長方形椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)嗎

1、數(shù)學(xué)建模與系統(tǒng)仿真長方形椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)？一、問題提出在日常生活中有這樣的現(xiàn)象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍微挪動(dòng)幾次，一般都可以使四只腳同時(shí)著地，課本上已經(jīng)證明了四條腿正方形連線的椅子能放平，現(xiàn)在建模說明長方形椅子的情況。二、模型假設(shè)首先對(duì)椅子和地面做一些必要的假設(shè)（同正方形椅子一致）：    （1）椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處視為一點(diǎn)，四腳的連線呈長方形；（2）地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷 (沒有像臺(tái)階那樣的情況)，即從數(shù)學(xué)的角度看，地面是連續(xù)曲面； （3）地面相對(duì)平坦，

2、使椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地；三、模型構(gòu)成    首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動(dòng)。生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，要把椅子通過挪動(dòng)放穩(wěn)，通常有拖動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)椅子兩種辦法，也就是數(shù)學(xué)上所說的平移與旋轉(zhuǎn)變換。然而，平移椅子后問題的條件沒有發(fā)生本質(zhì)變化，所以用平移的辦法是不能解決問題的，于是可將椅子就地旋轉(zhuǎn)，并在旋轉(zhuǎn)過程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形。椅腳連線呈長方形，長方形是中心對(duì)稱圖形，把長方形繞它的對(duì)稱中心O旋轉(zhuǎn)，這可以表示椅子位置的改變。于是，旋轉(zhuǎn)角度這一變量就表示了椅子的位置，所以可以在平面上建立直角坐標(biāo)系來解決問題。如下圖1所示，設(shè)椅腳連線為長方形AB

3、CD，以對(duì)角線AC所在的直線為x軸，對(duì)稱中心O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系。椅子繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度后，長方形ABCD轉(zhuǎn)至A1B1C1D1 的位置，這樣就可以用旋轉(zhuǎn)角（02）表示出椅子繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后的椅子的位置。圖1 變量表示椅子的位置其次，把椅腳是否著地用數(shù)學(xué)形式表示出來。由上述假設(shè)可知，當(dāng)椅腳與地面的豎直距離為零時(shí)，椅腳就著地了，而當(dāng)這個(gè)距離大于零時(shí)，椅腳不著地。由于椅子在不同的位置是的函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是的函數(shù)。由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的豎直距離有四個(gè)，它們都是的函數(shù)。而由假設(shè)(3)可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地，即這四個(gè)函數(shù)對(duì)于任意的，其函數(shù)值至少有

4、三個(gè)同時(shí)為0。因此，只需引入兩個(gè)距離函數(shù)即可，考慮到長方形ABCD是中心對(duì)稱圖形，繞其對(duì)稱中心 O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°后，長方形位置不變，但A、C和B、D對(duì)換了。因此，記A、B兩腳與地面豎直距離之和為f（），C、D兩腳與地面豎直距離之和為g（），其中0，2，從而將原問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型：已知f（）和g（）是的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意，f（）g()0，且g（0）= f（）=0，,f（0）>0，g（）>0. 證明：存在0，使得f（0）g（0）0. 四、模型求解如果f（0）g（0）0，那么結(jié)論成立。如果f（0）與g（0）不同時(shí)為零，不妨設(shè)f（0）0，g（0）0。這時(shí)，將長方形A

5、BCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度后，點(diǎn)A，B分別與C，D互換，但長方形ABCD在地面上所處的位置不變，由此可知，f（）g（0），g（）f（0），而由f（0）0，g（0）0，得g（）0， f（）0。令h（）f()g（），由f()和g()的連續(xù)性知h()也是連續(xù)函數(shù)。又h（0）f(0)g（0）0，h（）f()g（）0，,根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，必存在0（0，）使得h（0）0，即f（0）g（0） ；又因?yàn)閒（0）g（0）0，所以f（0）g（0）0。于是，椅子的四只腳同時(shí)著地，所以長方形椅子可以在不平的地面上放穩(wěn)。五、模型的進(jìn)一步猜想在建模求解正方形椅子和長方形椅子的擺放問題時(shí)，通過比較可以發(fā)現(xiàn)兩者的共同點(diǎn)，正方形和矩形的任意一個(gè)頂點(diǎn)通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)，可到達(dá)每一個(gè)頂點(diǎn)，即就是說正方形和矩形的四個(gè)頂點(diǎn)繞其中心旋轉(zhuǎn)一周所得軌跡是同一個(gè)圓周。這也就是正方形和矩形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，可通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)將椅子放平穩(wěn)。那么，猜想更一般的情況，椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是否一定可通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)？猜想是可以的，假設(shè)把滿足假設(shè)（2）的地面看做是一個(gè)球面，不同的球半徑就可以構(gòu)成不同的曲面，如下圖2所示，把椅子擺在球面上，則當(dāng)椅腳共面時(shí)，即四個(gè)椅腳