《基本不等式》教學設計

1、基本不等式教學設計教材：人教版普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（A版）必修5課題：3.4 基本不等式（第一課時）課時：1課時一.教學內容分析本節(jié)課是基本不等式教學的第一課時，其主要學習任務是通過趙爽弦圖中面積的直觀比較、抽象概括，提煉出不等式.在此基礎上，通過演繹替換、證明探究、數(shù)形結合及實際應用等四種不同的角度引導學生認識基本不等式.其中基本不等式的證明是從代數(shù)、幾何多方面展開，既有邏輯推理，又有直觀的幾何解釋，使學生充分運用數(shù)形結合的思想方法，進一步培養(yǎng)其抽象概括能力和推理論證能力.這就使得不等式的證明成為本節(jié)課的核心內容.本節(jié)課的教學重點為：應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并

2、從不同角度探索基本不等式的證明過程.二教學目標設置課程標準對本節(jié)課的要求有以下兩條：探索并了解基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決簡單的最值問題.根據(jù)課標要求和本節(jié)教學內容，并考慮學生的接受能力，我將本節(jié)課的教學目標確定為：（1）通過觀察圖形，抽象出基本不等式，培養(yǎng)學生的抽象概括能力和邏輯推理能力；（2）讓學生經(jīng)歷基本不等式的證明過程，理解基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想.（3）通過運用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題，加深學生對基本不等式的理解，認識數(shù)學的對稱性與完整性.三學生情況分析在學習本節(jié)課前盡管學生已經(jīng)學習了函數(shù)的最值問題以及不等式的性質和解法，但對于用不等式模型

3、來解決問題及基本不等式的各種幾何背景學生還是有一些困難，一時很難接受。四教學策略分析本節(jié)課采用探究式課堂教學模式。五、教學過程設計（配合PPT展示）1.創(chuàng)設情境【課前預習】利用弦圖證明勾股定理的過程.（請學生在學案上課前完成： .）【引言】右圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像個風車，代表了中國人民的友好好客.【思考1】趙爽利用弦圖最先完成了勾股定理的證明，你還記得這個證明過程嗎？（請學生表述推導過程，教師課件展示.）【過渡】在弦圖中，由面積間的相等關系，得到了勾股定理這一經(jīng)典等式.然而，相對關系與不等關系是相對存在的.

4、在弦圖中存在著怎樣的不等關系呢？ 【思考2】觀察變化的弦圖，你能在圖中找出面積間的不等關系嗎？（教師利用幾何畫板改變弦圖中兩直角邊的長度，展示運動變化的弦圖，請學生觀察并歸納：生1：，得；生2：，得.）【設計意圖】介紹國際數(shù)學家大會以及趙爽的相關背景，體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，滲透愛國主義教育.課前完成利用弦圖證明勾股定理的過程，一方面展現(xiàn)了趙爽證明的構圖巧妙、精致，是數(shù)與形的完美統(tǒng)一，讓學生對弦圖的認識清晰、完整；另一方面為提出弦圖中面積間的不等關系做鋪墊，體會相對關系與不等關系的辯證統(tǒng)一.同時，通過運動變化將直觀的面積關系轉化為隱含的數(shù)值關系.【歸納】對于兩直角邊，有.【思考3】上式中何時等號成

5、立？(請學生說明：當時, ；當，.教師歸納:當且僅當時，等號成立.)【探究1】上式對正實數(shù)是成立的，那么對任意實數(shù)，上式都成立嗎？請證明自己的結論.（請學生自主探究完成證明，學生比較自然的想到用“比較法”證明.教師利用投影儀展示學生的完整證明過程.強調和兩種情況，說明“當且僅當”的含義.）【歸納】由圖形中面積間的不等關系，我們發(fā)現(xiàn)了兩實數(shù)間的這一事實：對任意實數(shù)，有，當且僅當時，等號成立.【設計意圖】思考2請學生討論等號成立的條件，了解“當且僅當”的含義，由于此時學生還沒有學習簡易邏輯的相關知識，無需從“充分必要條件”的角度加以說明.探究1給學生提供思維發(fā)展的空間，讓學生從對知識的直觀感知上升

6、到理性證明，既體現(xiàn)了數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的過程及其嚴謹性，又鞏固了證明不等式的基本方法，為后續(xù)證明基本不等式做鋪墊.在此過程中給學生提供了一種研究思路：由圖形中的不等關系可以獲得相應實數(shù)間的一些不等式，滲透數(shù)形結合思想.2.基本不等式【過渡】實際上，在不同的圖形中上述不等式有不同的體現(xiàn)，我們再看這樣一個情境.【探究2】如圖，取正方形對角線上任意一點，分別作正方形兩鄰邊的垂線，切分出兩個正方形和兩個矩形，設切分出的兩正方形邊長分別為，問：切分出的兩正方形面積和與兩矩形面積和的大小關系？（請學生自主探究完成，并說明：生1：，由不等式 ，當且僅當時，等號 成立.生2：由正方形的對稱性，將切分出的兩矩形及

7、較小的正方形分別向較大的正方形翻折，并沒有將較大的正方形完全覆蓋，故：）【引申】若設切分出的兩正方形的面積分別為, 根據(jù)上述不等關系，又可以得到怎樣的不等式呢？(請學生說明：若兩正方形的面積分別為，則其邊長分別為，得：當且僅當時，等號成立.)【歸納】由圖形中面積間的不等關系，我們又可以得到不等式，當且僅當時，等號成立.【設計意圖】從學生比較熟悉的圖形背景中再一次認識不等式，既可以根據(jù)已知的不等式探究圖形中面積間的不等關系，又可以運用“割補法”在圖形中體現(xiàn)不等式.進而提出引申問題，自然地由不等式過渡到，為基本不等式的產(chǎn)生構造幾何背景，并在圖形中揭示不等式與不等式的內在聯(lián)系.【思考4】回顧不等式（

8、）的生成過程中，你發(fā)現(xiàn)它與不等式（）有怎樣的聯(lián)系呢？（請學生說明：生1：生2：因為，在式中用代替，代替即得式.生3：在式中用代替，代替即得式.）【設計意圖】激發(fā)學生的思維，使其從多角度發(fā)現(xiàn)不等式與不等式的內在聯(lián)系，認識到它們是對同一個事實的兩種不同描述，其本質是一致的.同時也能促進學生形成對學習進行反思的意識與習慣.【說明】通常我們把上式寫作，稱為基本不等式，本節(jié)課我們就來研究基本不等式.（引入課題并板書）【思考5】你能否證明基本不等式？（請學生思考完成.生1：（比較法）當且僅當時，等號成立；生2：（綜合法） 當且僅當時，等號成立;生3：（分析法）請學生展示不同的證明方法，并敘述證明方程.生3

9、的做法是普遍錯誤，教師可引導學生糾錯，進而加入關鍵詞“要證,只要證”即可,對分析法不做過多說明.）【設計意圖】對于不等式的證明，學生已具備了“分析法”的基本思想，教材上以填空的形式證明了基本不等式，但“分析法”證明的格式以及為什么要這樣證明，是學生思維的盲點，一是學生不會發(fā)現(xiàn)其中隱含的道理，二是學生照此模仿往往會出錯.因此此處的證明由學生獨立完成，相互交流，并展示不同的證明方法，這樣既能使不同認知基本的學生暴露出不同的問題，并加以解決，又能教會學生欣賞同伴身上的閃光點，發(fā)揚合作精神.【過渡】實際上，在許多圖形中都蘊含著基本不等式.【探究3】如圖，取線段，其中，以為直徑做圓O，過點C做垂直于AB

10、的弦DE，連接AD、BD.圖中你能找到長度為與的線段嗎？它們分別有什么幾何意義呢？.移動點C在線段AB上的位置（幾何畫板），你有什么結論呢？(請學生合作探究完成，并展示說明：生1：直角三角形中，斜邊大于直角邊； 生2：在直角三角形中，斜邊上的中線不小于斜邊的高. 生3：在圓中，半徑不小于半弦.)【設計意圖】通過對圖形的探究多角度說明基本不等式的幾何意義，由于學生對問題的分解能力不足，不知如何入手探究，并且表示的線段及其幾何意義學生不易發(fā)現(xiàn).為了幫助學生，我將探究分解為兩個小問題，從運動變化的角度幫助學生觀察、歸納.一方面，幫助學生建立數(shù)學結合的基本思想；另一方面，培養(yǎng)學生從運動變化的角度思考問

11、題、解決問題的能力，多角度認識基本不等式的幾何解釋.【過渡】基本不等式的代數(shù)意義是什么呢？【說明】我們通常把叫做兩個正數(shù)的算術平均數(shù)，叫做兩個正數(shù)的幾何平均數(shù).基本不等式也可以敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).3.應用舉例【過渡】怎樣運用基本不等式解決生活中的不等問題呢？【例】 學校用籬笆圍一個面積為36平方米的矩形花圃，問：如何設計花圃的長和寬，所用籬笆最短，最短籬笆是多少？（請學生嘗試完成，并表述解題過程，教師板書.強調能取得最小值的原因及等號成立的條件.教師適度歸納：根據(jù)基本不等式發(fā)現(xiàn)，兩個正數(shù)積為定值時，和存在最小值.）【思考6】由數(shù)學的對稱性，你認為利用基本不等式，

12、我們還可以解決怎樣的問題？（請學生從數(shù)學對稱性的角度反思，上例中能取得最小值的原因，觀察基本不等式的結構，嘗試歸納出：當正數(shù)x、y的和為定值，當且僅當x=y時，積有最大值.）【引申】現(xiàn)在學校倉庫有一段長為36米的籬笆，要圍成一個矩形花圃，問：如何設計花圃的長和寬，花圃的面積最大，最大面積是多少？【設計意圖】本題是基本不等式在實際問題中的簡單應用，一方面，讓學生知道可以利用基本不等式求解最大（?。┲档膯栴}；另一方面，強化學生對基本不等式的理解，特別是等號成立的條件，同時培養(yǎng)學生形成嚴謹?shù)乃季S習慣，具備反思的意識，也為后續(xù)提出“一正，二定，三相等”做鋪墊.5.課堂小結【思考7】（1）本節(jié)課我們學習的主要內容是什么? （2）在應用基本不等式時，需要注意哪幾點