第十一講托勒密定理和西姆松定理(共3頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十一講：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)即：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有ABCD+ADBC=ACBD；定理：在四邊形ABCD中，有ABCD+ADBCACBD，并且當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD內(nèi)接于圓時(shí)，等式成立。EDCBA【解析】在四邊形ABCD內(nèi)取點(diǎn)E，使BAE=CAD，ABE=ACD，則：ABE和ACD相似，所以ABAC=BECDABCD=ACBE，又因?yàn)锳BAC=AEAD且BAC=EAD，所以ABC和AED相似，所以ABCD+A

2、DBC=AC(BE+ED)，所以ABCD+ADBCACBD，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)E在BD上時(shí)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)成立。1.1 直接應(yīng)用托勒密定理例1 如圖所示，P是正ABC外接圓的劣弧BC上任一點(diǎn)(不與B、C重合)， 求證：PA=PBPC【解析】：此題證法甚多，一般是截長(zhǎng)、補(bǔ)短，構(gòu)造全等三角形，均為繁冗若借助托勒密定理論證，則有PA·BC=PB·ACPC·AB，AB=BC=ACPA=PB+PC1. 2 完善圖形 借助托勒密定理例2 證明“勾股定理”：在RtABC中，B=90°，求證：AC2=AB2BC2【解析】：如圖，作以RtABC的斜邊A

3、C為一對(duì)角線的矩形ABCD，顯然ABCD是圓內(nèi)接四邊形由托勒密定理，有AC·BD=AB·CDAD·BC ，又ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD 把代人，得AC2=AB2BC2例3 如圖，在ABC中，A的平分線交外接圓于D，連結(jié)BD，求證：AD·BC=BD(ABAC)【解析】：連結(jié)CD，依托勒密定理，有AD·BCAB·CDAC·BD1=2， BD=CD故 AD·BC=AB·BDAC·BD=BD(ABAC)1.3 構(gòu)造圖形 借助托勒密定理例4 若a、b、x、y是實(shí)數(shù)，且a2b2=1，

4、x2y2=1求證：axby1【解析】：如圖作直徑AB=1的圓，在AB兩邊任作RtACB和RtADB，使ACa，BC=b，BDx，ADy由勾股定理知a、b、x、y是滿足題設(shè)條件的據(jù)托勒密定理，有AC·BDBC·AD=AB·CDCDAB1，axby11.4 巧變?cè)?妙構(gòu)圖形，借助托勒密定理例5 已知a、b、c是ABC的三邊，且a2=b(bc)，求證：A=2B分析：將a2=b(bc)變形為a·a=b·bbc，從而聯(lián)想到托勒密定理，進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，使兩腰為b，兩對(duì)角線為a，一底邊為c【解析】：如圖 ，作ABC的外接圓，以 A為圓心，BC為半徑作

5、弧交圓于D，連結(jié)BD、DC、DAAD=BC，ACD=BDCABD=BAC又BDA=ACB(對(duì)同弧)，1=2于是BD=AC，則BD=AC=b依托勒密定理，有BC·AD=AB·CDBD·AC ，而已知a2=b(bc)，即a·a=b·cb2 ，比較得CD=b=BD，CD=BD，3=1=2，BAC=2ABC1.5 巧變形 妙引線 借肋托勒密定理例6 在ABC中，已知ABC=124，求證：1AB+1AC=1BC?！窘馕觥浚簩⒔Y(jié)論變形為AC·BCAB·BC=AB·AC，把三角形和圓聯(lián)系起來(lái)，可聯(lián)想到托勒密定理，進(jìn)而構(gòu)造圓內(nèi)接四

6、邊形如圖，作ABC的外接圓，作弦BD=BC，邊結(jié)AD、CD在圓內(nèi)接四邊形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BDBC·AD=AB·CD，易證AB=AD，CD=AC，AC·BCBC·AB=AB·AC，兩端同除以ABBCAC，得1AB+1AC=1BC。二、 西姆松定理西姆松定理：若從ABC外接圓上一點(diǎn)P作BC、AB、AC的垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。證明：連接DE、DF，顯然，只需證明BDE=FDC，即可；因?yàn)锽DP=BEP=90°，所以B、E、P、D四點(diǎn)共圓，所以BDE=BPE，同理可得：FDC=PFC，又

7、因?yàn)锽EP=PFC=90°，且PFC=180°-PBA=PBE，所以BPE=FPC，所以BDE=FDC，所以D、E、F三點(diǎn)共線。西姆松逆定理：從一點(diǎn)P向ABC的三邊（或它們的延長(zhǎng)線）作垂線，若垂足L、M、N在同一直線上，則P在ABC的外接圓上。例7 設(shè)ABC的三條垂線AD、BE、CF的垂足分別為D、E、F；從點(diǎn)D作AB、BE、CF、AC的垂線，其垂足分別為P、Q、R、S，求證P、Q、R、S在同一直線上?！窘馕觥吭O(shè)ABC的垂心為O，則O、E、C、D四點(diǎn)共圓，因?yàn)橛晌髂匪啥ɡ碛校篞、R、S三點(diǎn)共線，又因?yàn)镺、F、B、D四點(diǎn)共圓，且由西姆松定理有：P、Q、R三點(diǎn)共線，所以P、Q、

8、R、S四點(diǎn)共圓例8 四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，且D是直角，若從B作直線AC、AD的垂線，垂足分別為E、F，則直線EF平分線段BD。【解析】作BGDC，由西姆松定理有：F、E、G共線，又因?yàn)锽FD=FDG=DGB=90°，所以四邊形BFDG為矩形，所以對(duì)角線FG平分另一條對(duì)角線BD。例9 求證：四條直線兩兩相交所構(gòu)成的四個(gè)三角形的外接圓相交于一點(diǎn)，且由該點(diǎn)向四條直線所作垂線的垂足在一條直線上?！窘馕觥咳鐖D，設(shè)四條直線AB、BC、CD、AD中，AB交CD于點(diǎn)E，BC交AD于點(diǎn)F，圓BCE與圓CDF的另一個(gè)交點(diǎn)為G，所以BGF=BGC+CGF=BEC+CDA，所以BGF+A=180°，即圓ABF過(guò)點(diǎn)G，同理圓AED也過(guò)點(diǎn)G，所以元BCE、元CDF、元ABF，元AED交于同一點(diǎn)G，若點(diǎn)G向AB、BC、CD、DA所作垂線的垂足分別為E、L、M、N、P，有西姆松定理可知，L、M、N在一條直線上，M、N、P在一條直線上，故L、M、N、P在同一條直線上。例10 四邊形ABCD是圓內(nèi)接四