一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解析

1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 通過觀察、歸納，猜想根與系數(shù)的關(guān)系，并證明此關(guān)系成立，使學(xué)生理解其理論根據(jù);2. 使學(xué)生運用根與系數(shù)關(guān)系解決有關(guān)問題。學(xué)習(xí)重點：重點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；難點：從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系。預(yù)習(xí)感知：（課前完成）從表中找出兩根之和 Xi+ X2與兩根之積X1X2和a、b、c的關(guān)系：方程兩個根的X、x2值兩根之和X1+ X2兩根之積X1 -X2X1X22x +5x+6=023x2-8x-9=091x -4x-4=02+肓2-仃3x2-4x+6=02232x2+7x-4=01246x2+7x-3=032135x2-2

2、3x+12=04351 先從前三個方程（二次項系數(shù)是1）觀察的值與一次項系數(shù)及常數(shù)項的關(guān)系;172.再看后面三個方程（二次項系數(shù)不是 猜想 ax2+bx+c=0 （0）的 X1+ X2, X1 X2與 a、b、c 的關(guān)系；我的猜想是：X1 + X2 =, X1 X2 =； 怎樣證明上面的結(jié)論？（求根公式是具有一般性的，我們用求根公式來證明就可以了）1）,觀察X1+ X2, X1 X2的值與系數(shù)的關(guān)系;歸納：對于一兀二次方程 ax2+bx+c=0 (0),如果方程有兩個實數(shù)根xi, x?，那么Xi+ x2=bca，xix2=a。說明：(i)定理成立的條件是o ；(2)注意公式中xi+ X2= b

3、的負(fù)號與b的符號的區(qū)別。a通過自學(xué)，我的困惑和問題是 .(二) 共研釋疑(課內(nèi)完成)1. 組內(nèi)交流“預(yù)習(xí)感知”中的疑難和困惑；2 各組匯報需要幫助解決的問題，讓能解決的學(xué)習(xí)小組代表解決。(三) 典型例題例子1:說出下列方程的兩根之和、兩根之積是多少？2 2 22(4) 3x2=1(1) x -3x+ 仁0(2) 3x -2x=2( 3) 2x +3x=02(5) x +px+q=0例2:利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2+3x-仁0的兩根X1, X2的(1)平方和；(2)倒數(shù)和；(3) ( % X2)2( 4) ( X1 + 1 ) ( X2+1 )(5) | X1 X2|例3:已知方程

4、5x .已知a B是方程x2+2x-7=0的兩個實數(shù)根，求a+3孑+4 B的值.2 1 24.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2kx+ 2k2-2=0(1) 求證：不論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 設(shè)Xi, X2為方程的兩個根，且滿足Xi2-2kxi+2xiX2=5，求k的值.+ k x 6=0的一個根是2,求它的另一個根及 k的值.(四) 遷移運用1.已知關(guān)于x的一元二次方程 x2 mx+2m 仁0的兩個實數(shù)根的平方各為 23,求m的值.（五）心得交流。（教師引導(dǎo)，學(xué)生總結(jié)）（六）評測拓展1、 若XI、X2是一兀二次方程 X2-5x+6=0的兩個根，則X1+ X2的值是（）A、

5、1B、5C、-5D、62、 已知方程3x2-5x-7=0的兩個根是Xi, X2,則下列各式中正確的是（）A、xi+ X2=5, Xi X2 = 7B、xi+ X2= 5, Xi X2 = 75757C、X1+ X2= 3 , Xi X2 = 3D、X1+ X2= &, Xi X2 = 一33、若Xi, X2是方程2x2-6x+3=0的兩個根，則 丄+丄的值為（）Xi X219A、2B、-2C、D、24、若Xi, X2一元二次方程x2-4x-c=0的兩個根是，求另一個根及 c.(2)1 -1Xi X25、設(shè)Xi, X2是方程2x2-6x+3=0的兩個根，求下列各式的值:2 2(1 ) Xi X2

6、+X 1X26、若Xi, X2是方程x2+6x+3=0的兩個實數(shù)根，求總+崔的值.Xi X27、已知方程x2+5x+k=0的兩根之差為3，求k的值.&已知關(guān)于x的方程（a2-1） x2-（a+1） x+仁0的兩實數(shù)根互為倒數(shù)，求a的值.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、學(xué)會用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值；2、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理求待定系數(shù)；3、理解并掌握運用韋達(dá)定理構(gòu)造方程，解方程組；4、能應(yīng)用韋達(dá)定理分解二次三項式。學(xué)習(xí)重難點：重點：根與系數(shù)的關(guān)系； 難點：根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用 典型例題： 根與系數(shù)關(guān)系的三大用處：（1）計算對稱式的值說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式

7、變形：2 2 2(1)(2)(3)(4)Xi +X2 = （ X1+X2）-2X1X2；11 X計 X2+=X1 X2 X1X222（X1-X2）= （X1+X2）-4X1X2；兇一X2|= .（X X2）2 -4X1X2X1X22+X 12X2=X 1X2 （ X1+ X2）等等，韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想。例：若X1，X2是方程x2+2x-2007=0的兩個根，試求下列各式的值:(1)(2)(3)(4)2 2X1 +X21 1+ _X1 X2（X1-5）（X2-5）|X1 X2|（2）構(gòu)造新方程理論：以X1 X2兩個數(shù)為根的一兀二次方程是X2- （X1+ X2） X+X 1 x2=0.例:解方

8、程組lX+y=5xy=6(3 )定性判斷字母系數(shù)的取值范圍例1 一個三角形的兩邊長是方程2x2-kx+2=0的兩根，第三邊長為2,求k的取值范圍2 1 2例2已知關(guān)于x的方程x2-( k+1)x+k2+1=0，根據(jù)下列條件，分別求出k的值:(1)方程兩實數(shù)根的積為 5；(2)方程的兩實根Xi，X2滿足|Xi|= X2.評測拓展A組1. 一元二次方程(1-k) x2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則 k的取值范圍是()A、k 2B、kv 2 且 k工 1C、kv 2D、k 2 且 k 工 12. 已知菱形ABCD的邊長為5,兩條對角線交于點 0,且0A、OB的長分別是關(guān)于 x的 方程x2+

9、(2m-1) x+m2+3=0的根，貝U m等于(A、-3B、5C、5 或-3D、-5 或 32 23 .若t是一元二次方程 ax +bx+c=0 (0)的根，則判別式=b -4ac和完全平方式 M=(2at+b) 2的關(guān)系是()A、 =MB、 MC、v MD、大小關(guān)系不能確定4 .若實數(shù)b，且a、b滿足a2-8a+5=0， b2-8b+5=0，則代數(shù)式豊+警的值為()a-1 b-1A、-20B、2C、2 或-20D、2 或 205 .如果方程(b-c) x2+ ( c-a) x+ ( a-c) =0的兩根相等，則a、b、c之間的關(guān)系是 6.已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程2x2-

10、8x+7=0的兩根，則這個直角三角形的的斜邊長是. .若方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根之差為1，貝U k的值是.&設(shè)xi, X2是方程x 1 212 .已知關(guān)于x的方程x - (k+1) x+4k +1 =0的兩根是一個矩形兩邊的長。(1) k取何值時，方程存在兩個正實數(shù)根？(2) 當(dāng)矩形的對角線是 ,5時，求k的值.+px+q=0的兩實根，xi+1, X2+I是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩實 根，貝 H p=, q=。9 .已知實數(shù) a、b、c 滿足 a=6-b, c2=ab-9, a=, b=, c=。cim10.若n0,關(guān)于x的方程x2- (m-2n) 乂+玄口n=0有

11、兩個相等的正實數(shù)根，求 了的值。211.已知關(guān)于 x的一元二次方程 x + (4m+1) x+2m-仁0.(1) 求證：不論 m為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；111(2) 若方程的兩根為 x1, x2,且滿足一+=-;,求m的值.X1 X22B組21.已知關(guān)于x的方程(k-1) x + (2k-3) x+k+仁0有兩個不相等的實數(shù)根 xi, x?.(1 )求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在， 求k的值；如果不存在, 請說明理由.2 .已知關(guān)于x的方程x若J,求k的值.X2 2+3x-m=0的兩個實數(shù)根的平方和等于11,求證：關(guān)于x的方程(k-3)

12、 x2+kmx-m 2+6m-4=0有實數(shù)根.3 .若X1, x2是關(guān)于x的方程x - (2k+1 ) x+k +仁0的兩個實數(shù)根，且 X1, x2都大于1.(1) 求實數(shù)k的取值的范圍；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（復(fù)習(xí)）預(yù)習(xí)感知：（課前完成） 重現(xiàn)根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系的由來（課本內(nèi)容）一元二次方程 aX+bx+c=O （ a豐0, b2-4ac 0）,的求根公式的推導(dǎo):2ax +bx+c=0 （a豐 0）,2 b cx+ -x=-a a2 b b 2 c b 2x+bx+(2a) = -a+(亦)2“ b、2 b -4ac(x+2a)=右2 2/ a豐 0, 4a 0,又 b -4a

13、c 0根的判別式：b2-4ac,用符號表示xi=-b+ :b2-4ac2aX2=-b _ b2_4ac2a根與系數(shù)的關(guān)系：-b+寸 b2-4ac -b -寸b2-4ac -2b bX1+ X2=2a+2a=2a =-a-b+ 寸b2_4ac -b /540_(七)-(Qb2-4ac) 4ac cX1X2 -2a2a =40=4a2=a常見的形式：11 X1+X2(1 ) 一+一=X1 X2 X1X2(2 ) X12+X22=(x 1+X2)2-2X1X2；22(3) (X1-X2)= ( Xl+ X2)-4X1X22(4) |X1X2|=.(為 x2) -4x1x21 判定一元二次方程的根的情

14、況時，當(dāng)0時，;當(dāng)N =0時;當(dāng)/ 0).(1) 求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 這個方程的兩個實數(shù)根是X1, X2，且(X1-3)(X2-3)=5m，求m的值.-12x +m=0的兩根之比是 3: 2,求m的值.2、已知關(guān)于x的一元二次方程 x2+kx-仁0.(1) 求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2) 設(shè)方程的兩個根為Xi, X2,且滿足Xi+X2=Xl X2，求k的值.2 3、關(guān)于X的一元二次方程 kx -2(k+2)x+k-1=0有兩個不相等的實數(shù)根Xi, x?.(1 )求k的取值范圍；一 1 1(2)是否存在實數(shù)k，使;-+;-=1成立？若存在，求 k的值，若不存在，說明

15、理由X1 X22k4、關(guān)于x的方程kx +(k+2)x+ 4=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1 )求k的取值范圍；(2)是否存在k，使兩根之各等于 0?若存在，求k的值，若不存在，說明理由226、關(guān)于 x 的一元二次方程 3x2-(a2-3a-18)x+4a=0 的兩個根互為相反數(shù)，求 a 的值，方程的 兩個解 .7、關(guān)于x的一元二次方程 2x2+2kx+2k+3=0的兩個實數(shù)根為 xi, x?,問是否存在實數(shù) k, 使其成立？若成在，求 k 的值，若不存在，說明理由 .8、關(guān)于 x 的方程 x2+2(m+2)x+m 2+4=0 有兩個實數(shù)根,且這兩個根的平方和比兩個實數(shù)根 的積大 40,求 m 的值.4x2+4(m-1)x+m 2=0 的兩個非零實數(shù)根,問這兩個根m 的取值范圍,并指出兩根的正負(fù)；若不能同號,9、關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2-5x+2=0 有兩個同號實數(shù)根,試判斷這兩個同號實數(shù)根是兩 個負(fù)根,還是兩個正根,說明理由 .10、若 x1, x2 是關(guān)于 x