第五節(jié) 利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離及異面直線間距離

1、第五節(jié) 利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離及異面直線間距離一、點(diǎn)到平面的距離設(shè)A是平面外一點(diǎn)，B是內(nèi)一點(diǎn)，n為的一個(gè)法向量，則點(diǎn)A到平面的距離d=例1、 如圖，已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形， E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD且GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離。例2、 在三棱錐S-ABC中，ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=23，M、N分別是AB、SB的中點(diǎn)。（04福建） （1）證明ACSB；（2）求二面角N-CM-B的大小； （3）求點(diǎn)B到平面CMN的距離。練習(xí)：已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD平面且PD=1，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn). (1)

2、求點(diǎn)D到平面PEF的距離； (2) 求直線AC到平面PEF的距離。二、異面直線間距離設(shè)n是異面直線a、b的公垂向量，C為a上任一點(diǎn)，D為b上任一點(diǎn)，則a、b間的距離d=. 例3、 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a. （1） 求異面直線BD與B1C間的距離； （2） 求異面直線AA1與BD1間的距離。三、證線面平行若a是平面外一直線，所在向量為a，n是的一個(gè)法向量，若an，則a. 例4、 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC， AC=3，BC=4，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。 （1） 求證：ACBC1；（2） 求證：AC1平面CDB1；（3） 求異面直線AC1與B1C所成角

3、的余弦值。15（05北京文）作業(yè)：1、如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為(1)求異面直線AA1與B1D1間的距離； （2）求異面直線A1B與B1D1間的距離。2、如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)。 （1）求點(diǎn)O到平面ABC的距離； （2）求異面直線BE與AC所成的角； （3）求二面角E-AB-C的大小。(06江西)3、如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN2C1N.（1）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（2）求點(diǎn)B1到平面AM

4、N的距離。（06湖北文）4、如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，E是AB上一點(diǎn)，PEEC. 已知PD=2,CD=2,AE=12,求（）異面直線PD與EC的距離；（）二面角EPCD的大小.（05重慶文）165、如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AD上移動(dòng). （1）證明：D1EA1D；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1（3）AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為.46、如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD正方形，AEEB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE （1）求證：AE平面BCE； （2）求二面角B-AC-E的大??；（3）求點(diǎn)D到平面ACE的距離。(05福建)D7、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CAEB底面是等腰直角三角形，ACB=90，側(cè)棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)