、回歸已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)，它的部分模型R2與整體模型R2是相等的。自回歸誤差模型的信息準(zhǔn)則 SBC和AIC值都分別比OLS模型的要 小，如 133.476508<173.659101， 127.142432<170.492063，同樣說(shuō)明 估計(jì)模型 (40.83)式比估計(jì)模型 (40.82)式要好。對(duì)于自回歸誤差模型的 MSE為1.71092,此值遠(yuǎn)小于真實(shí)值4,而對(duì)于OLS模型的MSE為6.32216,此值遠(yuǎn)大于真實(shí)值4,從MSE 值的大小對(duì)比中，也可以得出自回歸誤差模型較好。注意：在小樣本情況下，自回歸誤差模型傾向于低估免 而OLS模型傾向于高估*。最后，注意到自回歸誤差模型的 DW統(tǒng)

36、計(jì)量為2.2761，接近2, 殘差序列不相關(guān)，而 OLS模型的DW統(tǒng)計(jì)量為0.4752,接近0偏離 2,殘差序列正相關(guān)，同樣可以得出自回歸誤差模型已經(jīng)完全提取了 內(nèi)在規(guī)律的信息，只剩下純隨機(jī)波動(dòng)。i on權(quán)二20TOX孔旳紅*為原始序列散點(diǎn)圖；藍(lán)色線+號(hào)為整體模型預(yù)測(cè)值；綠色線為部分模型預(yù)測(cè)值。注意，該綠色趨勢(shì)線模型為：AR(2) : xt 7.8833 0.5096t不同于前文的OLS模型趨勢(shì)線(五) 預(yù)測(cè)自回歸誤差模型代碼：data new;x=.；do t= 37 to 46; output ;end;run ;data randar37;merge randar new;by t;ru

37、n ;proc autoreg data =ran dar37;model x=t / nlag =2 method =ml;output out =poutp p=xhat pm=tre ndhatlcl =lcl ucl =ucl;run ;proc gplot data =poutp;plot x*t=1 xhat*t=2 tren dhat*t=3 lcl*t=3ucl*t=3/ overlayhref =36.5Jsymbol1v =star i=nonec=redh=2.5 ;symbol2v=plus i=joi nc=blueh=2.5 l =1;symbol3 v = none i =joinc=green w=2 ;title1'Auto-Regressio n:AR(2)'title2'predict estimati on'run ;運(yùn)行結(jié)果及說(shuō)明：先產(chǎn)生10個(gè)等間隔的將來(lái)時(shí)間點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的因變量 x值先設(shè)為缺 失值。再與原序列合并，作為數(shù)據(jù)集ran dar37。proc